正方形的性质与判定讲义

/正方形的性质及判定知识点归纳正方形的概念：一组邻边相等的矩形叫做正方形.正方形的性质:因为ＡBＣD是正方形正方形是轴对称图形，对称轴有4条,也是中心对称例题讲解考点①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合1。如图，E是正方形AＢCＤ的对角线BＤ上一点,且BＥ=ＢC,则∠ACE=°2.如图，四边形ABＣD是正方形，延长CＤ到E,使CE=CB，则∠ＤBE=°．3。如图，正方形ABCD中,点Ｅ在BC的延长线上,ＡE平分∠DＡC,则下列结论:（1）∠E=22.5°;（2）∠AFＣ＝11２．5°；（３）∠ACE=1３5°;（4）ＡＣ=CE；（５）ＡD∶CE=1∶eq\r(,2）.其中正确的有(）A．5个B。4个C.３个D．2个 4。如图,等边△EＤC在正方形ABCD内,连结ＥＡ、EB，则∠AＥB＝°；∠AＣE=°.5。已知正方形ABCＤ，以CD为边作等边△CDＥ,则∠AＥD的度数是°．考点②正方形与旋转结合1.如图1，四边形ABCD是正方形，Ｅ是边CD上一点,若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合，则θ的取值可能为(）A．90°Ｂ.60°Ｃ．45°D．3０°2。已知正方形ABCＤ中,点E在边DC上,DE=２,EＣ=１（如图２所示）把线段AＥ绕点A旋转，使点Ｅ落在直线ＢC上的点F处,则F、C两点的距离为＿＿＿_＿__＿___。3.如图3，在正方形ABCD中，点E，Ｆ分别为DC，ＢC边上的点，且满足∠EＡF＝４5°，连接EF，求证：DＥ+ＢＦ=EF．考点③正方形对角线的对称性1。如图:正方形AＢCD中，AC＝１0，P是AB上任意一点，ＰＥ⊥AＣ于Ｅ，PF⊥BD于Ｆ,则PE+PF=。可以用一句话概括:正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于。思考:如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立?若不成立,请写出你的结论，并加以说明．２．如图，点P是正方形ＡBＣD的对角线BD上一点，ＰE⊥BC于点E，ＰF⊥ＣD于点F,连接EＦ给出下列五个结论：①AP=EF;②AP⊥EＦ;③△ＡPD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠ＢAP；⑤PＤ=eq\r（\s\do1()，２）ＥＣ。其中正确结论的序号是．思考：当点P在ＤB的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立,直接写出结论；若不成立,请写出相应的结论.考点④正方形的折叠１.如图1,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处,折痕为ＭＮ，则线段CN的长是.2。如图2,四边形ＡBCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，则ＡM的长是.3如图3，正方形ABＣＤ中,ＡB=6，点Ｅ在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AＦＥ，延长EF交边BC于点G，连结AＧ、CＦ．下列结论：①△ABG≌△AFＧ；②BG＝ＧC；③AG∥CF；④S△FGC＝3.其中正确结论的个数是。课后练习1、D=_______=_＿_____∠B.在正方形AＢＣD中,AＢ=12cｍ,对角线AC、ＢＤ相交于O，则△ABO的周长是（)A.12+１2B.12+6C.12+D．24+63。正方形的面积是，则其对角线长是______＿_.4.如图，在正方形ABCＤ中,△ＰBC、△ＱＣD是两个等边三角形，PB与ＤＱ交于M，BP与CＱ交于E，CＰ与DQ交于F．求证：PM=ＱM.5.如图４，正方形ABＣD的对角线AＣ、BD相交于点O，正方形A′Ｂ′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点Ｅ,A′Ｄ′交CＤ于点F,若正方形A′B′C′D′绕点Ｏ旋转某个角度后，OE＝OF吗？两正方形重合部分的面积怎样变化?为什么？6。如图，Ｐ是边长为1的正方形AＢCD对角线AC上一动点(Ｐ与A、C不重合)，点E在射线BC上,且PE=ＰB．试判断PE与PB的关系.7。如图,正方形ABCD的面积为１2，△ＡＤE是等边三角形,点E在正方形ＡBCD内，在对角线ＡC上有一点P,使ＰＢ+ＰE的和最小，则这个最小值为.8．如图①,将边长为4cm的正方形纸片ＡBCＤ沿EF折叠（点Ｅ、F分别在边AB、CD上),使点Ｂ落在AD边上的点Ｍ处，点C落在点N处，MN与CD交于点Ｐ，连接EP.（1)如图②，若M为AD边的中点,①△AＥM的周长=__＿＿_cｍ;②求证：ＥP＝ＡE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与Ａ、Ｄ重合），△ＰDM的周长是否发生变化？请说明理由．（三)正方形的判定:四边形ＡBCＤ是正方形1、判断：(1)四条边都相等的四边形是正方形。( ﻩ）（２)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（ ）（３）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（ ﻩ)(４)两条对角线互相垂直的矩形是正方形.( ﻩ）2．不能判定四边形是正方形的是()Ａ。对角线互相垂直且相等的四边形Ｂ．对角线互相垂直的矩形C.对角线相等的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形３、四边形ＡBCD的对角线相交于点Ｏ，能判定它是正方形的条件是(）A．AB=BC=ＣD=ＤAＢ．AO=CO,BO=DO,ＡC⊥ＢDC.AＣ=BＤ，ＡC⊥ＢD且ＡC、ＢD互相平分D．AB=ＢC，ＣD＝ＤA4、如图，已知四边形ABCD是菱形,则只须补充条件：（用字母表示)就可以判定四边形ＡBＣＤ是正方形．精讲精练例1、已知中，,CＤ平分,交AＢ于D，DF//BC,DE/／ＡC，求证：四边形ＤEＣＦ为正方形。例2、已知：如图，在△ABC中,AB＝ＡC，AD⊥ＢC,垂足为点D，ＡＮ是△ABC外角∠ＣAM的平分线,ＣE⊥AＮ，垂足为点E，（1)求证：四边形AＤCE为矩形；(2）当△ＡBC满足什么条件时，四边形AＤＣE是一个正方形？并给出证明．AABCDMNE例3如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形。（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形。EECDBAO例４、如图,△ABC中，点Ｏ是AC边上一个动点,过点Ｏ作直线ＭN∥BC,设MN交∠ＢCＡ的平分线于E，交∠BＣＡ的外角平分线于点Ｆ.（1)求证:EO=FO(2）当点Ｏ运动到何处时,四边形AＥCF是矩形？并证明你的结论．（3)当点O运动到何处时，四边形ＡECF是有可能是正方形？并证明你的结论。拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用)1、如图，正方形AＢＣD中,Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是AD、ＡＢ、BＣ上的点,且AE=FＢ=GC.试判断的形状，并说明理由。2、如图，在正方形ABCD中,P为BC上一点，Q为ＣD上一点，(1)若PＱ=BP＋DQ,求。(2)若，求证：PQ=BＰ+DＱ.３、如图，菱形AＢCD的边长为2，对角线BD=２,E、F分别是ＡD、CD上的动点,且满足AE+ＣF=2.(１)求证：．(2）判断的形状。４以四边形ABCD的边AＢ、BC、ＣD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形ＥFGH。(1）如图１，当四边形ＡBＣD为正方形时，我们发现四边形EFGＨ是正方形；如图2,当四边形ＡBCD为矩形时,请判断:四边形EFＧH的形状（不要求证明）;（2）如图３，当四边形AＢCD为一般平行四边形时,设∠ADC＝（0°＜＜９0°)，①试用含的代数式表示∠ＨＡＥ；②求证:ＨE=HG；③四边形EＦＧH是什么四边形？并说明理由.例１、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE＝ＣA，连接AE交CD于F，求的度数。变式:1、已知如下图,正方形ＡBCD中，E是CD边上的一点，F为BＣ延长线上一点，ＣＥ=CF.(1）求证：△BEC≌△ＤFC；(2）若∠BEC=60°，求∠ＥFD的度数.例２:如图，E为正方形ABＣD的BC边上的一点，ＣG平分∠DCF，连结ＡE，并在CG上取一点G,使EG=ＡＥ.求证：AE⊥EG.例3、Ｐ为正方形ＡBCD内一点,PＡ=1，PB＝2，ＰＣ＝3，求∠AＰB的度数．例4如图,Ｐ是边长为1的正方形ＡBCD对角线ＡＣ上一动点(Ｐ与A、C不重合）,点E在射线BC上,且ＰE=ＰＢ.(1）求证：①PE=PD;②PＥ⊥PD;AABCPDE１、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABＥ,CＥ与DB相交于点F,则=.２、若正方形ABCD的边长为４，E为BC边上一点，BE=３，Ｍ为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点Ｆ，且ＢF=AＥ，则BM的长为。4．E为正方形ABＣD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠ＥAD的度数.５、如图，正方形ＡBCD与正方形ＯMNP的边长均为1０，点O是正方形ABCD的中心，正方形ＯMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置,这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．6、如图1，四边形ABCD是正方形，G是ＣＤ边上的一个动点（点G与C、D不重合)，以ＣG为一边在正方形AＢCD外作正方形CEFG，连结ＢＧ，ＤＥ。我们探究下列图中线段ＢG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（１）①猜想如图1中线段BＧ、线段ＤE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图１中的正方形CＥFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,得到如图2、如图3情形。请你通过观察、