弹性力学基本理论车辆工程

弹性力学基本理论车辆工程第1页，共73页，2023年，2月20日，星期一§2-1弹性力学中的几个基本概念

按照外力作用的不同分布方式，可分为体积力和表面力，分别简称体力和面力。

（2）性质：一般情况下,体力随点的位置不同而不同，体力是连续分布的。（一）外力1.体力（1）定义：所谓体力是分布在物体体积内的力，如重力和惯性力。第2页，共73页，2023年，2月20日，星期一（3）体力集度：体力的平均集度为：P点所受体力的集度为：的方向就是的极限方向。zxy△VOP图1-2第3页，共73页，2023年，2月20日，星期一（4）体力分量：将f沿三个坐标轴分解，可得到三个正交的分力：

fx、fy、fz

称为物体在P点的体力分量，其方向与坐标轴正向相同时为正，因次是[力][长度]-3。（N/m3）zxy△VOP图1-2第4页，共73页，2023年，2月20日，星期一2.面力上面力的平均集度为：（3）面力集度：xyzP△S图1-3（2）性质：一般情况下,面力一般是物体表面点的位置坐标的函数。（1）定义：分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力。第5页，共73页，2023年，2月20日，星期一P点所受面力的集度为：（4）面力分量：xyzP△S图1-3

P点的面力分量为、、，其方向与坐标轴正向相同时为正，因次是[力][长度]-2。（N/m2）第6页，共73页，2023年，2月20日，星期一（二）应力2.性质：在物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。1.定义：物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力系的合力。单位面积上的分布力即为应力。如图1－4所示。第7页，共73页，2023年，2月20日，星期一ΔA面积上的内力的平均集度为：3.应力集度：P点的应力为：因次是[力][长度]-2。--正应力---切应力P点的应力分量为、xyzABPo△A图1-4第8页，共73页，2023年，2月20日，星期一4.应力分量在略去体力和高阶微量的情况下，相互平行的面上的应力大小相等，方向相反。（1）为了分析一点的应力状态，在这一点从物体内取出一个微小的正平行六面体，各面上的应力沿坐标轴的分量称为应力分量。xyzo图1-5应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，不是一般的矢量，而是二阶张量。第9页，共73页，2023年，2月20日，星期一xyzoσy图1-6（2）应力标注：图示单元体右侧面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。正应力记为σy

,其下标表示所沿坐标轴的方向。第10页，共73页，2023年，2月20日，星期一xyzo平行于单元体面的应力称为切应力，用、表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的具体方向。（2）应力标注：σy图1-6第11页，共73页，2023年，2月20日，星期一其它面上的应力分量的表示如图1－7所示。xyzyxzyzxzyyz图1－7第12页，共73页，2023年，2月20日，星期一第13页，共73页，2023年，2月20日，星期一xyz截面的外法线截面的外法线正面负面第14页，共73页，2023年，2月20日，星期一正面上的应力沿坐标正向或负面上的应力沿坐标负向为正。口诀：正面正向或负面负向的应力为正。xyzyxzyzxzyyz图1－7正面:截面的外法线方向和坐标轴正向一致,反之为负面。正负规定:第15页，共73页，2023年，2月20日，星期一例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。Ozyx第16页，共73页，2023年，2月20日，星期一弹性力学材料力学图1-8（3）注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的。在图1－8中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的符号是不同的，顺时针转动为正。注意：第17页，共73页，2023年，2月20日，星期一（4）切应力互等定理xyzxyyxxzyxzzxzyyz过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。应力用矩阵表示：共六个应力分量。???第18页，共73页，2023年，2月20日，星期一（三）形变（应变）形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长度的改变和角度的改变。

1.线应变：图1-9中线段PA、PB、PC每单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩，称为线应变。分别用、、表示。P图1-9第19页，共73页，2023年，2月20日，星期一应变的正负：线应变：伸长时为正，缩短时为负；切应变：以直角变小时为正，变大时为负；

2.切应变：图1-9中线段PA、PB、PC之间的直角的改变，用弧度表示，称为切应变。分别用、、表示。共六个形变分量。P图1-9线应变和切应变都是量纲为1的量第20页，共73页，2023年，2月20日，星期一（2）物体内各点之间有相对位移，因而物体产生了变形。弹性力学中主要研究物体由变形而引起的位移。（1）整个物体像一个刚体一样运动所引起的位移，包括平移、转动、平面运动等。这种位移并不使物体的形状、质点间的相对距离发生变化。（刚体位移）1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种性质的位移组成：（四）位移位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移第21页，共73页，2023年，2月20日，星期一2.位移的表示方法物体内任意一点的位移，用它在x

、y

、z

轴上的投影u

、v、w

来表示，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。这三个投影称为该点的位移分量。弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（包括边界）、材料特性（E、μ）、约束条件等，求解应力、形变、位移共15个未知量。第22页，共73页，2023年，2月20日，星期一（五）斜截面上的应力

已知弹性体内任一点P处的应力分量，求经过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平面画出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限接近时，平面AB上的平均应力就成为上述斜截面上的应力。第23页，共73页，2023年，2月20日，星期一设AB面在xy平面内的长度为ds，厚度为1个单位。N为该面的外法线方向，设其方向余弦分别为：第24页，共73页，2023年，2月20日，星期一第25页，共73页，2023年，2月20日，星期一xyOsPABN将x、y轴分别放在两个主应力的方向第26页，共73页，2023年，2月20日，星期一小结：平面问题的应力边界条件（1）斜面上的应力第27页，共73页，2023年，2月20日，星期一表明：σ1与σ2互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力τmax、τmin

的方向与σ1（σ2）成45°。第28页，共73页，2023年，2月20日，星期一工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究范围。§2-2弹性力学的基本假设第29页，共73页，2023年，2月20日，星期一1.连续性假设

——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。——变形后仍然保持连续性。根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。微观上这个假设不成立——宏观假设。第30页，共73页，2023年，2月20日，星期一2.均匀性假设

——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。——物体的弹性性质处处都是相同的。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。对于环氧树脂基玻璃纤维复合材料，不能处理为均匀材料。第31页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.各向同性假设——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。

当然，像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。第32页，共73页，2023年，2月20日，星期一4.完全弹性假设——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，外力消失后能够恢复原形，称为完全弹性。完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。第33页，共73页，2023年，2月20日，星期一5.小变形假设——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。——忽略位移、应变和应力等分量的高阶微量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。

第34页，共73页，2023年，2月20日，星期一——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力、位移仅仅是外力、边界约束或温度改变而产生的。6.无初始应力假设第35页，共73页，2023年，2月20日，星期一基本量和基本方程的矩阵表示

采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。第36页，共73页，2023年，2月20日，星期一体力面力位移函数应变应力结点位移列阵结点力列阵

基本物理量：第37页，共73页，2023年，2月20日，星期一物理方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是FEM中应用的方程：几何方程第38页，共73页，2023年，2月20日，星期一

几何方程---位移与应变之间的关系----几何方程微分算子矩阵第39页，共73页，2023年，2月20日，星期一§2-3弹性力学的基本方程主要是描述应力、应变、位移及外力间的相互关系1、平衡方程（应力间的关系）第40页，共73页，2023年，2月20日，星期一2、几何方程（应变与位移的关系）第41页，共73页，2023年，2月20日，星期一3、物理方程（应力与应变之间的关系）第42页，共73页，2023年，2月20日，星期一弹性矩阵第43页，共73页，2023年，2月20日，星期一未知数应力6个+应变6个+位移3个=15个方程个数平衡方程3个+几何方程6个+物理方程6个=15个原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移分量为基本未知量第44页，共73页，2023年，2月20日，星期一4.边界条件当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程，在边界上应满足边界条件。一、位移边界条件按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。第45页，共73页，2023年，2月20日，星期一当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为，则有（在上）：其中和表示边界上的位移分量，而和在边界上是坐标的已知函数。二、应力边界条件当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。第46页，共73页，2023年，2月20日，星期一其中和为面力分量，、、、为边界上的应力分量。第47页，共73页，2023年，2月20日，星期一三、混合边界条件1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图，悬臂梁左端面有位移边界条件：上下面有应力边界条件：右端面有应力边界条件：第48页，共73页，2023年，2月20日，星期一2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。如右图齿槽边界条件：如左图连杆支撑边界条件：第49页，共73页，2023年，2月20日，星期一例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)第50页，共73页，2023年，2月20日，星期一xyahhq（4）(3)第51页，共73页，2023年，2月20日，星期一练习1图示构件，试写出其应力边界条件。第52页，共73页，2023年，2月20日，星期一上侧：N第53页，共73页，2023年，2月20日，星期一下侧：N固定端略。第54页，共73页，2023年，2月20日，星期一

圣维南原理一、圣维南原理（局部影响原理）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。二、举例第55页，共73页，2023年，2月20日，星期一(a)(b)(c)设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P，如图2-9a。如果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力，如图2-9b或2-9c，只有虚线划出部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。第56页，共73页，2023年，2月20日，星期一(a)(b)(c)(d)如果再将两端的拉力变换为均匀分布的拉力，集度等于P/A

，其中A

为杆件的横截面面积，如图2-9d，仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。第57页，共73页，2023年，2月20日，星期一(a)(b)(c)(d)图2-9(e)如果将右端完全固定，如图2-9e，仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。第58页，共73页，2023年，2月20日，星期一图2-9(a)(b)(c)(d)(e)在上述五种情况下，离开两端较远的部分的应力分布，并没有显著的差别。注意：

应用圣维南原理，绝不能离开“静力等效”的条件。第59页，共73页，2023年，2月20日，星期一

圣维南原理在小边界上的应用：

如图，考虑小边界，⑴精确的应力边界条件第60页，共73页，2023年，2月20日，星期一上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。第61页，共73页，2023年，2月20日，星期一⑵积分的应力边界条件 在小边界x=l上，用下列条件代替上式的条件：在同一边界x=l

上，应力的主矢量Fx,Fy=

面力的主矢量（给定)

应力的主矩(M)=

面力的主矩（给定）数值相等方向一致(b)第62页，共73页，2023年，2月20日，星期一具体列出以下三个积分条件：第63页，共73页，2023年，2月20日，星期一例2

试列出图中的边界条件。MFyxl

h/2

h/2q(a)第64页，共73页，2023年，2月20日，星期一(a)在主要边界应精确满足下列边界条件：MFyxl

h/2

h/2q解:第65页，共73页，2023年，2月20日，星期一在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚