控制系统的数学模型

控制系统的数学模型1第1页，共48页，2023年，2月20日，星期一2.3控制系统的复数域数学模型

2.3.1传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变换法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。2第2页，共48页，2023年，2月20日，星期一求例2-1RLC无源网络的传递函数例2-8解：RLC网络的微分方程零初始条件下，对上述方程作拉氏变换

>>传递函数3第3页，共48页，2023年，2月20日，星期一传递函数具体定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初始条件含义：1）输入量：t≥0时才作用于系统，t=0-时，输入量及其各阶导数均为零。2）输出量：输入量加于系统之前，系统处于稳定工作状态，即输出量及其各阶导数在t=0-时的值为零。4第4页，共48页，2023年，2月20日，星期一式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a/b是与系统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：于是，由定义得系统传递函数为：设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

5第5页，共48页，2023年，2月20日，星期一6第6页，共48页，2023年，2月20日，星期一传递函数的特点:1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统中输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。

7第7页，共48页，2023年，2月20日，星期一3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数阵表示。8第8页，共48页，2023年，2月20日，星期一5.传递函数可表示成式中p1，p2……pn为分母多项式的根，称为传递函数的极点；z1、z2、…zn为分子多项式的根，称为传递函数的零点；

9第9页，共48页，2023年，2月20日，星期一6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m。这是由于实际系统的惯性所造成的。10第10页，共48页，2023年，2月20日，星期一传递函数的性质如果将置换传递函数与微分方程之间有关系。性质1性质2传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求出给定输入量时系统的零初始条件响应，即由拉氏变换的卷积定理，有11第11页，共48页，2023年，2月20日，星期一在例1-1中，设当输入为单位阶跃函数,即时,求输出解：根据例1得到的微分方程。

例2-612第12页，共48页，2023年，2月20日，星期一13第13页，共48页，2023年，2月20日，星期一2.3.2传递函数的极点和零点对输出的影响

为传递函数的零点为传递函数的极点

K*=b0/a0为传递系数或根轨迹增益极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。14第14页，共48页，2023年，2月20日，星期一零点（O）距极点（X）的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。

15第15页，共48页，2023年，2月20日，星期一2.3.4典型元部件的传递函数电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。

单个电位器用作为信号变换装置。16第16页，共48页，2023年，2月20日，星期一单位角位移，输出电压(v/rad)E-电位器电源(v)

－电位器最大工作角(rad)

17第17页，共48页，2023年，2月20日，星期一2.3.5典型环节及其传递函数

任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种：1比例环节环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t)比例环节的传递函数为式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。18第18页，共48页，2023年，2月20日，星期一2惯性环节惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程其传递函数为式中T——惯性环节的时间常数K——惯性环节的增益或放大系数

19第19页，共48页，2023年，2月20日，星期一当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为

单位阶跃响应曲线

20第20页，共48页，2023年，2月20日，星期一惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数式中21第21页，共48页，2023年，2月20日，星期一3微分环节理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程其传递函数式中Td称微分时间常数

它的单位阶跃响应曲线22第22页，共48页，2023年，2月20日，星期一如图所示，理想微分环节实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节，其传递函数:其单位阶跃响应为23第23页，共48页，2023年，2月20日，星期一曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降，若K值很大而Td值很小时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。24第24页，共48页，2023年，2月20日，星期一4积分环节输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程其传递函数式中Ti为积分时间常数。25第25页，共48页，2023年，2月20日，星期一积分环节的单位阶跃响应为它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。26第26页，共48页，2023年，2月20日，星期一上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输出u0(t)，其传递函数为式中Ti=RC

27第27页，共48页，2023年，2月20日，星期一5振荡环节二阶振荡环节的动态方程为其传递函数式中为无阻尼自然振荡角频率，ζ为阻尼比，在后面时域分析中将详细讨论。28第28页，共48页，2023年，2月20日，星期一图中所示为RLC网络，输入为ui(t)、输出u0(t)，其动态特性方程其传递函数式中29第29页，共48页，2023年，2月20日，星期一6纯时间延时环节延迟环节是输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间τ后才重现输入信号，其动态方程为其传递函数是一个超越函数式中τ称延迟时间

30第30页，共48页，2023年，2月20日，星期一2.4.1结构图

结构图也称方块图或方框图，具有形象和直观的特点。系统方框图是系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相互关系。构成方框图的基本符号有四种，即信号线、比较点、传递环节的方框和引出点。31第31页，共48页，2023年，2月20日，星期一32第32页，共48页，2023年，2月20日，星期一2.4.2系统方框图的构成对于一个系统在清楚系统工作原理及信号传递情况下，可按方框图的基本连接形式，把各个环节的方框图，连接成系统方框图。图中为一无源RC网络。选取变量如图所示，根据电路定律，写出其微分方程组为

33第33页，共48页，2023年，2月20日，星期一34第34页，共48页，2023年，2月20日，星期一零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得

35第35页，共48页，2023年，2月20日，星期一RC网络方框图

各环节方框图

36第36页，共48页，2023年，2月20日，星期一2.4.3环节间的连接

环节的连接有串联、并联和反馈三种基本形式。1.串联:在单向的信号传递中，若前一个环节的输出就是后一个环节的输入，并依次串接，这种联接方式称为串联。n个环节串联后总的传递函数:37第37页，共48页，2023年，2月20日，星期一即环节串联后总的传递函数等于串联的各个环节传递函数的乘积。环节的串联RC网络38第38页，共48页，2023年，2月20日，星期一2.并联:若各个环节接受同一输入信号而输出信号又汇合在一点时，称为并联。如图所示。由图可知总的传递函数为环节的并联39第39页，共48页，2023年，2月20日，星期一3.反馈：若将系统或环节的输出信号反馈到输入端，与输入信号相比较，就构成了反馈连接，如图所示。如果反馈信号与给定信号极性相反，则称负反馈连接。反之，则为正反馈连接，若反馈环节H(s)=1称为单位反馈。反馈连接40第40页，共48页，2023年，2月20日，星期一反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。通常把由信号输入点到信号输出点的通道称为前向通道；把输出信号反馈到输入点的通道称为反馈通道。对于负反馈连接，给定信号r(t)和反馈信号b(t)之差，称为偏差信号e(t)即通常将反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比，定义为开环传递函数，即开环传递函数=41第41页，共48页，2023年，2月20日，星期一输出信号C(s)与偏差信号E(s)之比，称为前向通道传递函数，即前向通道传递函数=而系统输出信号C(s)与输入信号R(s)之比称为闭环传递函数，记为Φ(s)或GB(s)。42第42页，共48页，2023年，2月20日，星期一得闭环传递函数为对于正反馈连接，则闭环传递函数为43第43页，共48页，2023年，2月20日，星期一2.4.4方框图的变换和简化

除了前面介绍的串联、并联和反馈连接可以简化为一个等效环节外，还有信号引出点及比较点前后移动的规则。44