人教版八年级下册数学全册课件

人教版八年级下册数学全册课件1

16.1

二次根式的概念(1)人教版八年级数学下册人教版数学八年级下册1.理解二次根式的概念.难点2.利用(a≥0)的意义解答具体题目.重点学习目标

电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系，其中地球半径R≈6400km．如果两个电视塔的高分别是h1km、h2km，那么它们的传播半径之比是．你能化简这个式子吗？式子表示公式中中的表示什么意义？

什么？探索新知（1）中式子你是怎么得到的？得到的两个式子有什么不同？问题：（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．探索新知（2）中得到的式子有什么意义？

问题：（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m．探索新知

（3）中当h的值分别为0，10，15，20，25时，得

到的结果分别是什么？表示的数怎样变化？

t

=

问题：（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则

_____．探索新知（1）这些式子分别表示什么意义？（2）这些式子有什么共同特征？这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．

分别表示3，S，65，的算术平方根．

上面问题中，得到的结果分别是：，，，．探索新知把形如，，，用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．探索新知被开方数a≥0；根指数为2．二次根式二次根式：

一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．探索新知二次根式探索新知二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．练习2二次根式和算术平方根有什么关系？探索新知∴当x≥-2时，在实数范围内有意义．解：要使在实数范围有意义，必须

x+2≥0，

∴

x≥-2．例1当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？典型例题√√√1.指出下列哪些是二次根式？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．≥

＜基础训练2.当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？（1）；（2）；（3）．解：（1）由a+1≥0，得a≥-1；（2）由1-2a＞0，得a＜；（3）由≥0，得a为任何实数．3.a取何值时，下列根式有意义？基础训练（1）；（2）．答案：（1）a为任何实数；（2）a=1．变式a取何值时，下列根式有意义？总结：被开方数不小于零．基础训练当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；这就是说，（a≥0）是一个非负数．当a=0时，表示0

的算术平方根，因此=0；问题请比较和0的大小．分类讨论思想双重非负性探索新知4.判断下列各式哪些是二次根式：

（1）；（2）；（3）；（4）．＞≤×√√√基础训练5.当x是什么实数时，下列各式有意义．（1）；（2）；（3）；（4）．练习3

若是整数，则自然数n的值为___________.0，3，4答案：（1）（2）x≥0且x≠1；（3）x=0；（4）x=2.基础训练7.已知a,b为实数，且满足

，你能求出a及a+b

的值吗？6.若=0，则=_____。8.已知有意义,那A(a,)在

象限.二∵由题意知a＜0∴点A(－,＋)基础训练（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？

一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．双重非负性≥．中的a≥0；

二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式．课堂小结课堂作业4.课堂作业5.4.课堂作业5.课堂作业x,y取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？课后思考

16.1

二次根式的性质(2)人教版八年级数学下册人教版数学八年级下册1.理解(a≥0)是一个非负数.重点难点)2=a(a≥0)3.会运用上述两个性质进行有关计算和化简.2.理解二次根式的两个性质(=a(a≥0).难点二次根式的概念

一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。复习旧知（1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗？呢？若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分。对于，我们要注意：（2）是二次根式，而，这时我们可以得到：2不是二次根式，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”.复习旧知问题1

根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．042把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：（a≥0）．你能说说依据吗？_____；_____；_____；_____．举例讲解例1计算下列各式：（1）；（2）．

典型例题你能说说依据吗？把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：（a≥0）．020.1问题2

填空，你能说说这样做的依据吗？_____；_____；_____；_____．探索新知探究:利用算术平方根的意义填空:40.01(a＜

0)探索新知(a≥0)(a＜0)a-a(a≥0)(a＜0)由此我们得到性质3：例2计算下列各式：（1）；（2）．

典型例题（1）含有表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．（a≥0）问题3回顾我们学过的式子，如，这些式子有哪些共同特征？探索新知探索新知2.从取值范围来看,

a≥0a取任何实数1:从运算顺序来看,先开方,后平方先平方,后开方区别3.从运算结果来看:=aa(a≥0)-a(a＜0)==∣a∣探索新知

1、对于性质，逆向思考可得：（a≥0）（a≥0），请根据这一结论完成填空：（1）；（2）．基础训练你认为，当a＜0时，________.

2、根据性质，可得：．（a≥0）

-a探索新知基础训练（7）；（8）．

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；４、化简：解：（1）原式=18；（2）原式=0；（3）原式=14；（4）原式=45；（5）原式=3；（6）原式=4；（7）原式=5；（8）原式=3.(x﹤y)(x>0)５、化简：６、实数p在数轴上的位置如图所示，化简

７、若a，b为实数,且求的值解:

（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．课堂小结二次根式的定义:二次根式的性质:a(a≥0)-a(a＜0)==∣a∣课堂小结课堂作业4.课堂作业4.课堂作业５.课堂作业６、在实数范围内分解因式:4-3∵∴解:课堂作业课后思考1.课后思考1.

16.2

二次根式的乘法(1)人教版八年级数学下册人教版数学八年级下册1.理解·＝=·(a≥0，b≥0)并运用它进行解题和化简.难点(a≥0，b≥0)并运用它进行计算.重点＝·(a≥0，b≥0)２.学习目标a(a≥0)(a≤0)==|a|(a≥0)及其逆用（1）≥0(a≥0)双重非负性二次根式的性质:a-a复习旧知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？2.用你发现的规律填空，并用计算器进行验算.662020==举例讲解(a≥0,b≥0)一般地,对于二次根式的乘法法则:拓展:1.对于多个二次根式进行相乘的运算,则2.当二次根式前面有因数或因式时,则注意公式成立的条件探索新知(a≥0,b≥0)算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.探索新知计算解：典型例题反过来：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．探索新知例2化简：

被开方数4a2b3含4,a2,b2这样的因数或因式，它们可以开方后移到根号外，它们是开得尽的因数或因式.典型例题例3计算：3、如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2=a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简1、把被开方数分解因式(或因数)；2、把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：探索新知的值是（）的值是（）的值是（）ABA基础训练4.

估计的运算结果应在（）A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、4到5之间C5.比较大小＜＜基础训练7.将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.A基础训练（1）二次根式乘法法则是怎样讲的？我们是通过什么方法得到的？（2）二次根式的乘法运算的依据是什么？（3）在本节课学习中你认为容易出错的地方在哪里？出错的原因是什么？课堂小结（a≥0，b≥0）(a≥0,b≥0)１、设正方形的面积为S，边长为.(1)已知S=50，求；解：由题意得：

=

=

=

=

=

(2)已知S=242，求.

解：由题意得：

=

=

=

=

=

课堂作业２、设长方形的面积为S，相邻两边分别为，.(1)已知,，求S；解：由题意得：

S=

=

=

=

=

=

（2）已知,，求S；解：由题意得：

S=

=

=

=

=

=

课堂作业课堂作业课堂作业课堂作业５.课堂作业５.课堂作业６.课堂作业６.课堂作业课后思考１.课后思考２.

16.2

二次根式的除法(2)人教版八年级数学下册人教版数学八年级下册1.理解=(a≥0，b>0)和及利用它们进行计算和化简.重点难点2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.难点=(a≥0，b>0)学习目标a≥0,b≥01.二次根式的乘法：把开方开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.2.化简二次根式：复习旧知计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?探索新知＝＝规律:两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数二次根式的除法公式的应用：解：如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数.典型例题例3：计算解：在二次根式的运算中，最后结果一般要求(1)分母中不含有二次根式.(2)最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式.典型例题最简二次根式：1.被开方数不含分母；2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式.探索新知1.C2.B3.A4.A基础训练基础训练９、指出下列各式中的最简二次根式基础训练１０、计算：(1)(2)解:===1.2解:===基础训练(3)解:(4)==解:===15基础训练1１、根据下列条件求代数式的值：(1)(2)解:解:基础训练１２.计算：基础训练４.二次根式的除法利用公式:(1).被开方数不含分母;(2).被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.５.最简二次根式:课堂小结２、如何逆用二次根式除法法则化简二次根式？１、如何进行二次根式除法运算？３、能推导出二次根式除法法则吗？课堂作业课堂作业课堂作业课后思考4.课堂作业课后思考4.课堂作业

5.设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=，b=，求a.解：因为S=ab，所以课堂作业1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。（）＝a－1（）＝10（）＝4m>5基础训练课后思考

3、观察下列各式，把不是最简二次根式的化成最简二次根式．同理可得，…

课后思考从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算下面式子的值．

课后思考

16.3

二次根式的加减(1)人教版八年级数学下册人教版数学八年级下册1.使学生知道怎样将根式化为最简二次根式.难点2.使学生通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算.重点学习目标1、化简下列二次根式：（1）=_____；（2）=____；

（3）=_____；（4）=_____.2、猜想：－＝

__；＋＝

__.复习旧知举例讲解

因为大、小正方形木板的边长分别为dm和dm，显然木板够宽.下面考虑木板是否够长.由于两个正方形的边长和为dm.这实际上是求，这两个二次根式的和，我们可以这样计算：（化成最简二次根式）（分配律）举例讲解同类二次根式在这里，和化成最简二次根式和后，被开方数_______，像这样的二次根式就叫做同类二次根式.

相同二次根式的加减法法则上面的问题中，利用

律将和进行合并.由此得，二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成

，再将

的二次根式进行

.

分配最简二次根式被开方数相同合并探索新知通过上面的问题请思考:二次根式的加减的一般步骤是什么？探索新知二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并结论：探索新知二次根式的加减法法则例1

计算：

(1)(2)解：(1)原式＝（化成

二次根式）＝(-)（

律）＝（合并）

(2)原式＝+（化成

二次根式）＝（+)（

律）＝（合并）最简43分配最简分配35典型例题例2计算

计算(1)(2)解：(1)原式＝＝（化简二次根式）＝（合并）

(2)原式＝（去括号并化简）＝（合并）温馨提示：化简后被开方数

的二次根式（同类二次根式）才能合并，因此

合并（填能或不能）相同不能基础训练

３、如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).R-r基础训练

４.计算：（1）解：原式=解：原式=（2）基础训练解：原式=解：原式=（3）（4）基础训练５、化简：．

解：原式基础训练答案：（1）；（2）；（3）；（4）．６：计算：

（1）（3）（2）（4）．基础训练1、二次根式加减时，可以先将二次根式化成

，再将

的二次根式进行

.2、化简后被开方数

的二次根式（同类二次根式）才能合并，否则不能合并.最简二次根式被开方数相同合并相同课堂小结二次根式加减法的运算方法和步骤是什么?步骤：

“一化简、二判断、三合并”；依据：

二次根式的性质、分配律和整式加减法则；基本思想：

把二次根式加减问题转化为整式加减问题．

总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想．

课堂小结1.C2.C3.A

课堂作业课堂作业4.课堂作业4.课后思考课堂作业课后思考

16.3

二次根式的混合运算(2)人教版八年级数学下册人教版数学八年级下册1.含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.重点2.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.难点学习目标回顾整式的乘法法则与乘法公式完成练习：⑴＝

；⑵＝

；⑶＝

；⑷＝

.2xz+3yzX2-x-204x2-9y2X2+4xy+4y2复习旧知计算下列各题，并注明每个步骤的依据：

化成最简二次根式合并被开方数相同的二次根式（1）

（2）．计算下列各题，并注明每个步骤的依据：

化成最简二次根式合并被开方数相同的二次根式（1）

（2）．

探索新知

例1计算：（1）（2）思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（2）呢？典型例题与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．典型例题例1计算：解：（1）思考：（1）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；第二步的依据是：二次根式乘法法则；第三步的依据是：二次根式化简．（1）（2）典型例题例2计算：解：（1）思考：（1）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：多项式乘多项式法则；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；第三步的依据是：合并同类项．（1）（2）典型例题1.练习计算：基础训练2.

已知求下列各式的值：基础训练３.已知求下列各式的值：基础训练４、计算：⑴(2)(3)(4)=16-7=9基础训练５、计算：⑴(2)(3)

(4)基础训练谈谈本节课的收获……（1）二次根式的混合运算法则；（2）利用乘法分配律；（3）类比整式的乘法.课堂小结课堂作业课堂作业1.C2.C课堂作业课堂作业５.６、已知≈2.236，求下面式子的值（结果精确到0.01）.

课堂作业５.７、已知，求下面式子的值.课堂作业课后思考课后思考人教版八年级数学下册ThankYou!

17.1

勾股定理(1)人教版八年级数学下册人教版数学七年级下册1.了解勾股定理的发现过程.2.掌握勾股定理的内容.重点3.会用面积法证明勾股定理.难点学习目标相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有什么发现？

毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。探索新知

数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？等腰直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直边的平方和等于斜边的平方ABC探索新知其它直角三角形是否也存在这种关系？观察下边两个图并填写下表:

图1-3图1-2C的面积B的面积A的面积169254913结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么.探索新知1、根据下图你能写出勾股定理的证明过程吗？abc∵ab×4+(b-a)²=c²，∴a²+b²=c².2ab+（b²-2ab+a²）=c²，探索新知此结论被称为“勾股定理”.在Rt△ABC中，∠C=900

，边BC、AC、AB所对应的边分别为a、b、c则存在下列关系，.结论：直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方.a2+b2=c2勾股弦cabBCA探索新知如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理∵∠C＝90°∴a2+b2=c2cabBCA探索新知请先用手中的全等直角三角形按图示进行摆放，然后根据图示的边长，选择其中一个图形，分析其面积关系后证明.图1图2图3证明勾股定理探索新知自主证明图1图3解：解：探索新知图2自主证明探索新知自主证明图3解：探索新知

我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的《勾股方圆图注》中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的.每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图.２００２年的国际数学家大会将此图作为大会会徽．探索新知

毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了.探索新知美国第二十任总统加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.有趣的总统证法bcabcaABCD探索新知在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股探索新知勾股定理的由来

这个定理在中国又称为“商高定理”，商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”.由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”.举例讲解1.成立条件：在直角三角形中；3.作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长.2.公式变形:abc如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么勾股定理（注意：哪条边是斜边）探索新知如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方形E的面积.ABCDEFGKH解：如图所示

正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12,设直角三角形的斜边长为c,由勾股定理知122+162=c2

c=20，即正方形F边长为20同理可得，正方形G的边长为15故直角三角形的两直角边分别为20，15，设它的斜边长为k，由勾股定理知202+152=k2,k=25

正方形E的边长为25，S正方形E=25×25=625

典型例题1、判断题(1)若a、b、c是三角形的三边则

（

）(2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方.（

）2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=______；若AB=4，BC=2，则AC=______．XX22基础训练

3、直角ABC的两直角边a=5,b=12,c=_____4、直角ABC的一条直角边a=10,斜边c=26，则b=().5、已知：∠C＝90°，a=6，a：b＝3：4，求b和c.cab13b=8c=1024基础训练6、如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为()A.3米B.4米C.5米D.6米C３４基础训练7、求下列直角三角形中未知边的长x:8x171620x125xX=15X=12X=13基础训练８、求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③625576144169X=15Y=5Z=7基础训练1.本节课你又那些收获？2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？3.你认为本节还有哪些需要注意的地方？课堂小结课堂作业5.课堂作业5.6.课堂作业6.课堂作业C7.如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。APBA′DE124114

5课堂作业课后思考1.课后思考课后思考1.人教版八年级数学下册ThankYou!

17.1

勾股定理(2)人教版八年级数学下册人教版数学八年级下册1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.重点难点2.在运用勾股定理解决实际问题过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值.难点学习目标已知一个直角三角形的两边，应用勾股定理可以求出第三边，这在求距离时有重要作用．

勾股定理：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．探索新知例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？

解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5．

AC=≈2.24．因为大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过．将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待求量，让学生掌握解决实际问题的一般套路．ABCD1m2m典型例题

例2如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米．（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？典型例题今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？ABC

分析：

可设AB=x,则AC=x+1，有AB2+BC2=AC2，可列方程，得x2+52=

，通过解方程可得．

举例讲解今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？利用勾股定理解决实际问题的一般思路：（1）重视对实际问题题意的正确理解；（2）建立对应的数学模型，运用相应的数学知识；（3）方程思想在本题中的运用．ABC举例讲解问题1在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？探索新知′′′′′′已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，AB=AB，AC=A

C

．求证：△ABC≌△ABC．′′′′′′′′′′′证明：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得′′′ABCABC′′′探索新知ABCABC′′′′′′∴△ABC≌△ABC（SSS）．′′′′′′证明：

∵AB=AB，

AC=AC，∴BC=BC．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，AB=AB，AC=A

C

．求证：△ABC≌△ABC．′′′′′′′′′′′探索新知问题2我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？分析：利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2,3的直角三角形的斜边长为.由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示的点.解：如图，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点.探索新知“数学海螺”

探索新知基础训练４、如图，山坡的坡角为30°，山坡上两株木之间的坡面距离是米，则这两株树之间的垂直距离是_____米，水平距离是米.

解：(1)由题意可知，在Rt△ABC中，∵∠A=30°∴BC=

AC=×=

(2)在Rt△ABC中，根据勾股定理，∴AB2＝AC2-BC2＝()2-＝36

∴RQ＝66

1.A2.D3.B

基础训练５、在数轴上作出表示的点。作法：（1）在数轴上找到点A，使OA=4；（2）过点A作直线垂直于OA，在上取点B,使AB=2，那么OB=；（3）以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则OC=.所以在数轴上，点C为表示的点。基础训练６、一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处。木杆折断之前有多高？

解：由题意可知，在Rt△RPQ中，∵PR=3，PQ=4∴RQ2＝PR2+PQ2＝32+42＝25

∴RQ＝5PR+RQ＝3+5＝8∴木杆折断之前有多高8m。基础训练７、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积.分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E.基础训练７、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD的面积.解：延长AD、BC交于E∵∠B=∠D=90°，∠A=60°∴∠E=30°

∴AE=2AB=2×4=8，CE=2CD=2×2=4

∵BE=√AE–AB=√8-4=4

DE=√CE–CD=√4-2=2

∴S△ABE=-AB·BE=-×4×4=8

S△CDE=-CD·DE=-×2×2=2故四边形ABCD的面积为：S△ABE-S△CDE=8-2

=6￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣2222222211222121

=6基础训练（1）勾股定理有哪些方面的应用，本节课学习了勾股定理哪几方面的应用？（2）你能说说利用勾股定理求线段长的基本思路吗？（3）本节课体现出哪些数学思想方法？课堂小结课堂作业课堂作业课堂作业6.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC课堂作业7.已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.DACB12提示：作辅助线DE⊥AB，利用平分线的性质和勾股定理。课堂作业解：过D点做DE⊥ABDACB12E∵∠1=∠2,∠C=90°∴DE=CD=1.5在Rt△DEB中,根据勾股定理,得BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4∴BE=2在Rt△ACD和Rt△AED中,∵CD=DE,AD=AD∴Rt△ACDRt△AED∴AC=AE令AC=x,则AB=x+2在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2即:x2+42=(x+2)2∴x=3x课堂作业课后思考１.课后思考１.２、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．求证：AD2+DB2=DE2．证明：∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，∴∠BCD=∠ACE．又BC=AC，DC=EC，∴

△ACE≌△BCD．ABCDE举例讲解课后思考ABCDE证明：∴∠B=∠CAE=45°，∠DAE=∠CAE+∠BAC

=45°+45°=90°．∴AD2+AE2=DE2．∵AE=DB，∴AD2+DB2=DE2．2.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．求证：AD2+DB2=DE2．举例讲解课后思考人教版八年级数学下册ThankYou!

17.2

勾股定理的逆定理人教版八年级数学下册人教版数学八年级下册1.勾股定理的逆定理及其作用.重点2.什么是互逆命题、互逆定理难点３.能灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.重点学习目标（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=

.（2）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=

.（3）如图，两个正方形的面积分别是64,49，则AC的长为

.1717c为斜边b为斜边788复习旧知1、证明三角形全等的方法有哪些？2、什么叫命题？命题由几部分组成？命题的种类有几种？命题的一般形式如何？SSSSASASAAAS命题：“两直线平行,内错角相等.”题设是：

，结论是：

.内错角相等两直线平行内错角相等,两直线平行.这个命题的逆命题：互逆命题的题设和结论反过来.复习旧知(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(3)全等三角形的对应角相等(4)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

．说出下列命题的逆命题．并判断这些命题的真假性.逆命题:内错角相等，两条直线平行.

逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.

逆命题:三个角对应相等的两个三角形是全等三角形.

逆命题:角平分线上的点到角两边的距离相等.感悟:

原命题成立时,逆命题有时成立,有时不成立一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.真命题假命题假命题真命题复习旧知古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形举例讲解你能说说这种做法的原理吗？

古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角三角形.举例讲解验证下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c(厘米)13，12，5；6，8，10

；2，3，4.（1）这三组数都满足吗？（2）它们都是直角三角形吗？实践证明：一个三角形的两条小的边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.举例讲解证明：作∆

使∠=90°,在△ABC和△

∴∆ABC∠C=∠cABbCaab已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，.（如图）求证：∠C=90°则有中，△=90°≌勾股定理的逆命题∟探索新知勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.且边C所对的角为直角.a2+b2=c2互逆命题定理逆定理探索新知定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?它们的题设和结论反过来.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.探索新知例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.解：∵152＋82＝225＋64＝289,172＝289,∴152＋82＝172.∴这个三角形是直角三角形.像15,8,17,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.典型例题解：∵132＋142＝169＋196＝365,

152＝225,∴132＋142≠152.∴根据勾股定理，这个三角形是直角三角形.典型例题例2某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？RSQPEN典型例题典型例题1、下列各组线段中，能够围成直角三角形的是（）

A、1、2、3B、15、20、25C、4、5、6D、18、9、102、下列各组线段中，不能够围成直角三角形是（）

A、9、12、15B、8、15、17C、7、24、25D、6、8、9BD基础训练CA、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等边三角形3.基础训练CA、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等边三角形4.基础训练解：（3）∵12＋（）2＝1＋3＝4，22＝4，∴12＋（）2＝22.∴这个三角形是直角三角形.（3）a=1，b=2，c=；（4）a：b：c=3:4:5.

5.判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（4）设a=3x,b=4x,c=5x,则∵（3x）2＋（4x）2＝25x2，(5x)2＝25x2，∴（3x）2＋（4x）2

＝(5x)2.∴这个三角形是直角三角形.基础训练6、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.基础训练基础训练这节课你学习了哪些内容？你的学习目标达到了吗？（1）学会写一个定理的逆定理。（2）勾股定理的逆定理应用。课堂小结勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.且边C所对的角为直角.a2+b2=c2逆定理课堂小结1.已知三角形的三边长为9,12,15,则这个三角形的最大角是＿＿＿＿度;90°2.三角形的三边长为8,15,17,那么最短边上的高为＿＿＿＿;15课堂作业4.长度分别为3,4,5,12,13的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为()A1个B2个

C3个D4个3.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c,且c+a=2b,c–a=b,则三角形ABC的形状是()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D等腰直角三角形──21BA课堂作业5.已知a.b.c为△ABC的三边,且满足a2c2–b2c2=a4–b4,试判断△ABC的形状.解∵a2c2-b2c2=a4–b4(1)∴c2(a2–b2)=(a2+b2)(a2-b2)(2)∴c2=a2+b2(3)∴△ABC是直角三角形问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号＿＿＿(2)错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿(3)本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿3a2-b2可能是0直角三角形或等腰三角形课堂作业6.工人师傅想要检测一扇小门两边AB.CD是否垂直于底边BC,但他只带了一把卷尺,你能替工人师傅想办法完成任务吗?ABCD课堂作业７、如图：在ΔABC中，AB=13㎝，BC=10㎝，BC边上的中线AD=12㎝，求证：AB=AC。证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD=1/2BC=5㎝

∵在△ABD中，AB=13，BD=5，AD=12∴BD2+AD2=52+122=169=AB2

∴△ABD是直角三角形。∴△ACD也是直角三角形。根据勾股定理得到：∴AB=AC=13㎝课后思考１、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE=BC，则AF⊥EF，试说明理由。解：连接AE∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC∴根据勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EFA课后思考课后思考２.课后思考２.AMNPQ30°16080E3.如图，公路MN和小路PQ在P处汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?课后思考AMNPQBDE如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?课堂作业课后思考AMNPQ30°BD16080E1006060100如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?课堂作业课后思考人教版八年级数学下册ThankYou!

18.1.1

平行四边形的性质(1)人教版八年级数学下册人教版数学八年级下册1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.重点2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证.难点3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.学习目标观察这些图片，它们是否都有平行四边形的形象？你还记得平行四边形的定义吗？

欣赏图片两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.读作：平行四边形ABCDADBC记作：ABCDAB∥CDAD∥BC∵∴四边形ABCD是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形AB∥CDAD∥BC∴探索新知平行四边形的边、角有怎样的数量关系？ABCD探索新知请用直尺,量角器等工具度量你手中平行四边形的边和角，并记录下数据，验证猜想AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D是否正确?ABCD你能用以前所学的知识证明猜想吗？探索新知

用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？从拼图可以得到什么启示？小结：

平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等的三角形进行解题.探索新知已知：ABCD求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C.ABCD1234即∠BAD＝∠DCB∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∠1＝∠2AC＝CA∠3＝∠4∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3在△ABC和△CDA中证明：连接AC.不添加辅助线你能证明对角相等吗？探索新知平行四边形的性质几何语言：

平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）

∠A=∠C,∠B＝∠D(平行四边形的对角相等)ADBC探索新知HABCDG若a

//b，作

AD

//GH//BC，分别交

b于D、H、C，交

a于A、G、B.两条平行线间的距离则

GH=AD=BC.两条平行线之间的平行线段相等则DAHGCB.（应用性质1）若a

//b，DA、GH、CB垂直于a，交a于A、G、B，交

b于D、H、C.baABCDabHG点到直线的距离==相等探索新知例１在平行四边形ABCD中，垂足分别为求证.ABＤＣEF典型例题1.在□ABCD中，∠A：∠B=2：3，则∠A=_____，∠B=______，∠C=______，∠D=_______.2.已知□ABCD的周长为20cm，且AD-AB=1cm,则

AD=______，CD=______.

5.5cm4.5cm基础训练

3.判断题：（对的在括号内填“√”，错的填“×”）(1)平行四边形两组对边分别平行且相等.()

(2)平行四边形的四个内角都相等.()

(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°()(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和