九章算术(教师版)

九章算术(教师版)PAGE2PAGE4九章算术与高考数学创新题1．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．1.【解析】设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9，且数列{an}为等差数列．a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a5－10d＝3，①3a5＋9d＝4，②联立①②解得a5＝.2.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin第一步：构造数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于()A．n2 B．(n－1)2C．n(n－1) D．n(n＋1)4.【解析】a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝eq\f(n,1)·eq\f(n,2)＋eq\f(n,2)·eq\f(n,3)＋…＋eq\f(n,n－1)·eq\f(n,n)＝n2[eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·3)＋…＋eq\f(1,（n－1）n)]＝n2[1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)]＝n2·eq\f(n－1,n)＝n(n－1)．5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为________．5.[解析]由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成：(5.4－x)×3×1＋π·(eq\f(1,2))2x＝12.6，解得x＝1.6.6．中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐．问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD，芦苇根部O为AB的中点，顶端为P(注芦苇与水面垂直)．在牵引顶端P向水岸边中点D的过程中，当芦苇经过DF的中点E时，芦苇的顶端离水面的距离约为________尺．(注：1丈＝10尺，eq\r(601)≈24.5)6.[解析]设水深为x，则x2＋52＝(x＋1)2，解得：x＝12.∴水深12尺，芦苇长13尺，以AB所在的直线为x轴，芦苇所在的直线为y轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P的轨迹是以O为圆心，半径为13的圆，其方程为x2＋y2＝169，(－5≤x≤5，12≤y≤13)，①E点的坐标为(－eq\f(5,2)，12)，∴OE所在的直线方程为y＝－eq\f(24,5)x，②由①②联解得y＝eq\r(\f(169×576,601))≈eq\f(13×24,24.5)＝eq\f(624,49).则此时芦苇的顶端到水面的距离为eq\f(624,49)－12＝eq\f(36,49).7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图，在堑堵ABC­A1B1C1中，AC⊥BC.(1)求证：四棱锥B­A1ACC1为阳马，并判断四面体A1CBC1是否为鳖臑，若是写出各个面的直角(只写出结论)．(2)若A1A＝AB＝2，当阳马B­A1ACC1体积最大时．①求堑堵ABC­A1B1C1的体积；②求C到平面A1BC1的距离．7.[解](1)证明：由堑堵ABC­A1B1C1的性质知：四边形A1ACC1为矩形．∵A1A⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，A1A∩AC＝A.A1A，AC⊂平面A1ACC1.∴BC⊥平面A1ACC1，∴四棱锥B­A1ACC1为阳马，且四面体A1CBC1为鳖臑，四个面的直角分别是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B.(2)∵A1A＝AB＝2.由(1)知阳马B­A1ACC1的体积V＝eq\f(1,3)S矩形A1ACC1·BC＝eq\f(1,3)×A1A×AC×BC＝eq\f(2,3)AC×BC≤eq\f(1,3)(AC2＋BC2)＝eq\f(1,3)×AB2＝eq\f(4,3).当且仅当AC＝BC＝eq\r(2)时，Vmax＝eq\f(4,3)，此时①堑堵ABC­A1B1C1的体积V′＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2＝2.②由题意与题图知，V三棱锥B­A1AC＝V三棱锥B­A1C1C＝eq\f(1,2)V阳马B­A1ACC1＝eq\f(2,3).又A1C1＝eq\r(2)，BC1＝eq\r(BC2＋C1C2)＝eq\r(6)，设C到平面A1BC1的距离为d.则eq\f(1,3)S△A1BC1·d＝eq\f(2,3).即eq\f(1,3)·eq\f(1,2)eq\r(2)×eq\r(6)·d＝eq\f(2,3)，∴d＝eq\f(4,\r(2)×\r(6))＝eq\f(2,3)eq\r(3).8．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式.根据判断,下列近似公式中最精确的一个是 （）A． B． C． D．8.【解析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为a：b，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．由设选项中的常数为，则可知，选项A代入得，选项B代入得π==3，选项C代入可知，选项D代入可知，故D的值接近真实的值，故选D.9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2，在鳖臑PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是A．B．C．D．（）9.【解】显然，则，又，则，故，，结合条件得，所以、均为直角三角形，由已知得，而，当且仅当时，取“=”，所以，当时，的面积最大，此时，故选B．10．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．10.【解析】由题可知每天的织布量构成首项是5，公差为的等差数列，且前30项和为390．根据等差数列前项和公式，有，解得，故选D．11．如图，在杨辉三角形中，斜线SKIPIF1<0的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,…，记其前n项和为Sn，则S19等于（）A．129 B．172C．228 D．28311.【解】选D．杨辉三角形的生成过程，n为偶数时，，n为奇数时，a1=1．a3=3，an+2=an+an-1=an+，∴a3-a2=2，

a5-a3=3，…an-an-2=，an=，∴S19=a1+a3+…+a19+（a2+a4+…a18）=（1+3+6+…55）+（3+4+5+…+11）=220+63=283.，12．公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、，那么（）A．B．C．D．12.【解析】选D．，。考点：类比推理13．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入，，则输出的的值为（）A．0B．11C．22D．8813.【解析】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；结束循环，输出选B．14．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中不可能成立的是（）A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素14.【解析】设,显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；,显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；,显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能；同时，假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故选C．【方法点睛】创新题型，应抓住问题的本质，即理解题中的新定义，脱去其“新的外衣”，转化为熟悉的知识点和题型上来．本题即为，有理数集的交集和并集问题，只是考查两个子集中元素的最值问题，即集合M、N中有无最大元素和最小元素．15．（2013•湖北）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_________寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）15.【解析】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．16．2002年在北京召开的数学大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的角为，那么的值为；16.【解析】∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．∴5cosθ-5sinθ=1，∴cosθ-sinθ=15．∴两边平方得：1-sin2θ=1/25，∴sin2θ=24/25．∵θ是直角三角形中较小的锐角，∴0＜θ＜π/4，0＜2θ＜π/2．∴cos2θ==．17．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列中，，…则____；若，则数列的前项和是_____（用表示）．17.【解析】，，，，，，；，，，，；，，，累加得所以数列的前项和是.18．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）18.【解析】(1)扇形半径，2分扇形面积等于5分弧田面积=（m2）7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦矢+矢2）=.10分平方米12分

按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.19．(2015·高考湖北卷)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接．（Ⅰ）证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马体积为，四面体的体积为，求的值．19.【解析】（Ⅰ）因为底面，所以．由底面为长方形，有，而，所以平面．平面，所以．又因为，点是的中点，所以．而，所以平面．由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，，所以．在△中，因为，点是的中点，所以，于是20．请阅读下列材料，“杨辉三角”(1261年)是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如表1).在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1,分母为正整数的分数）,称为莱布尼兹三角形(如表2)表1表2表1表2回答下列问题:（I）记为表1中第n行各个数字之和,求，并归纳出；（II）根据表2前5行的规律依次写出第6行的数.21．根据我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”求99，36的最大公约数的操作步骤为：（99，36）→（63，36）→（27，36）→（27，9）→（18，9）→（9，9