第二章刚体平面运动

第二章刚体平面运动第1页，共96页，2023年，2月20日，星期三*§2.3.用矢量方法研究平面图形的运动平面平动定轴转动*平面图形上点的加速度关系

*平面图形上点的速度关系第2页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章、刚体的平面运动§2.1刚体平面运动的简化第3页，共96页，2023年，2月20日，星期三一、刚体运动形式

第4页，共96页，2023年，2月20日，星期三二、平面运动定义

平面运动：在运动过程中，刚体上任意一点到某一固定平面的距离始终保持不变的运动称为刚体的平面运动。第5页，共96页，2023年，2月20日，星期三三、简化研究对象XYZXY第6页，共96页，2023年，2月20日，星期三§2.2分析法研究平面图形的运动

2.2.1.运动方程一、确定图形位置

自由的平面图形S,其位置的确定可由其上任一线段AB的位置来确定。第7页，共96页，2023年，2月20日，星期三OAB位置由下述方法确定：建立与参考空间固连直角坐标Oxy

xAyA第8页，共96页，2023年，2月20日，星期三二、刚体平面运动的运动方程

此式描述了平面运动刚体的整体运动性质，完全确定了平面运动刚体的运动规律。OxAyA第9页，共96页，2023年，2月20日，星期三XYOABxAyA第10页，共96页，2023年，2月20日，星期三定轴转动第11页，共96页，2023年，2月20日，星期三（3）、一般平面运动曲线平动第12页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体运动简化为平面运动第13页，共96页，2023年，2月20日，星期三曲柄滑块机构平面运动第14页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体平动第15页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体曲线平动第16页，共96页，2023年，2月20日，星期三机构运动演示第17页，共96页，2023年，2月20日，星期三机构运动演示第18页，共96页，2023年，2月20日，星期三机构运动演示第19页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体定轴转动第20页，共96页，2023年，2月20日，星期三2.2.2.平面图形的角位移、角速度

角加速度1、平面图形的角位移第21页，共96页，2023年，2月20日，星期三

平面运动图形上任意二条线段的角位移相等——欧拉-沙尔定理由图形上任意一条有向线段（AB或BC）的角度改变量（角位移）Δφ或Δψ，称为图形的角位移。——也称为平面运动刚体的角位移。第22页，共96页，2023年，2月20日，星期三2、

图形的角速度、角加速度、对平面运动图形而言是标量，即只有大小、正负；但在公式推导时也可以表示成矢量：方向总垂直于纸面。第23页，共96页，2023年，2月20日，星期三（2）、注意：第24页，共96页，2023年，2月20日，星期三第25页，共96页，2023年，2月20日，星期三第26页，共96页，2023年，2月20日，星期三以为广义坐标，则（设杆长为l

）第27页，共96页，2023年，2月20日，星期三第28页，共96页，2023年，2月20日，星期三XYZijk按右手螺旋定则确定方向第29页，共96页，2023年，2月20日，星期三2.2.3、平面图形上点的运动分析

此部分实质属于点的运动学部分内容，已知平面运动图形上一点A的广义坐标以及A、B联线的方位角

，表示出所点B的运动方程，求解B

点的速度、加速度。称为：平面运动刚体上两点的速度、加速度关系。平面图形上两点的速度、加速度关系与平面运动特征有关。第30页，共96页，2023年，2月20日，星期三§2.3.矢量法研究平面图形的运动平面平动特征刚体上任意线段AB在移动过程中方向不变。平动刚体上点的速度与加速度ABB'A'A、B两点矢径、平动刚体上两点速度相等注意是常矢量第31页，共96页，2023年，2月20日，星期三同理，平动刚体上两点加速度相等即ABB'A'第32页，共96页，2023年，2月20日，星期三平动刚体速度第33页，共96页，2023年，2月20日，星期三平动刚体速度分布第34页，共96页，2023年，2月20日，星期三平动刚体加速度第35页，共96页，2023年，2月20日，星期三平动刚体加速度第36页，共96页，2023年，2月20日，星期三定轴转动特征：运动时刚体上有一根直线始终保持不动，称为轴线；其他各点绕轴线做圆周运动。可以表示为矢量定轴转动刚体上点的运动方程定轴转动刚体的角速度定轴转动刚体的角加速度第37页，共96页，2023年，2月20日，星期三定轴转动刚体上点的速度方向大小用矢量表示k第38页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体定轴转动速度第39页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体定轴转动速度分布第40页，共96页，2023年，2月20日，星期三定轴转动刚体上点的加速度速度加速度切向加速度大小法向加速度大小第41页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体定轴转动加速度第42页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体定轴转动加速度分布第43页，共96页，2023年，2月20日，星期三例：一刚体绕OZ轴转动，某瞬时刚体角速度求刚体内一点M（30,40,50）的瞬时速度304050第44页，共96页，2023年，2月20日，星期三解：304050大小另法附：矢量叉积运算第45页，共96页，2023年，2月20日，星期三例：设直角坐标系OXYZ固定不动，某瞬时刚体以角速度=18rad/s绕通过原点O的轴OA转动。A点坐标（10，40，80）试求刚体上一点M（20，-10，10）的速度v。XYZOA（10，40，80）M（20，-10，10）第46页，共96页，2023年，2月20日，星期三解：刚体绕空间轴OA转动，将向坐标轴分解。OA的方向余弦XYZOA（10，40，80）M（20，-10，10）r（大小）第47页，共96页，2023年，2月20日，星期三例：刚体以角速度绕Z轴转动，b为固结在刚体上的任意矢量。证明：ABbZO证：从O分别向A、B引矢量rA、rB有第48页，共96页，2023年，2月20日，星期三2.3.3.刚体平面运动刚体平面运动分解AxAyABB点运动方程轨迹B点的运动分解为A点的运动加绕A点的转动。——刚体平面运动分解。第49页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体平面运动分解第50页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体平面运动时两点间的速度关系1、两点速度、加速度关系——解析法运动方程速度加速度AxAyABl第51页，共96页，2023年，2月20日，星期三A、B两点矢径2、两点速度关系——基点法点B相对于A的速度第52页，共96页，2023年，2月20日，星期三OAB刚体平面运动时的速度关系：任意点（如B点）的速度等于基点（如A点）速度与绕基点的转动速度的矢量和。两点间的速度关系第53页，共96页，2023年，2月20日，星期三3、两点间速度关系——速度投影定理由于垂直于AB连线所以在AB上的投影等于零。OAB称为速度投影定理两点的速度在两点连线上的投影相等。第54页，共96页，2023年，2月20日，星期三4、两点间速度关系——速度瞬心在刚体平面运动时，垂直于基点A速度矢量vA的直线上必存在一点C，有瞬时速度vC=0。A取；可知C点必存在。C点称为速度瞬心第55页，共96页，2023年，2月20日，星期三速度瞬心的特点：AB

在每一个瞬时，平面运动刚体绕速度瞬心做定轴转动。

在不同的瞬时，瞬心位置C不同。应用：当平面运动刚体上两点速度方向已知时，通过几何方法确定速度瞬心，则刚体上任意点速度方向已知。求刚体转动角速度：确定刚体上两点间的速度关系：第56页，共96页，2023年，2月20日，星期三速度瞬心第57页，共96页，2023年，2月20日，星期三速度瞬心第58页，共96页，2023年，2月20日，星期三速度瞬心第59页，共96页，2023年，2月20日，星期三速度瞬心第60页，共96页，2023年，2月20日，星期三刚体瞬时平动第61页，共96页，2023年，2月20日，星期三一般平面运动的实质：绕不同的瞬轴转动，瞬轴可能在有限距离处，也可能在无穷远处；第62页，共96页，2023年，2月20日，星期三圆盘纯滚动速度分布第63页，共96页，2023年，2月20日，星期三瞬心轨迹第64页，共96页，2023年，2月20日，星期三第65页，共96页，2023年，2月20日，星期三确定图示机构中圆盘O、直杆AB的速度瞬心第66页，共96页，2023年，2月20日，星期三瞬时平动当A点运动到垂直直径位置时方向水平vB方向水平，AB杆的速度瞬心在无穷远处，AB杆做瞬时平动此时，AB=0；vB=vA第67页，共96页，2023年，2月20日，星期三确定图示位置机构中AC、BC的速度瞬心。第68页，共96页，2023年，2月20日，星期三确定AB杆B点的速度方向C第69页，共96页，2023年，2月20日，星期三C试确定BD杆上D点的速度方向第70页，共96页，2023年，2月20日，星期三例：曲柄滑块机构，曲柄OA做定轴转动，连杆AB做平面运动，已知=t，求滑块B的速度vBOABlR第71页，共96页，2023年，2月20日，星期三解：OA做定轴转动，A点速度vA方向如图，大小B点速度方向如图，大小未知，根据速度投影定理OABlR正弦定理确定角和的关系第72页，共96页，2023年，2月20日，星期三速度瞬心法：A、B两点速度方向已知，由几何法确定AB杆的速度瞬心p。由正弦定理OABlRp第73页，共96页，2023年，2月20日，星期三基点法：OABlR正弦定理第74页，共96页，2023年，2月20日，星期三例：直杆AB的A端以匀速v0沿半径为R的半圆弧轨道运动，而杆身始终保持与轨道右尖角接触。问：AB做什么运动？求：AB的角速度AB。Rv0ACB第75页，共96页，2023年，2月20日，星期三解：根据约束条件，vA=v0的方向与过A点的半径垂直。

vc的方向沿AB杆，大小未知。取C为基点，用基点法大小方向v0ACBR？vcvc方向：逆时针第76页，共96页，2023年，2月20日，星期三瞬心法：由于vA、vC方向已知，引线Ap、Cp确定AB杆的瞬心p。v0ACBRvcp于是方向如图第77页，共96页，2023年，2月20日，星期三第78页，共96页，2023年，2月20日，星期三解：用速度合成法（基点法）求解。取A为基点，B点的速度为vBA方向与AB杆垂直，大小未知方向大小？？第79页，共96页，2023年，2月20日，星期三作速度平行四边形，如图，得：第80页，共96页，2023年，2月20日，星期三2.3.4.平面图形上两点的加速度关系

两点间速度关系第81页，共96页，2023年，2月20日，星期三——B相对基点A的切向加速度——B相对基点A的法向加速度AB注意：第82页，共96页，2023年，2月20日，星期三加速度的计算第83页，共96页，2023年，2月20日，星期三例：半径为R的匀质圆盘在水平面上做纯滚动，已知某瞬时圆心速度vO

，加速度aO

。求边缘M1，M2，M3，

M4点的加速度。O第84页，共96页，2023年，2月20日，星期三解：因为O点速度、加速度已知，取O为基点。先确定圆盘的角速度和角加速度。O圆盘做纯滚动，M1为速度瞬心；方向：顺时针大小：角速度角加速度第85页，共96页，2023年，2月20日，星期三各点加速度OO各点相对O点切向加速度方向如图各点相对O点法向加速度方向如图第86页，共96页，2023年，2月20日，星期三各点加速度合成如图O特别