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文档简介

柯西不等式1.二元均值不等式有哪几种形式？答案：

a2

ab(ab

及几种变式.2.已知a、、c、实数，求()(c2)ac)

证法比较法(

)(

)ac)

=….=

()

定理：若a、、c、实数，()(c)ac)

.变式：a2c2

或

2gcac|bd或

gc

bd

.定理：,aLa,b,LR1n2

，则（当且仅当2b2n

时取等号，假i

）变式a2

a

1an

.定理：是两个向量，

.

11等号成立？是零向量，或共线）练习：已、、、实数，求证a

2

2

2

a

2

)

2.证法分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）三角不式：①定理：设x,x,12

，则21

1

2

2

2

2

x12

2

y1

2.变式：若x,,x,,y12不等式？

，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角例1：求函yx10x

的最大值？分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式变

式：

yx

→

推

广：ybxc,efR例2：若R

y

，求证：x

1y

.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）

要点：11，求的最小值.要点：11，求的最小值.111(x)()[(2)2][())2]xx2x讨论：其它证法（利用基本不等式）

…练习：已y

，求x

2

2的最小值.解答要点凑配法）x

y

11()(32(3xy2131313

.讨论：其它方法（数形结合法）练习：已

R

，求证a)a

.例1：已3xy求2y22的最小值.练习：若x,R

，且

1yzx变式：若z

，且

，求x

的最小值.变式：若z

，且

，求xy

的最大值.例2：a

>b

>c，求证：

14.a要点(a)(

1111)a)b)]((12ab

例3已知正b,c满a

证明

a333

a23证明：利用柯西不等

1312222c2

又因为

a

abca在此不等式两边同乘以2再加上a

得

2

2

2

Q

3

a

3

例4设p内的一点，,y,p到三bc的距离外接圆的半径，证明yz证明：由柯西不等式得，

12R

a22记的面积，则axSg4RR故不等式成立。练习知实,b,c,a2b2c2d2试a的最值

maxmax解：由柯西不等式得，

c

d

11236

2

c

d

得，

b6d解得，2当且仅当时等号成立，121316112代,时，c,d时363

a

min

3.3排序不等式排序不等式（即排序原理设有两个有序实数组:

12

n

;

12

n

.

cc,12

n

bb1

n

的任一排列,则有bb1122

bnn

(同序和)c11

nn

(乱序和)b1n

bn1

(反序和)当且仅1

n

1

n

时，反序和等于同序和.排序不式的应：

例1：,a12

n

是n

个互不相同的正整数，求证：1

11aaa23nn

.证明过程：设,12

是a,,12

n

的1

，1

.

11232n2

，由排序不等式，得abba22322n22小结：分析目标，构造有序排列.

…练习：已a,b,c

为正数，求证

)

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