高中数学选修2-1 第二章 第二节《2.2椭圆》全套教案

2.2

椭圆课时分配:1.第一课椭圆及其标准方程2.第二课椭圆的简单几何性质

1课时1课时

椭圆及其准方程【材析圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容。本节是整个解析几何部分的重要基础知识椭圆的定义与初中时学生学习的圆的定义具有相通之处就“点动成线”的原理。通过学习，让学生理解当点运动的规则（遵循的几何关系）发生变化的时候，则画出的曲线的形状也会不同。高中阶段，在《直线和圆的方程》的学习过程中，学生对坐标法（解析法）思想有了一定程度的认识；在“曲线与方程”和“方程与曲线”的概念中，学生进一步明确了坐标法及其研究曲线的方程的一般步骤从本节课开始又将研究曲线的方法拓展到椭圆又是继续学习椭圆几何性质的基础时还为后面学习双曲线和抛物线作好研究方法和研究思想的准备它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用所以椭圆是学生学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前启后的作用。【学标知识与能目标1．准确理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；2．根据条件确定椭圆的标准方程；过程与法目标1．通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义；在探索椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳和抽象概括问题的能力.2．提高运用坐标法解决几何问题的能力和运算求解和数据处理的能力。情感态与价值观目通过提炼归纳椭圆的定义的过程，让学生学会将问题抽象成数学问题透过运动的现象把握事物的本质通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美对称美通过讨论椭圆方程推导的过程中养成学生扎实严谨的科学态度。教学重和难点1.重点：体会椭圆的形成过程，感受求曲线方程的基本方法，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。2.难点：椭圆标准方程的推导（尤其是遇到的根式化简的过程与方法）

法与学（一）教法为了使学生更主动地参与到课堂教学中现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则故采用自主探究法按“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用的模式来组织教学让学生既动手又动脑积极的参与到课堂的教学中。（二）学法在本教学过程中，让学生经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识。让动手实践、独立思考、合作交流成为学生学习数学的重要方式。（三）课前准备1.学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。2.教师准备：用几何画板制作的相关课件等。【前备

多媒体，预习例题教学课程第一课教学环节（一创设情境复习导入（5钟）

导案学案“我们知道天体运行的轨迹是椭圆，换句话说如果们把天体抽象看成一点那么这点运动后就画出了一个椭圆椭圆究竟是怎么画出来的？这个点在运动过程中必须遵循怎样的规则才可以是椭圆呢？它的方程又是怎样的呢？学习了本节课的内容，就可以解决这个问题。”

师生活动/随测试

学生提问备此处渗将实际问题转为数学问题的法之一--象思维。学生拿出事先准（二动手提问：“如果不借助圆备好的学具，动手实实践归纳形践（小组互助协作）。概念类比画圆的过程，看（25分钟）的？”“你能根据画圆能否画出椭圆，并给

此处渗和引导

的过程给圆下定义吗？你能回忆起初中的学习中是如何对圆进行定义的？其中你有注意概念中的“定”“定长”这些字眼吗？它们是由

予指导。提出问题：“在画图的过程，哪些量发生了变，哪些量没有变？定点吗？有定长吗动点遵循的规则又什么？让学生根据自己的实验（小组观察并

出点动线的思想，我只要阐述清楚点运动的规则可以了（根据事物的现象挖掘出本质）什么抽象而来的？请你根据课件中的动画来体会一下定点、定长和动点。它们给你的启示是什么?

讨论），学生代表回椭圆的定答（若回答不完整，义：请其他小组的学生代平面内与两表补充）：“两定点个定点F12间的距没变，绳子距离之和等于的长度变，点在运数（大于|FF）12动。”的点的轨迹做继续提问：“你们能椭圆。定点1根据刚画椭圆的过F叫做椭的焦2程，类圆的定义，点，、的距12归纳概出椭圆的定离叫做椭圆的义吗？

距。学生提出：“为何‘常’要大于两定间的距离呢？于、小于又如呢？”三.巩固练习（分钟）

椭圆有方程吗?如何推导椭圆的标准方程呢？2.写出动点M满足的集合这里我启发学生根据椭圆的定义，写出动点M满足的集合，即：P＝｛M|│MF│+1│MF│=2a｝2如果学生有困难，可以安排进行小组讨论交流。3.坐标化引导学生在设点的基础上,将前面得到的

让学生进一步运用研究直线与圆的方程的方法——坐标法，去推导椭圆的方程。请学生回顾，并在本环节就按如下几个步骤进行解决问题：思考：椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是样的呢?学生经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在Y轴上的

建立直角坐标系，设出动点的坐标我启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系。学生可能会有如下几种建系方案：方案：以定点F原点，1两定点的连线为

②②焦点关系式用坐标表示出

椭圆标准方程：X轴；来。这里学生不会有太大的困难,绝大多数学生都能得到方程:

y2x0)a2b2

方案：以定点F原点，2两定点的连线为准方程

椭圆的X轴；方案以移项再平方

它表示:椭圆的焦点y轴

两定点的连线为X轴其垂直平分(x)y242a(22y是（0，-c）

线为Y轴；方案以即

:

F20，c）③

两定点的连线为Y轴其垂直平分aax)2y两边同时平方,得(22)aya2

a2

线为X轴。∵a2

a，

∴令a

2

2

2则

：

两边同时除以2b

,得0)ab圆的标方程⑴

到它表示①椭圆的焦在x轴上②焦点坐标F1（-c，0、F2（c，）③a

2

2

2

2b2b22四．小结

谈收获完成课后习

小结：样用坐标法导出了椭圆的准方程，也求曲线程的一般法，总结步为：、建设点写出点满足集合3、式、化简布置作本42页2题及优化设计基础巩固部分。1.练习：判断下面的方程是否是椭圆的标准方程。x2yy22y(3)323332(4)4

y

362.快速反应：

x2y322

x2y2(2)32

x22342五.布置作业

x(4)49则a=___,b=____焦点在____轴上。设计意：考察学生方程特的整体认识把握，一步将方程与形紧密结合来。1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=1,焦点在轴上（）a=5,焦点在y轴上解1

x22x2（21625242.知焦分是0)(20),且经(

3)2

,它的标准方程.解：（待定系数法和定义法求解）点评：求椭圆的标准方程的方法

x2y106（1）定位：焦点x轴上，或是y轴上，确定方程形式（2）量：根据关系式确定

b2和a

这次教学设计中很好地贯穿了新课程教学理念概念的形成过程注重培养学生解决问题的思维能力。但是也出现了一定的不足，第一：由于教学经验有限，一些数学教育理论和理念，不能完美应用于教学设计中；六．教学反第二：在教学设计中针对学生的心理情况的预设比较少；第三，考虑到我校学生的认知实际，在探究概念形成的过程花费的时间会较多，故课堂中例题的设计较少，课堂的教学效率有待提高；圆的简几何性教学目：1.知识与技能(1).使学生掌握椭圆的性质根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a的几何义及相互关系(2)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。(3)能利用椭圆的性质解决实际问题。2.过程与方法：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。3.情感态度价值观通过对问题的探究活动亲历知识的建构过程使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学教学重：圆的简单几何性质的应用。教学难：圆的简单几何性质的应用。【前备

多媒体，预习例题教学课程第二课教学环节

导案/学案

师生活动随堂测试

学生提问备

一．引入新课（5钟）

复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点（i过复习和预习道对椭圆的标准

①程概引导学生，在本的节中不仅要注意范围②由方程的通过对椭圆的标的准方程的讨论，对称性③先定义研究椭圆的几何的性质的理解和应概念容易得出椭用，而且还注意标对这种研究方法及长轴短轴的概的培养．念；二..探究新知（25分钟）

方程的讨论来研究椭圆的几何性质．（ii椭圆的简单几何性质例1已知椭圆方程为回答下列问题用描点法画出椭圆图形。它的长轴长是：。短轴是：。焦距是：.焦点坐标是：。顶点坐标是：

提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．

①范围椭圆的标准方程可得，x2，b2进一步得：x同理可得：y，即椭圆位于直线x和所围成的矩形框图里；②对称性

。分析由椭圆的方程化为标准方程易

代和代，且以代y这三求出

a,

．引导学生

个方面来研究椭圆的标准方程发用椭圆的长轴、短轴、离心率点和顶点的定义即可求相关量．④离心率：椭圆的焦距与长轴长的

生变化没有，从而得到椭圆是以轴和为对称轴，原点为对比

e

ca

叫做椭圆的离

称中心；③顶点给心率（

0

，

出圆锥曲线的顶点的统一定义，时a椭圆图形越扁；00椭圆越接近于圆．练习：下列各组椭圆中一个更接近于圆？

即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；例2圆的离心率为0.5，求k的值解法剖析依题意椭圆的焦

2222点位置没有确定分类讨论，分类讨论思想。．巩固练习1.若点（x，y）在椭圆坐标x的取值范围

2259

上，则点P（x，y）横2.若点（24在椭圆椭圆上的点有

y2aa2b2

上下列是三.巩固练习（分钟）

（1）P（-2，4）（2）P（-4，2）（3）P（-2，-4）（4）P（2，-4）3.中心在原点，焦点在x上，长轴、短轴的长分别为和6的椭圆方程为4.说出椭圆4y的长轴长短轴长顶点和焦点坐标5若椭圆的