河南省许昌平顶山2022-2023学年数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（）A． B． C． D．2．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为A．18 B．24 C．28 D．363．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为，每扇形的半径设为满足，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．4．已知，∈C．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．设，，若，则的最小值为A． B．8 C．9 D．106．设等比数列满足，，则的最大值为A．32 B．128 C．64 D．2567．复数满足，则（）A． B． C． D．8．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（）A． B．C． D．9．复数的模是()A．3 B．4 C．5 D．710．变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）A．—2 B．—1 C．1 D．211．已知复数，则其共轭复数对应的点在复平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知角的终边经过点，则的值等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．14．在极坐标系中，点到直线的距离为_____.15．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.16．某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）若函数的导函数为偶函数，求的值；（2）若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围18．（12分）在极坐标系中,O为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为P（1）当时，求及的极坐标方程（2）当在上运动且点P在线段上时，求点P的轨迹的极坐标方程19．（12分）已知点为抛物线上异于原点的任意一点，为抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于点，点关于轴的对称点为.（1）证明：直线恒过定点；（2）如果，求实数的取值范围.20．（12分）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.21．（12分）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.22．（10分）（1）已知复数满足，的虚部为，求复数；（2）求曲线、直线及两坐标轴围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：先求出基本事件的总数，再求出这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数的基本事件，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.详解：从6个球中一次摸出2个球，共有种，2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，共有：9种，获奖的概率为.故选A.点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．2、D【解析】分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。详解：类型1：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有，另外3人派往2个地区，共有18种。类型2：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有，另外2人派往2个地区，共有18种。综上一共有36种，故选D点睛：有限制条件的分派问题，从有限制条件的入手，一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步。3、D【解析】

根据定义求数列和，利用化简求解，利用特殊值否定结论.【详解】由题意得为以为长和宽矩形的面积，即；；又，故正确；因为，所以D错误,选D.【点睛】本题考查数列求和以及利用递推关系化简，考查综合分析求解能力，属较难题.4、A【解析】

根据充分条件和必要条件的定义分析可得答案.【详解】显然“”是“”的充分条件，当时，满足，但是不满足，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.5、C【解析】

根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。【详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。【点睛】本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。6、C【解析】

先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得，令，根据复合函数的单调性即可求出．【详解】由，，可得，解得，，，，令，当或时，有最小值，即，的最大值为，故选C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题7、C【解析】

利用复数的四则运算可得，再利用复数的除法与减法法则可求出复数.【详解】，，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的求解，考查计算能力，属于基础题．8、C【解析】

作，垂足为点D．利用点在抛物线上、，结合抛物线的定义列方程求解即可.【详解】作，垂足为点D．由题意得点在抛物线上，则得．①由抛物线的性质，可知，，因为，所以．所以，解得：．②．由①②，解得：（舍去）或．故抛物线C的方程是．故选C．【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.9、C【解析】

直接利用复数的模的定义求得的值．【详解】|，故选：C．【点睛】本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题．10、C【解析】

将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示，其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C．考点：线性规划．11、D【解析】

先利用复数的乘法求出复数，再根据共轭复数的定义求出复数，即可得出复数在复平面内对应的点所处的象限．【详解】，，所以，复数在复平面对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D．【点睛】本题考查复数的除法，考查共轭复数的概念与复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题．12、A【解析】

由三角函数的定义可求出的值.【详解】由三角函数的定义可得，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由组合数结合古典概型求解即可【详解】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共三种，所以，所求概率为.故答案为【点睛】本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.14、【解析】

把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离．【详解】解：点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线ρ（cosθ+sinθ）＝6的直角坐标方程为x+y﹣6＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）＝6的距离为，故答案为.【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．15、【解析】

利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．16、25【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为，所以成绩在80分以上的概率为，因此成绩在80分以上的人数为点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1;频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数;频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）求出函数的导数，由于二次函数为偶函数，所以一次项系数为，进而求得a的值；（2）由题意得存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于.【详解】（1）∵，由题因为为偶函数，∴，即（2）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，∴关于的方程有两个不相等的实数根，∴，即，∴.∴a的取值范围为.【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线存在两条垂直于轴的切线转化成方程有两根.18、（1），极坐标方程为（2）点轨迹的极坐标方程为【解析】

（1）当时，，直角坐标系坐标为，计算直线方程为化为极坐标方程为（2）点的轨迹为以为直径的圆，坐标方程为，再计算定义域得到答案.【详解】(1)当时，，以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，，，则直线的斜率由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；(2)∵∴，则点的轨迹为以为直径的圆此时圆的直角坐标方程为化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，∴点轨迹的极坐标方程为）.【点睛】本题考查了直线的极坐标方程，轨迹方程，忽略掉定义域是容易发生的错误.19、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）设，计算得到，直线的方程为，得到答案.（2）计算，设，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）设，因为，所以，由三点共线得，化简得，即，由此可得，所以直线的方程为，即，因此直线恒过定点.（2），，令，如果，则；如果，则，当时，，时等号成立，从而，即；当时，函数在上单调递减，当时，，故，故，所以，故.综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点问题，求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、（1）（2）【解析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程,结合关系式和,组成方程组,可解得的值,从而可得椭圆的方程.（2）由题意分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为.将直线方程和椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程.由题意可知其判别式大于0,可得的范围.设，的坐标分别为，.由韦达定理可得的值.根据数量积公式用表示.根据的范围求得范围.试题解析：解：（1）由题意得解得，．椭圆的方程为．（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得.直线与椭圆交于不同的两点，，，解得.设，的坐标分别为，，则，，，．．，．的取值范围为．考点：1椭圆的简单基本性质;2直线与椭圆的位置关系;3值域问题.21、（1）见解析；（2）【解析】

（1）抛掷5次的得分可能为，且正面向上和反面向上的概率相等，都为，所以得分的概率为，即可得分布列和数学期望；（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．，因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，即求得恰好得到分的概率．【详解】（1）所抛5次得分的概率为，其分布列如下（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．因为“不出现分”的概