第三讲多元正态分布参数估计

第三讲多元正态分布参数估计第1页，共37页，2023年，2月20日，星期三1.样本多元分析的任务∶根据样本数据来分析各变量之间的关系，推断总体的性质。多元样本数据为一元样本第2页，共37页，2023年，2月20日，星期三2.样本平均值样本平均值是n个点的重心第3页，共37页，2023年，2月20日，星期三例题：计算均值、离差阵、协方差和相关阵第4页，共37页，2023年，2月20日，星期三3.样本离差(平方乘积和)矩阵S计算离差阵第5页，共37页，2023年，2月20日，星期三第6页，共37页，2023年，2月20日，星期三(样本协方差) (样本方差)4.样本协差阵第7页，共37页，2023年，2月20日，星期三6.样本相关矩阵RR为非负定矩阵----样本相关系数第8页，共37页，2023年，2月20日，星期三变量的线性组合的样本值计算和均值方差与协方差第9页，共37页，2023年，2月20日，星期三7.二组样本的协方差矩阵第10页，共37页，2023年，2月20日，星期三8.总体均值和协方差矩阵的最大似然估计设用最大似然法求出的均值和协方差的估计量分别为第11页，共37页，2023年，2月20日，星期三9.基本性质1）是总体均值的无偏估计2）是总体协方差的无偏估计分别是总体均值和协差阵的有效估计是总体均值和协差阵的一致估计估计3）4）和和和第12页，共37页，2023年，2月20日，星期三10.定理设和S分别是正态总体样本均值和离差阵，则和S相互独立1）2）3）第13页，共37页，2023年，2月20日，星期三二、多元统计中常用的分布在一元统计中，常用的分布有卡方分布、t分布和F分布。在多元统计中，他们分别发展为Wishart分布、T2分布和Wilks分布。第14页，共37页，2023年，2月20日，星期三11分布和Wishart分布

定义1设为相互独立且同服从于分布的随机变量。则 (1)所服从的分布叫做分布，称为自由度且记为。

第15页，共37页，2023年，2月20日，星期三定理2.由(1)式定义的随机变量的分布密度函数为

第16页，共37页，2023年，2月20日，星期三定理3.设，且与相互独立，则

推论2设是抽自正态总体的简单随机样本，则统计量第17页，共37页，2023年，2月20日，星期三Wishart分布它是多元样本离差平方和矩阵的分布定义1设为相互独立且同服从于分布，令则 (1)所服从的分布叫做自由度为的p维维希特分布，记作第18页，共37页，2023年，2月20日，星期三显然，当p=1时，有Wishart分布像卡方分布一样具有加法性质，若相互独立，则第19页，共37页，2023年，2月20日，星期三设，且与相互独立，则称随机变量

服从自由度为的分布，记为。

将T平方，即三分布与分布第20页，共37页，2023年，2月20日，星期三在多元统计中分布是一元统计中t分布的推广定义：若，S与X相互独立、称随机变量是自由度为（p，n）的分布可以转化为F分布Hotelling第21页，共37页，2023年，2月20日，星期三四、分布与Wilks分布定义3设，，且与相互独立，则称随机变量

服从自由度为的分布，记为。F—分布事实上为从正态总体随机抽取的两个样本方差的比，在方差分析和回归分析中广泛使用第22页，共37页，2023年，2月20日，星期三描述的变异程度的统计参数称为广义方差，其定义有很多如F—统计量的推广是统计量定义：若相互独立，则称随机变量的分布是自由度为(p,n1,n2)的分布第23页，共37页，2023年，2月20日，星期三第三章假设检验

1、Σ已知时单总体均值向量的检验设从总体X～NP(μ,Σ)中随机抽取了一个容量为n的样本，得到的无偏估计为检验是否等于已知向量。即，第24页，共37页，2023年，2月20日，星期三由于由正态分布与卡方分布的关系得构造检验统计量为具体步骤是：①作统计假设②计算样本的均值③计算统计量T的具体值T0④按规定的小概率标准α，查卡方分布表Ta，得临界值，并作出判断当T0≤Ta，接受H0，拒绝H1，即认为与没有显著差异。当T0＞Ta，接受H1，拒绝H0，即认为与有显著差异。第25页，共37页，2023年，2月20日，星期三2、Σ未知时均值向量的检验

在一元统计理论中，当方差未知时，取检验统计量为推广到多元，考虑统计量第26页，共37页，2023年，2月20日，星期三其中样本均值样本离差阵

故由T2分布定义知其中利用T2与F分布的关系，检验统计量取为第27页，共37页，2023年，2月20日，星期三具体步骤是：①作统计假设：，②计算样本均值和样本协方差③由公式计算F统计量具体值F0。④按规定的显著水平α，查F分布临界值，并作出判断：当接受H0，拒绝H1；当拒绝H0，接受H1。第28页，共37页，2023年，2月20日，星期三例1某小麦良种的四个主要经济性状的理论值为

现在从外地引入一新品种，在21个小区种值，取得数据如表：

小区号

性状1234567X122.8822.7422.6022.9322.7422.5322.67X232.8132.5632.7632.9532.7432.5332.58X351.5151.4951.5051.1751.4551.3651.44X461.5361.3961.2260.9161.5661.2261.30

小区号

性状891011121314X122.7422.6222.6722.8222.6722.8122.67X232.6732.5732.6732.8032.6732.6732.67X351.4451.2351.6451.3251.2151.4351.43X460.3061.3961.5060.9761.4961.1561.15

小区号

性状15161718192021X122.8123.0223.0223.1522.8823.1623.13X233.0233.0532.9533.1533.0632.7832.95X351.7051.4851.5551.5851.4551.4831.38X461.4961.4461.6261.6561.5461.4161.58第29页，共37页，2023年，2月20日，星期三设新品种的四个性状服从正态，试检验假设

3．查F表，得F0.05(4,17)=2.96，因为故拒绝H。第30页，共37页，2023年，2月20日，星期三3、两总体协差阵相等（但Σ未知）时均值向量的检验当P=1时，因且相互独立，在H0成立条件下，有，

第31页，共37页，2023年，2月20日，星期三推广到P元总体，可以得到形式类似的统计量T2：X～NP(μ1,Σ)Y～NP(μ2,Σ)

其中第32页，共37页，2023年，2月20日，星期三具体步骤：①作统计假设：，②计算样本均值和，样本离差阵。③由公式计算统计量具体值F。④按规定的显著水平α，查F分布临界值当接受H0，拒绝H1；当拒绝H0，接受H1。第33页，共37页，2023年，2月20日，星期三4、Σ已知时，均值μ的置信域从一元统计中我们已经了解到，均值假设检验问题本质上也等价于均值的置信区间

假设来自P元正态总体NP(μ,Σ)由前面讨论知在任给置信度，查卡方分布临界值表得满足则均值向量的置信度为的置信域为第34页，共37页，2023年，2月20日，星期三该置信域是一个中心在椭球。当检验