不要分送弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案

第一拿错卷

本章学习重点与难点

重点

一-、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和柩圈，注意与其它力学在任

务、研究对象和研究方法上的相同点及不同点.

二、弹性力学的基本假定、基本fit和坐标系

1.为简化计算，弹性力学假定所研究的物体处于连续的、完全弹性的、均匀的、

各向同性的、小变形的状态.

2.各种基本量的正负号规定.注意弹性力学中应力分量的正负号规定与材料

力学中的正负号规定有何相同点和不同点.

外力（体力、面力）均以沿坐标轴正向为正，面力的正负号与所处的面无关（只

与坐标系有关），注意与应力分量正面正向、负面负向约定的区别。

3.五个基本假定在建立祥力力学基本方程时的用途.

难点

建立正面、负面的概念.确立弹性力学中应力分量的正负号规定.

典型例题讲解

例1-1试分别根据在材料力学中，和弹性力学中符号的规定.确定图中所示

的切应力r1.r2.r3»r＜的符号•

2理慎力学箱明致WU案三•版）金根导学及习建仝解

【解答】（1）在材料力学中规定,凡企图使单元或其局部顺时针转动的切应力

为正，反之为负.所以，c.r,为正,为负.

（2）在弹件力学中规定,作用于正坐标面上的切应力以正坐标轴方向为正，作

用于负坐标面L.的切应力以负坐标轴方向为正，相反的方向均为负。所以

r3,小均为负o

习题全解

1-1试举例说明.什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什

么是张均匀的各向异性体.

【解答】木材、竹材是均匀的各向异性体;混合材料通常称为非均匀的各向同

性体，如沙石混凝土构件，为非均匀的各向同性体;有生物组织如长骨，为非均匀的

各向异性体。

1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩

质地基和土质地基能否作为理想弹性体？

【解答】一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体，而钢筋混凝土构件不可

以作为理想的弹性体L•般的岩质地基不可以作为理想弹性体，而土质地基可以作

为理想的弹性体.

1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？

【解答】（】）连续性假定:引用这一假定以后•物体中的应力、应变和位移等物

理量就可看成是连续的，因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函

数来袭示它们的变化规律。

（2）完全弹性假定，引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力

成正比的含义，亦即二者成线性的关系，服从胡克定律,从而使物理方程成为线性

的方程。

（3）均匀性假定:在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相

同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比〃等）就不随

位置坐标而变化。

（4）各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相

同的。进一步地说,就是物体的弹性常数也不随方向而变化。

（5）小变形假定:我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改

变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，

可以将它们的二次赛或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性

微分方程.

在上述这些假定下，弹性力学问题都化为线性问题•从而可以应用叠加原理.

1-4应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正的

应力和正的面力的方向。

【解答】应力的符号规定是:当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时（即正

面时）.这个面上的应力（不论是正应力或切应力）以沿坐标轴的正方向为正.沿坐

标轴的负方向为负.与此相反，当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面

时）.这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负.

面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方

向时为负.

1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定.

【解答】在弹性力学和材料力学中切应力的符号规定不尽相同:材料力学中

规定，凡企图使微段顺时针转动的切应力为正；在弹性力学中规定，作用于正坐标

面上的切应力以沿坐标轴正方向为正，作用尸负坐标面上的切应力以沿坐标轴负

方向为正.相反的方向均为负。

1-6试举例说明正的应力对应于正的形变.

【解答】如梁受拉伸时,其形状发生改变，正的应力（拉

应力）对应于正的形变.

1-7试画出题1-7图中的矩形薄板的正的体力，面力

和应力的方向.

注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上

的面力，均以沿坐标轴正方向为正，反之为负.（2）边界面上

的应力应是以在正坐标面上•方向沿坐标轴正方向为正，反

4弹住力学简明敏根（第三版）余棋导学及习网全解

解＞7图

C）体力和面力Mb）体力和应力

之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。

1-8试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向.

鹿1-8图解1-8图

第二步年面问题的基峰理卷

本章学习重点与难点

重点

一、两类平面问题的概念

平面应力问1K平面应变问题

名称

未知量已知量未知量已知量

位移UtVw#0u»vw=0

二九・二0

应变®J，£y,yjryp.6*，£＞，＞口/,«=/«=3=0

€.=一三优+外）

ry.=r„=0,

应力*，0y，r*yr„=—=a=0%»(Ty»fxy

ta.=〃⑸+%)

体力、面力的作用面平行于外平体力、面力的作用面平行于Iy平

外力

面,外力沿板厚均匀分布.面，外力沿N轴无变化.

物体在一个方向的几何尺寸远小于

沿一个方向（通常取为z轴）很长的

形状其它两个方向的几何尺寸（等厚度

等微面棱柱体（等截面长柱体）.

薄板）.

二、平面问题的基本方程

平面问题的基本方程共有八个，见下表.其中，E,iG分别是弹性模量、泊松

比和切变模量心=配F号?

名称基本方程表达式应用基本假定

平衡微言+誓+“0,型+需+/,=o.连续性，小变

分方程形•均匀性

几何du3vdu,dv连续性，小变

e，F。，=万，，”=£+石・

方程形.均匀性

6势除力学的明效枚（第二版）金枚导学及习题金解

续表

名称基本方程表达式应用基本假定

平面应力问题平面应变问题

1,、一卷%）,连续性,卜变

一=天（。工―—），

物理形.均匀性，

、

方程-£,二_有1（,力——）•。'=空~（。'-昌讣完全弹性，

各向同性

%=Gr0•

三、平面问题的边界条件

弹性力学平面问题的边界条件有三类，如F表.其中S..S.分别表示面力、位

移已知的边界，/和山则是边界面的方向余弦.

位移边界条件应力边界条件混合边界条件

U=u.v=t>.S.上

.上（。+/«下功=五，5上

=刀・*

四、平面问题的两条求解途径

1.处理平面问题时•常用按位移求解和按应力求解这两条途径。在满足相应

的求解方程和边界条件之后,前者先求出位移再用几何方.程、物理方程分别求出应

变和应力;后者先求出应力再由物理方程、几何方程分别求出应变和位移.

2.按位移求解平面问题,归结为在给定边界条件下，求解以位移表示的平衡微

分方程（平面应力情况3

［）一伫典+1_±£亚）=0

1一152十2少十2avy）U，

E1巡十上史小十L十

11一八沙2犷十2dxdy!*

3.按应力求解平面问题，除运用平衡微分方程外，还需补充应变相容方程，该

方程可用应变或应力分量表示.

用应力表示的相容方程：

一般情况下：

▽*（%+%）33—（1平面应力问题

V，Q,+。,）=一（七）（蓼+空）.平面应变问题

第二北平面侧魅的修本建论7

常体力情况下,

▽"*4-（7,）=0.

用应变表示的相容方程：

­匕4乜一如

dy2djc2dxdy*

按应力求解常体力情况下的两类平面问题.归结为在给定边界条件下.求解如

下的偏微分方程组•若是多连通（开孔）物体•相应的位移分量需满足位移单值条件：

养+需+/，=0,

粤+黑+/,=。，

▽"%+%）=0.

五、关于位移解法、应力解法及应变相容方程

1.弹性力学问题按位移求解（或按位移、应变、应力同时求解）时，应变相容方

程能自行满足。技应力求解时•为保证从几何方程求得连续的位移分量，需补充应

变相容方程，是保证物体（单连体）连续的充分和必要条件。对于多连体•只有在加

上位移单值条件•才能使物体变形后仍保持为连续体.

2.按位移求解时需联立求斛二阶偏微分方程,虽在理论上讲适用于各类边界

条件，但实际运用时较难得到精确满足位移边界条件的解析解.因此，使其在寻找

精确解时受到了限制。然而,这•方法在数值解法中得到了广泛应用。

3.应力解法通常适用于应力边界条件或仅在局部给定位移的混合边界条件.

由于可引入应力函数求解,故在寻找平面问题的解析解时.用此法求解比按位移求

解容易。

4.在按应力解法求解的方程组中并不隐含弹性常数，因此，按应力求解单连通

平面弹性体的应力边界问题时，其应力解答与E.〃,G无关（但应变、位移分量与弹

性常数有关）,即应力与材料性质无关.这意味着不同弹性材料的物体（不论是属

于平面应力问题，还是属于平面应变问题）,只要在外平面内具有相同的形状、约

束和荷载，那么,。，，力・丁，的分布情况就相同（不考虑体力）.可以证明：对于多连

通（开孔）物体,若作用在同一边界上外力的主矢为零,上述结论也成立。

难点

一、两类平面问题的异同点。

二、圣维南原理的适用范围,对其定义的把握。在利用圣维南原理在小边界

（次要边界）上局部放松♦使应力边界条件近似满足时，注意主矢（主矩）的正负号规

定:应力合成的主矢（主矩）与外力主矢（主矩）方向一致时取正号•反之取负号。

三、列出应力边界条件.

8拜et力学而明敕桎（第三版）金枚导学及习国金x

典型例题讲解

例2・1已知薄板有F列形变关系迷，=Ary,£,=By\/r,=C-D必，式中

A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力

分量表达式.

【解】（D相容条件，

将形变分量代入形变协调方程（相容方程）

九*乜二叽

dy2十拓?"My•

其中=0，筌f=。，—0.

Jy*dxdxdy

所以满足相容方程，符合连续性条件。

（2）在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为

%=f+凡）=-E加一+〃户，

1-ui—fl

%=［上下（£,+/,,）=/--^fjAxy+By1'）♦

1-fl1-fl

j=G%=G（C-D/）.

（3）平衡微分方程

§=r^7<3即+加3

其中

黑=必需=-2GD».

若满足平衡微分方程,必须有

\^iy-2GDy+f,=O,

<3Byi+4）+/,=0.

分析:用形变分越表示的应力分量，满足了相容方

程和平衡微分方程条件,若要求出常数A,B,C,D还

需应力边界条件.

例2-2如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面

受冷水压力（水的密度为P>，顶部受集中力P作用.

第二京平面问题的事本理论9

试写出水现的应力边界条件。

【解】根据在边界上应力与面力的关系

左侧面：（。,Li=九（y）=0，（r“）*…=f、（«y）=0,

右侧面：Q,）L-A=7,（y）=—pgh（rxv）x--A=7\（，）=0・

上下端面为小边界面，应用圣维南原理,可列出三个积分的应力边界条件。上

端面的面力向截面形心。简化，得面力的主矢量和主矩分别为FN.F’.M”

F、=Psina,F»=-Pcosa.Mo=与sina.

y=0坐标面，应力主矢量符号与面力主矢量符号相反;应力主矩与面力主矩的转

向相反。所以

|（外）,=0业=-FN=-Psina,

[（<jr）y=，oxdr——Mo工--iPAsina♦

J-44

f（「a）»=°dr=-F9=PCOSQ。■

J-*

下端面的面力向截面形心D简化,得到主矢饿和主矩为

FN=­Psina.Fs=Pcosa----郎8、

Mi>=Plcosa-sina-gpg。

y=/坐标面,应力主矢量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同。所以

|卜（%）,』dlr=F、=-Psina,

fA]/J

JA10,）y.*dr=MD=Plcosa—^P/isinafPM，

J—《r”），5"==Pcosa-｝幽.

分析：（D与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式，而且与边界平行的应

力分量不会出现.如在左、右侧面.不要加入（叫》,—=0或…7=0。

（2）在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在小边界（次要边界）上无法精

确满足时.可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为简

化.应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判断，二者

方向一致时取正号,反之取负号。

习题全解

2-1如果某一问题中♦*=0,只存在平面应力分量o»，。,，r“»且

它们不沿工方向变化，仅为工班的函数•试考虑此问题是否就是平面应力问题？

10也也•力学版明敦根（第三版）全权导学及早足会M

【解答】平面应力问题.就是作用在物体上的外力.约束沿7向均不变化，只

有平面应力分量且仅为工2的函数的弹性力学问题•所以此问题是平

面应力问题。•

2-2如果某一问题中，3=7U=7＞。=0,只存在平面应变分量一.一,

且它们不沿z方向变化,仅为工~的函数•试考虑此问题是否就是平面应

变向收？

【解答】平面应变问题,就是物体截面形状、体力、面力及约束沿z向均不变，

只有平面应变分量（£,,30”），且仅为的函数的弹性力学问题，所以此向12

是平面应变问题。

2-3试分析说明,在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中.即2•3

图.其应力状态接近于平面应力的情况。

【解答】在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，可以认为在该薄

层的上下表面都无面力,且在薄层内所有各点都有*=r„=一，=0,只存在平面

应力分,旦它们不沿z向变化•仅为工,y的函数。可认定此何跖是平

面应力问题。

2-4试分析说明,在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄

板中，题24图，当板上只受《r,y向的面力或约束.且不沿厚度变化时.其应力状

态接近于平面应变的情况。

【解答】板上处处受法向约束时3=0,且不受切向面力作用•则y“=y”=0

（相应板边上只受向的而力或约束•所以仅存在L.Ey.y”且不

沿厚度变化•所以其应变状态接近于平面应变的情况。

2-5在题2-5困的微分体中•若将对形心的力矩平衡条件2Mc=0・改为对

第二案平面向度的事本在论11

角点的力矩平衡条件.试问将导出什么形式的方程？

题2・5图

【解】将对膨心的力矩平衡条件ZM、=0,改为分别对四个角点A,8.D.E

的平衡条件.为计算方便.在z方向的尺寸取为一个单位。

XMA=0.

力drXIX学+(*4--dr)dyXIX学一(「”XIXdr

1

十(rw-h-p£d>jdrX1Xdy-(%+等dy)&X1X亨一％d_yXI

(a)

+ftdrdyX1X学一—‘drdyX1X~=0.

XM”=0,

(*+黑&)⑥乂1X学+(%4^~dj)ArX]Xdy+

(%JctrXI义华一jdyX1Xdx-a,d>X1X9—(b)

%drXIX学+/,&d»X】X字十/声的义1X华=0.

ZM”=0,

(%+羡dy)drX1X--r,»dyXIXdr+%dyXIX学+

TyrdxX1Xdy—ffv<lxX1X当一(0,-4-^-(Lr)dyX1X竽一(c)

ftdxdyXIX华-k-f,dxdyXI=0。

SMf-=0,

一(%+轶dyX1X与+a,dyX1义$+r>,drX1Xdy+%drXIX

12舞性力学陶明敏（第三Jlfc）金技导学及习理全解

y—（%+器dz）dyX1X-y-（r„+^^业）*X1Xdz-f1rdzdyXIX

学+f,drdyXIX华=0。（d）

略去式（a）、（b）Jc）和式（d）中三阶小酸（亦即d2I力，drcfy都趋于零），并将各式

都除以drd＞后合并同类项，分别得到

r”=fk・

2-6在题2・5图的微分体中.若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的,

试问将导出什么形式的平衡微分方程？

【解】微分单元体ABCD的边长dr,dy都是微量，因此可以假设在单元体各

面上所受的应力如图（a）示•忽略了二阶以上的高阶微髭，而看作是线性分布的•如

图（b）示.为计算方便，单元体在z方向的尺寸取为一个单位.

各点正应力।

0n

X/

滥

“一

nf

nrn

T

nn

nan

nn

Dn

m!

"

Q/)A=°M，(力)A=OyI

(%>B-%+含dy，Q,)B=。，+含d_y，

Q*)D=%+^"dz,(%%=Oy4-^^dz；

gc=%+养&+歆1y.Q,)C=%+符&+翁电

各点切应力：

(r”)A=r”，)A=T„I

(r“)u=+^^如，3Bf+^dy,

(r,r>D=r><+~^dx$

第二京平面问题的事本痉论

（r”）c=J，+若业+笨力，=5+若业+黑打・

由微分单元体的平衡条件£F,=O.SF,=0得

｛-+［%+（*+簪>）］｝力+修［（%卜普dr）

+（力+养&+色心）］｝”（知k+（«,>.+*&）］｝&

+岳［（丁"+得力）+卜+M&+煞dy）］｝dr+/,drdy

=o»

卜卦,+（%+符必）］辰+圉（,+5力）

+（力+翁"+豕叫｝。-H■卜+.+/（*、）］,

+（/［（r”+若&）+（%，+留力+型&）］卜,+/加打

=0・

以上二式分别展开并约简,再分别除以dzdy.就得到平面问胭中的平衡微分

方程

2-7在导出平面向腮的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方

程的适用条件是什么？

【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定

是：物体的连续性.小变形和均匀性.

在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都

适用。

（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是:物体的连续性.完全弹

性,均匀性，小变形和各向同性.即物体为小变形的理想弹性体。

在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中的物理方程不一样,如果将平面

应力问题的物理方程中的E换为点7中换为金♦就得到平面应变问胭的物理

方程.

2-8试列出题2-8图（a）.题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端

部边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

【解】（1）对于图（a）的问胭

14弹性力学M明数根（第三版）全柱导学及习题全斛

在主要边界x-0.x-//上.应精确满足下列边界条件,

）,=。=一=0；

=-pgy，=0.

在小边界（次要边界）丁=0上,能精确满足卜列边界条件,

(r“)=0。

在小边界（次要边界）y・心上•花位移边界条件=0.《”）//=0.

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理•改用三个积分的应力边界条件来代替.

当板厚8=1时.

!h：)b.

0.

(Ml

眶2・8图

（2）对于图（b）所示问题

在主要边界丁=±人/2上.应精确满足下列边界条件:

y-*/>=°，-Qi

=-q.=0.

在次要边界1=0上，应用圣维南原理列出三个枳分的应力边界条件♦当板厚

6=1时，

JTc《%)…心=-Fw，

心(ffr),="dy=-M.

在次要边界工=/上.有位移边界条件=（）•«）­,=0。这两个位移

边界条件可以改用三个枳分的应力边界条件来代替

累二立平面向我的慕本理论15

2-9试应用圣维南原理•列出题2-9图所示的两个问胭中QA边的三个积分

的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？

题2-9图

【解】(D对于图(a),上端面的面力向截面形心简化,得主矢和主矩分别为

FN=q”2,Fs=0.M=jj-z)dr=-qb?/12•应用圣维南原理,列出三

个枳分的应力边界条件•当板厚③=1时，

[>>.0(17=一弛/2,

<1(%)1O.rdr=m'/】2,

[JTZ(F")>-c<Lr=o.

(2)对于图(b).应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件,当板厚S—1时，

[[(%),Hodr=-q6/2,

<jJy-oxdx=时/12•

j(ryz)r.ocLr=0.

所以.在小边界QA边匕，两个问题的三个积分的应力边界条件相同•这两个问

16弹性力学蔺明数收（东三收）全程导学及习题全解

题为静力等效的。

2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？

【解】（D用位移表示的平衡微分方程

.冷（含+宁塞+*悬）+/，=。，

,缶（奈+〒票+中悬）+“。・

（2）用位移表示的应力边界条件

J言小（翁+〃黔+皿宁既+并］「九丁

1V&N例+“给+,〒,筐+给r］（在S•上）

（3）位移边界条件

（u）,=a,（v）t=v.（在L上）

2-11检验平面向翘中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？

【解】（D平衡微分方程

（2）相容方程

.（。,+%）=-＜1+“）（养+粉）•

（3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件"=J,）

/（/.,+*=＞，=［*，.X

＜-（在S==S.上）

1（叩＞4-Zrry）＞=力.

"）若为多连体,还须满足位移单值条件.

212检验平面问题中的应力函数⑦是否为正确解答的条件是什么？

【解】应力函数须满足以下条件

（1）相容方程

V40=0.

（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件•5=「）

a+2=少（在…，上）

Iamay十/r”）,=/y.

（3）若为多连体，还须满足位移单值条件.

求出应力函数0后,可以按下式求出应力分量，

*=行一/,工，力二寿一/，*J=3工石，

第二JU平面间II的a本理论17

2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

（a）题2-13图（a）必=方9，。＞=L,=。・

（b）题2・13图（b）,由材料力学公式,%=%,“=静（取梁的厚度6=1）,

得出所示问题的解答：

%=-2q需'ro=一舞"'一4y"・

又根据平衡微分方程和边界条件得出

_3qxyxy3qx

*2lh6qlhl2/*

试导出上述公式•并检验解答的正确性。

【解】按应力求解时（本题体力不计）•在单连体中应力分量%，力.r”必须满

足:平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设§=力）.

=

（1）题2-13图（a）,。・=方q，。，ro=0.

①相容条件:将应力分量代入相容方程，教材中式（2-23）

（5+卦）—+%）=1工心

不满足相容方程.

②平衡条件:将应力分量代入平衡微分方程

养+符=。，

号+至工。・

显然满足。

③应力边界条件:在工=土。边界上.

y*

（%）＞=如=后q，（下“）*=如a。。

在y=±6边界上，

满足应力边界条件。

（2）@2-13图（b）,由材料力学公式=%,j=鬻（取梁的厚度『1），

得出所示问题的解答：i=—29裙\丁”=一学东⑴4户.又根据平衡微分

方程和边界条件得出Qy=?会—2q沿一器.试导出上述公式,并检验解答的

LininCJCl

正确性.

18弹性力学简明敷根（第三版）全把导学及习到全M

题273图

①推导公式：

在分布荷载的作用下•梁发生弯曲变形.梁横截面是宽度为1・高为人的矩形.

其对z轴（中性轴）的惯性矩为/,=差，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和

剪力方程分别为MCr）一一看）二一吩.

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为

根据平衡微分方程的第二式（体力不计）

言+.=。，

得到

力=学黄一2。淙+A・

根据边界条件（。，）,-*°=0,

得A=~if*

所以d=四*一2。过一？三

所以%2th3而2/•

②相容条件：

将应力分鼠代入相容方程

（/+给"，十^一^^#。・

不满足相容方程.

③平衡条件：

第二皋半ttj闷题的a4设论19

将应力分量代入平衡微分方程显然满足。

④应力边界条件：

在主要边界>=±"2上,应精确满足下列边界条件：

----Y9《下封),--*/2=0。

(*)叩*〃=0,(r产)，=A/Z=0©

自然满足.

在1=0的次要边界上•外力的主矢量.主矩都为零.有三个积分的应力边界

条件：

产2产

八八0»・曲=。，匚，(％)，=。>内=0,

L2(r“)…。dy=0.

在工=1次要边界上，(〃),・,=0,(10,1=0.这两个位移边界条件可以改

用三个积分的应力边界条件来代替.

jj，2<a,),-/dy=J二'-2q#d.y=0,

电72-24京加=一哈・

J二”…⑥■J:一?东⑴TyDdy-----

所以•满足应力的边界条件c

虽然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件•但都不满足

相容方程,所以两题的解答都不是问题的解.

2-14试证明:在发生最大与最小切应力的面上•正应力的数值都等于两个主

应力的平均值.

【证明】任意斜截面上的切应力为r.=51(6—6),其中6・6为两个主

应力.

用关系式八+m'=l消去m,得

r・=±/J\一—(S—6)=士一不(6~O\)-j-(}一?)㈤一6)・

由上式可见,当方一1=0时，j为最大和最小•于是得I-±・

而<7.—I1(6-6>+。2，得到G*=<T，~7^3•

2-15设已求得一点处的应力分量，试求6，九・Q,।

(a)%=100,%=50,=10\/50；

(b)%=200,a,=0,Tjy=-4001

20弹叫力争蔺明数横（票三版）金桎导学及习・全解

(c)%=-2000,<7,=1000,r*,=-400；

(d)ar=-1000.0y=—1500.rx,=500.

【解】根据教材中式（2-6）和tana,=9区可分别求出主应力和主应力的

方向：

（a）%=100.a>=50,r„=10</50;

；卜100±50土膺尹77嬴病

得o।—•150f(fi—09a1—3516•

(b)a,=200.%=0.=-4001

:卜咿士照川+《二嬴,

512-200

一400

得ffi=512»6=—312,ai=-37°57‘。

(c)a,=—2000.o7=1000,rq=—400；

2000100，

:卜-2%+1000±5/(-2~°)+(-400)»,

1052十2000

tana1——400~~

6=1052,ci=-2052,ai=-82*32z.

ax=-1000»%=—1500*Tgy=500；

一1000—1500±^(-1000.4-1500^7^7,

2

-691+1000

~500=0.618«

得at=-1809,ai=31°43’.

2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计•在全部边界上（包括孔口

边界上）受有均匀压力q.试证/=%=一<7及r”=。能满足平衡微分方程、相容

方程和应力边界条件.也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。

第二*平面用麴的事本理论21

解2-16图

【证明】(D将应力分量i=%=-=0和/,=/,=0分别代入平衡

微分方程、相容方程

‘

心

舞+

力十八二0,

〜

也

+「

力+A=0・

、1¥7

/刍

\(++外)=一(1+〃"养+箓)=°。<b)

ar

显然式(a)、(b)是满足的.

(2)对于微小的三角板A,dr.dy都为正值•斜边上的方向余弦/=COS(*N),

m=8S(〃•、)•将%=ay=—q.r”=0代入平面问题的应力边界条件的表达式

](以4-mr^=/*($),/、

<.r(c)

\(.tna,4-Zrav),=7,(s)•

则有

ajcos(n,x)=­qcos(nTx)*

%cos(〃，y)=­geos(z.y)・

所以ot=-q,%=-q,

对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件.

(3)对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。

该题为平面应力的情况，首先，将应力分量。,=外=-q及T”=0代入物理

方程，教材中式(2・12),得形变分量

然后，将式(d)的形变分量代入几何方程,教材中式(2-8),得

du(〃一1)dv(〃-1)dv.8u

di=­r~q>=E~g'aj万

22件区力学府明数桎I第三版）全程导学及习现全做

前二式的积分得到

口—幺,一）qx+/i（丁），，="Ei）qy+，za）,（f）

其中的人和人分别是y和N的待定函数•可以通过几何方程的第三式求出。

将式（力代入式”）的第三式，得

d/i《V）_cl/?（工）

dydx

等式左边只是y的函数,而等式右边只是工的函数。因此，只可能两边都等于

同•个常数3。于是有

d/i（.y）d/（JT）

—J,———co*—2亚—=u>.

积分以后得

〃（、）=-3卜“0，/zCxJ^ttKF-f-Vo.

代人式⑴得位移分地

3—1）

u=g--qx—a»y十“0，

v（g）

.V~3E1+u+%。

其中〃。,“皿为表示刚体位移量的常数,须由约束条件求得.

从式（6可见,位移是坐标的单值连续函数•满足位移单值条件。因而•应力分

量是正确的解答。

217设有矩形截面的悬臂梁.在自由端受仃集中荷载F