电磁场与电磁波总复习解析

ssV1．两个矢量的矢量积(叉乘)满足以下运算规律(B)A.交换律AB=BAB.分配率A(B+C)=AB+ACC.结合率D.以上均不满足2.下面不是矢量的是(C)A.标量的梯度B.矢量的旋度C.矢量的散度D.两个矢量的叉乘3.下面表述正确的为(B)A.矢量场的散度结果为一矢量场B.标量场的梯度结果为一矢量(具有方向性，最值方向)C.矢量场的旋度结果为一标量场D.标量场的梯度结果为一标量4.矢量场的散度在直角坐标下的表示形式为(D)5.散度定理的表达式为(A)体积分化为面积分ssV6.斯托克斯定理的表达式为(BLLs7.下列表达式成立的是(C)sV)面积分化为线积分LLssB.(u)=0；D.(u)=0 8.下面关于亥姆霍兹定理的描述，正确的是(A)(注：只知道散度或旋度，是不能全面反映场的性质的)A.研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。B.研究一个矢量场，只要研究它的散度就可确定该矢量场的性质。C.研究一个矢量场，只要研究它的旋度就可确定该矢量场的性质。D.研究一个矢量场，只要研究它的梯度就可确定该矢量场的性质。1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一矢量场在闭合路径上的环流和在闭合面上的通量都是标量。(√)为等值面。(√)场的旋度运算都是矢量。(√)5.矢量场在闭合路径上的环流是标量，矢量场在闭合面上的通量是矢量。(×)标量6.梯度的方向是等值面的切线方向。(×)法线方向1．某二维标量函数u=y22x,求(1)标量函数梯度u;(2)求梯度在正x方向的投影。解：(1)标量函数的梯度是u=?ue+?ue=2e+2ye?xx?yyxy(2)梯度在正x方向的投影xxyx2．已知某二维标量场u(x,y)=x2+y2，求(1)标量函数的梯度；(2)求出通过点(1,1)处解：(1)标量函数的梯度是u=?ue+?ue=2xe+2ye?xx?yyxy(2)任意点处的梯度大小为u=2x2+y2u=223．已知矢量A=ex+exyz+exy2z，(1)求出其散度；(2)求出其旋度xyz解：(1)矢量的散度是.A=?Ax+?Ay+?Az=1+xz+xy2?x?y?z(2)矢量的旋度是xyzA=xyzA=???=e(2xyzxy)+e(y2z)+eyz?x?y?zxyzxxyzxy2z4．矢量函数A=x2e+ye+xe,试求(1).A;(2)若在xy平面上有一边长为2的xyzii正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A穿过此正方形的通量。6x6y6z(2)矢量A穿过此正方形的通量SSzSxyzzSS)1.毕奥—沙伐尔定律(C)(提示该定律没有考虑磁化介质，是在真空中，以)0A.在任何媒质情况下都能应用B.在单一媒质中就能应用C.必须在线性，均匀各向同性媒质中应用。2.一金属圆线圈在均匀磁场中运动，以下几种情况中，能产生感应电流的(C)A.线圈沿垂直于磁场的方向平行移动B.线圈以自身某一直径为轴转动，转轴与磁场方向平行会导致磁通变化)3.如图所示，半径为a的圆线圈处于变化的均匀磁场中，线圈平面与B垂直。已知B=3t2+2t+1，则线圈中感应电场强度E的大小和方向为(C) liS6t4.比较位移电流与传导电流，下列陈述中，不正确的是(A)A.位移电流与传导电流一样，也是电荷的定向运动(提示位移电流是假想电流，为了支持B.位移电流与传导电流一样，也能产生涡旋磁场C电不同，它不产生焦耳热损耗5.根据恒定磁场中磁感应强度B、磁场强度H与磁化强度M的定义可知，在各向同性媒0A.B与H的方向一定一致，M的方向可能与H一致，也可能与H相反B.B、M的方向可能与H一致，也可能与H相反C.磁场强度的方向总是使外磁场加强。6.恒定电流场基本方程的微分形式说明它是(A)A.有散无旋场B.无散无旋场C.无散有旋场xyz8.已知电场中一个闭合面上的电通密度，电位移矢量D的通量不等于零，则意味着该面sA.一定存在自由电荷B.一定不存在自由电荷C.不能确定A.在各种媒质中适用B.在各向异性的介质中适用C.在各向同性的、线性的均匀的介质中适用BHMAB0A.在各种磁介质中适用B.只在各向异性的磁介质中适用C.只在各向同性的、线性的均匀的磁介质中适用1．真空中均匀带电球体，其电荷密度为p，半径为a。试求(1)球内任一点的电场强度；(2)球外任一点的电位移矢量。解：解：(1)作半径为r的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小s3pD=re(1分)3rDp电场强度为E=e=3erer(2分)0(2)当r>a时，作半径为r的高斯球面，根据高斯定理，有(2分)(2分)3pa3D=e(3分)3r2r2．在真空中，有一均匀带电的长度为L的细杆，其电荷线密度为T。求在其横坐标延长线上距杆端为d的一点P处的电场强度E。P(2分)(2分)解：将细杆分解为无数个线元，每个线元都会产生各自的电场强度，方向都沿e。在离左x00(5分)由电场的叠加，合电场只有e分量，得到x03.一个球壳体的内半径、外半径分别为a和b，壳体中均匀分布着电荷，电荷密度为p。试求离球心为r处的电场强度。3011s2ees2ee00023er2r23er2r00zz(2分)(3分)xq0到E3=3er20er(2分)4．设半径为a的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I的电流，设柱外为自由空间，求柱内 离轴心r任一点处的磁场强度；柱外离轴心r任一点处的磁感应强度。 解：由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱，c整理可得柱内离轴心r任一点处的磁场强度H=H=I(r想柱外离轴心r任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向，在0jj00c整理可得柱内离轴心r任一点处的磁感应强度(2分)5．设无限长直导线与矩形回路共面，(如图所示)，(1)判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向(在图中标出)；(2)设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。解：建立如图坐标,通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸y0c由对称性，在整个区域磁感应强度没有x向分量，由对称性，在整个区域磁感应强度没有x向分量，6．有一半径为R的圆电流I，求：(1)其圆心处的磁感应强度B0？(2)在过圆心的垂线上、与圆心相距为H的一点P，其B？解：(1)在圆环上取电流微元Idl=IRd0，由毕奥—萨伐尔定律，在圆心O产生的磁感应4几(R2+H2)z4几(R2+H2)圆心处的总磁感应强度0(2)如图，由毕奥—萨伐尔定律，在圆轴线上P点产生的磁感应强度，RH(R2+H2)osRH(R2+H2)z4几(R2+H2)(R2+H2)077.正弦交流电压源u=Usin(Ot)连接到平行板电容器的两个极m板上，如图所示。(1)证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r处的磁场强度。i=dq=Cdu=Cd[Usin(Ot)]=COUcos(Ot)(2分)cdtdtdtmmu忽略边缘效应时，间距为d的两平行板之间的电场为E=，dd则dxx则极板间的位移电流为dSdS?td0mcSdSdS?td0mcS0d(2)以r为半径作闭合曲线，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故c穿过闭合线的只有导线中的传导电流，故得0m0m0008.在无源(J=0、p=0)的电介质中，若已知电场强度矢量xmm解：由麦克斯韦方程组可知?tx?xy?yz?zxx?tx?xy?yz?zxx对时间t积分，得?tyO?txm以上场矢量都满足麦克斯韦方程，将H和D代入式zez??H??HH??H?zx?zHHz一．选择题1.下面说法正确的是(C)A.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。(注：一个为散度场，一个为旋度场)B.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。C．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用磁矢位函数2.下面说法错误的是(C)A.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁进行分析。B.按统一规则绘制出的力线可以确定矢量场中各点矢量的方向，还可以根据力线的疏密判别出各处矢量的大小及变化趋势。C.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。(注：拉普拉斯方程适用于无源区域)3.电源以外恒定电场基本方程的积分形式是(A)4.静电场中电位为零处的电场强度(C)(注：电位的零点可以任意选，有意义的是电位差值)A.一定为零B.一定不为零C.不能确定A注：互感与电流无关)A.增加两线圈的匝数B.增加两线圈的电流C.增加其中一个线圈的电流6.两个载流线圈的自感分别为L和L，互感为M。分别通有电流I和I，则系统的储能1212为(C)A.W=LI2+LI2B.W=(LI2+LI2+MIIm211222m2112212C.W=C.W=(LI2+LI2+2MII)(注：C是W=LI2+LI2+MII的变形)m2112212m211222127.镜像法的理论根据是(A)A.场的唯一性定理B.库仑定律C.迭加原理8.对于像电荷，下列说法正确的是(B)A.像电荷是虚拟电荷，必须置于所求区域之内B.像电荷是虚拟电荷，必须置于所求区域之外C.像电荷是真实电荷，必须置于所求区域之内9．对于处于静电平衡状态的导体，下列说法不正确的是(C)A.导体为等位体B.导体内部电场为010.10.如图所示两个平行通以同向的载流线圈，所受的电流力使两线圈间的距离而(B)A.扩大B.缩小C.不变 (注：电流产生的场同向，类似磁铁的相异的两极相吸)1.电荷q均匀分布在内半径为a,外半径为b的球壳部分)。4"4"30130301230ab00jdrb0004"c(b3-a3)2ab4"cb4"c(b3-a3)2ab4"cb00b(外导体厚度可忽略不计)，内、外导体间介质b(外导体厚度可忽略不计)，内、外导体间介质流电压U，如图2示。0解：(1)在内、外导体间加以直流电压U，电势差存在于内导体外表面和外导体内表面之0即电场强度为E=0(4分)1(内导体内部没有电荷，如果有，在电压作用下，会被吸附到内导体的外表面)求：(1)求：(1)电缆内从r至R各区域的场强E。(2)单位长度电(2)假设单位长度上内导线表面的电荷为q，当r>a时，作半径为r的高斯球面，根据高斯定理，有s由000q=00(2分)lnbaUrrrlnba (3)同轴线单位长度的电容C= (3)同轴线单位长度的电容C==0U0lnba33．同轴长电缆的内导体半径为r，外导体半径为R(外导体厚度可忽略不计)，中间充塞两层同心介质：第一层为电缆中的斜线表示区分不同的介质)。在电缆内外柱面间加以直流电压U。。解：(1)假设单位长度上内导线表面的电荷为q，当p>r时，作半径为p的高斯球面(注：这里p是半径，因为r已经被作为常数用了)，根据高斯定理，有spp由r1r'2r2epr'2epr1r'2r2epr'2ep1212=(3分)erer'=(3分)erer'12因此E=Ue(rpr'),(1分)erer'11(1lnr'+1erer'112E=Ue(r'pR)(1分)erer'22(1lnr'+erer'212q2 (2)同轴线单位长度的电容C==(3分)erer'U(1lnr'erer'212(3)单位长度电缆中(填充介质部分)的电场能WWWjreEpdpjReE22pdp122r112r'22=1ejr'[U]22pdp+1ejR[U]22pdperer'1erer'221r(1lnr'+1lnR)ep22rerer'1erer'21212UlnrU2lnR1erer'2erer'1212e(1lnr'+1lnR1erer'2erer'1212eeU2elnr'+elnelnr'+elnRr0r1=EEE0r1=EEE11U224．在面积为S、相距为d的平板电容器里，填以rr2的斜线表示区分不同的介质)。将电容器两极板接到电压为U的0直流电源上。求：(1)电容器内介质和介质r1r2解:选取电容器上下板为高斯面，电场强度在两板区域，且垂直两板，假设上下板的电荷s得电场强度由====r1r1(2分)102SS2r1r2102SS2r1r22USr1r22UE=d(r2),r1r2Ud)r1r2(2分)(2)电容器中的电场能量122r112r22V1V1(5分)r1r2=E2+E2=2r1122r2225.5.同轴长导线的内导体半径为a，外导体半径为b(外导体厚度可忽略不计)，内导体线上流动的电流为I，(1)计算同轴线单位长度内的储存的磁场能量；(2)根据磁场能量求出同轴线单位长度的电感。解：(1)由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向e，在ra区域由安培环路定律：， c 整理可得柱内离轴心r任一点处的磁场强度H=，BH=，B=0(ra)(1分)柱外离轴心r任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向，在0220c整理可得柱内离轴心r任一点处的磁感应强度B=0(1分)202几r同轴线单位长度内的储存的磁场能量120001(2)由W=LI2m22Wb故L=m=02WbBB)1.损耗媒质中的电磁波,其传播速度随媒质电导率的增大而(B)A.不变A.不变122p1()21]2.在无损耗媒质中,电磁波的相速度与波的频率(D)D11vk3.自由空间中所传输的均匀平面波，是(C)A.TE波B.TM波C.TEM波D.以上都不是4.电偶极子所辐射的电磁波，在远区场其等相位面为(A)A.球面B.平面C.柱面D.不规则曲面5.下面说法错误的是(A)的B．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量都为0。C．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生全反射。D．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合右手螺旋关系。6.两个极化方向相互垂直的线极化波叠加，当振幅相等，相位差为/2或3/2时，将形成(B)7.均匀平面波由一介质垂直入射到理想导体表面时，产生全反射，入射波与反射波叠加将形成驻波，其电场强度和磁场的波节位置(B)(见课本231面)8.下面说法错误的是(D)A．在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，使电磁场以波的形式传播B.麦克斯韦方程组表明不仅电荷可以产生电场，而且随时间变化的磁场也可以产生电场。C.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可D导体表面时，电磁波将发生全透射。(反)9.下面说法错误的是(D)A波能量传播速度等于C.所谓均匀平面波是指等相位面为平面，且在等相位面上各点的场强相等的电磁波。D.在导电媒质中，电磁波传播速度随振幅变化的现象称为色散现象。(频率)10.对于载有时变电流的长直螺线管中的坡印廷矢量S，下列陈述中，正确的是(C)A.无论电流增大或减小，S都向内B.无论电流增大或减小，S都向外000yz=0点瞬时坡印廷矢量8z=0点瞬时坡印廷矢量4yz=0点瞬时坡印廷矢量8z=0点瞬时坡印廷矢量440点的平均坡印廷矢量4lS?t?tlS?t?t二、计算题(共70分)xyzyzxzxyxyzyzxzxyyxzzyxxzy0yx00y80jejx00x00x00x000E00E000瞬时坡印廷矢量为0z入8z2入0入入avT0avT0Tz2山00O2.(10分)时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：E=Ecos(Ot-0),0e0m200em––0电场强度的复数表达式(3分)––H=He-j0m0(2分)av2(3分)av200200e(3分)或者积分计算(较复杂，要把时间标出积分)y y00方向沿-z向。(1)波阻抗山山0c0(3分)k100(5)H的大小和方向1nz1nz0xx(6)坡印廷矢量xyxz4.(15分)在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为–解(1)平面波的传播方向为＋z方向(2)频率为f(2)频率为fk3109Hz(因为k2f)00c(3)波的极化方式因为(3)波的极化方式因为EE104,0，故为左旋圆极化xmymxy22(4)磁场强度yxH0eE(ee104jee104yxzzxzy37700(5)平均功率坡印廷矢量SRe[EH*]Re[(e104je104)ej20zav22xy1(e104je104)ej20z]1[(104)2(104)2]eyx2z000zzz入射到理想导体，如图1所示，该电磁波电场只有x0解：由下列公式cj/，j[1j/()]，cj/crm2c1c，tmrm2c1c，tm2c，EEim2c1cim2c1ciximiyimE(z)eEe1zeEe1z，H(z)eEe1zrxrmximryimtxtmximH(z)eEe2ztyim(1)将代入得到2–HEz0–Ey00(2分)(2分)(1分)x)y理想导体，如图2所示，该电磁波电场只x0解：由下列公式cj/，j[1j/()]cj/crm2c1c，tmrm2c1c，tm2c，EEim2c1cim2c1ciximiyimE(z)eEe1zeEe1z，H(z)eEe1zrxrmximryimtxtmximH(z)eEe2ztyim(1)将Q=的代入得到反射波电场2–E=Eejbzrxrrx0r(2分)r0因此，反射波电场的表达式为–E=-Eejbzr