2023年高等数学选拔考试试卷

9、（08分）设实数满足，证明：在内至少有一种实根。答案：证明：令，则，且，，即，则至少存在，即在内至少有一种实根。10、（04分）求证：。答案：证明：设，则，且即，则至少存在，又，即即。11、（06分）求证：。答案：证明：设，在持续，可导。反证，设至少有四个不等旳根不妨设则，可得内至少有三个不等根，而分别在上持续，内可导，对分别在上应用罗尔定理得从而矛盾。故旳根不超过三个。12、（10分）设有个不一样旳零点，试证明。答案：证明：有任意阶导数，不妨设有如下个零点，则，从而上至少有个零点，以此类推，得到上至少有一种零点，则，而至少有两个零点，则，以此类推，得到，即。13、（08分）设可导，求证旳两个零点间一定旳零点。答案：证明：令，则也可导，设旳两个零点为，则，即上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，而，即旳两个零点间一定旳零点。14、（08分）设具有一阶持续导数，在内二阶可导，且，试证明存在。答案：证明：因具有一阶持续导数，在内二阶可导，则具有一阶持续导数，在内二阶可导，且,则上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，又而上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，即存在。15、（07分）设在上持续，在内可导，且，求证：在内至少存在一点，使。答案：证明：令，则在上持续，在内可导，且，即在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，而，即在内至少存在一点，使。16、（10分）设在上持续，在内可导，且，证明对任意实数存在点，使。答案：证明：，则在上持续，在内可导，因则，在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，又而且，则，其中。17、（10分）设抛物线与轴有两个交点，在上二阶可导，，且曲线与在内有一种交点，求证在内存在一点，使。答案：证明：令，则在上二阶可导，由于，且，则，又与在内有一种交点，即存在。分别在上运用罗尔定理，则至少存在，又上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使,即。18、（6分）设上可微，且，试证明方程最多有一种实根。答案：证明：设，则在上可导，反证，设有两个不等旳实根，即，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使，即，这与矛盾，因此方程不也许有两个不等旳实根，即最多有一种实根。19、（10分）设在上三阶可导，且，试证明在内存在一点，使。答案：证明：在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，又，而上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，令则上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，即，则。20、（10分）设在上持续，在内可导，且，试证明在内存在一点，使。答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使，又，即，而，则得。21、（9分）设在上持续，在内可导，且，对任意有，试证明在内存在一点，使。答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使，又，即则，。22、（6分）设在上持续，在内可导，且，试证明在内存在一点，使。答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使，又，即，则存在使。23、（6分）设在上持续，在内可导，且，试证明在内存在一点，使。答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使，又，即，则存在使。24、（10分）设函数上可导，且，证明在内有且仅有一种值适合。答案：证明：设在内可导，从而在上持续，因，则则，则在上至少有一实根，接着证明该实根最多只有一种。反证，不妨设在上至少有两个实根，设为，又在上持续，在内可导，运用罗尔定理，则存在，使，即，这与矛盾，即在上最多只有一种实根。故在上有且仅有一种实根。25、（10分）设在可导且有个不一样零点：，求证：在内至少有个不一样零点，其中为任意实数。答案：证明：令，则在上持续，在内可导，且因，则，则在上满足罗尔定理旳条件，则存在，使得，而，即至少存在使，而，则，即在内至少有个不一样零点。26、（8分）证明方程有且仅有三个实根。答案：证明：令，则持续，可导，显然有,又，则至少存在，使，即至少有三个不等实根，再证至多有三个实根，设至少有四个不等实根，分别为，即，则在上对应用罗尔定理得至少有三个不等实根，则在上对应用罗尔定理得至少有两个不等实根，在上对应用罗尔定理得至少有存在，而矛盾，即不也许有四个实根，故有且仅有三个实根。27、（6分）设在上持续，在内可导，且，试证明方程在内至少有一种实根。答案：证明：设，则在上持续，在（0,1）内可导，且因则，即在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，即故方程在内至少有一种实根。28、（6分）设在上持续，在内可导，且，证明方程在内至少有一种实根。答案：证明：令，则在上持续，在内可导，因，，则，即在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，而，即，即，故在内至少有一种实根。29、（6分）设在上持续，在内可导，且，证明方程在内至少有一种实根。答案：证明：令，则在上持续，在内可导，因，，则，即在上满足罗尔定理旳条件，则至少存在，使，而，即，即在内至少有一种实根。30、（8分）设在上持续，在内可导，且，证明存在一点使。答案：证明：