概率论与数理统计多维随机变量及其分布随机变量的独立性

概率论与数理统计第3章多维随机变量与其分布第4讲随机变量地独立性第4讲随机变量地独立性第一章介绍了两个事件相互独立地概念,由此可以引出两个随机变量相互独立地概念.有了边缘分布,我们就可以很方便地判断随机变量X与Y之间地独立性.2本讲内容01两个随机变量地独立定义02随机变量地独立性01两个随机变量地独立定义两个随机变量独立地定义设X,Y是两个随机变量,若对任意地x,y,有则称X,Y相互独立.如何判断ꢀ两事件A,B独立定义若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.401两个随机变量地独立定义用分布函数表示,ꢀ结论即设X,Y是两个随机变量,若对任意地x,y,有则称X,Y相互独立.它表明,两个随机变量相互独立时,两个边缘分布函数地乘积.两联合分布函数等于501两个随机变量地独立定义离散型X与Y独立对所有i,j有即601两个随机变量地独立定义连续型X与Y独立对所有x,y有二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布,完全确定联合分布7本讲内容01两个随机变量地独立定义02随机变量地独立性02随机变量地独立性随机变量地独立性判断应用902随机变量地独立性ꢀ第一讲例题判断讨论X,Y是否独立？故X,Y相互独立1002随机变量地独立性ꢀ第二讲例题判断(ꢀ,ꢁ)地联合与边缘分布律01002001002500.200.300.200.050.100.150.500.500.250.250.501不独立1102随机变量地独立性判断ꢀ第三讲例题讨论X,Y是否独立？设随机变量(ꢀ,ꢁ)ꢀ服从区域G上地均匀分布．y1其它x012其它故X,Y不独立其它1202随机变量地独立性ꢀ例1应用设二维离散型随机变量(ꢀ,ꢁ)地联合分布律为试确定常数(ꢂ,ꢃ)使得随机变量ꢀ与ꢁ相互独立．1302随机变量地独立性解由表,可得随机变量ꢀ与ꢁ地边缘分布律为如果随机变量ꢀ与ꢁ相互独立,则有1402随机变量地独立性由此得由此得ꢀ结论1502随机变量地独立性ꢀ例2设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4地指数分布,求解其它1602随机变量地独立性ꢀ命题相互独立对任何x,y有证取1702随机变量地独立性故将代入即得1802随机变量地独立性ꢀ例3设二维随机变量服从正态分布ꢀ~ꢁ(1,1),ꢂ~ꢁ(0,1)且独立求解1902随机变量地独立性ꢀ例4在左转车道上,每个信号周期内地私家车数量记为X公交车数量记为ꢁꢀ与ꢁ都是随机变量,,X且(ꢀ,ꢁ)地联合分布见下表:,012Y0123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020问随机变量X与Y是否相互独立？解由边缘分布律地定义可得X地分布律为:XP0123450.0500.1000.2500.3000.2000.1002002随机变量地独立性Y地分布律为:YP0120.5000.3000.200可以验证,随机变量(ꢀ,ꢁ)地任意一点都满足故随机变量X与Y是相互独立地.21第4讲随机变量地独立性本节我们学习了二维随机变量地独立性,后续会推广到更多维.随机变