高中数学(人教A版 选修2-2)Word版活页训练2-3-2数学归纳法的应用

*n2nkk2nn***n2nkk2nn**第2课时

数学归纳法的应用双基达标

钟11．利用数归纳法证明＋＋„<1(n∈，≥2)时，第二步k到k＋时n＋1n2不等式左端的变化是()．1A．增加这一项2＋B．增加了

1和两项2＋2＋11C．增加了和两项，同时减少了这一项2＋2＋D．以上都不对解析不等式左端共有n1，且分母是首项，公差，末项2n等差数列，当1111nk时，左端为＋＋＋„；nk＋1，左端为＋＋＋„k＋k＋k＋1k＋2k＋11＋＋2k＋k＋

，对比两式，可得结论．答案C2．用数学纳法证明“当为正奇数时，x＋能被x＋整除”的第二步是()．A．假使n2＋时正确，再推n2＋正确B．假使n2－时正确，再推＝k＋1正确C．假使nk时正确，再推＝k＋1正确D．假使n≤(k≥，再推＝k＋2正确(以上k∈N)解析因为为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第个正奇数也成立，本题即假设n2－1确，再推第(k＋1)正奇数即n2＋正确．答案B3．已知平内有条直线(∈N)，设这n条直线最多将平面分割成(n)个部分，则f(n＋等于

1·33·55·7nnn2k2k2nn2222422k2k22223k222kkk1·33·55·7nnn2k2k2nn2222422k2k22223k222kkkkkk＋22*2n24()．A．()＋－C．f()＋＋

B．(n＋nD．fn＋n＋2解析要使这n直线将平面所分割成的部分最多，则这条直线中任何两条不平行，任何三条不共点为第＋条直线被原n直线分成＋条线段或射线n1线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n比f(n)了n1分．答案C14．已知＝＋＋＋„n

1

，则S________S＝13________，S＝________，猜想S＝4nn解析分别将代入观察猜想S＝.2n112答案35n＋15学归纳法证明“当n为正偶数x

－y

能被x＋y除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n正偶数，故第一个n2第二步假取第k个正偶数成立，n2，故应假设成x－y能＋除．答案2x

－y

能被x＋y整除6．用数学纳法证明：111＋＋＋„＜2－n≥2)．13证明：当n＝2时，1＋＝＜2－＝，命题成立1假设当nk时命题成立，即1＋＋＋„＜2－，当n＝＋，111＋＋＋„＋

11111111＜－＋＜－＋＝－＋－＝－，k＋命题成立．由(、知原不等式在n2均成立．综合提高

钟7．用数学纳法证明不等式

11111＋＋„>(n∈)的过程中，由n＝递推到n＝n＋1n2

2*23n1**2242*23n1**224＋1，下列说法正确的是()．1A．增加一项2B．增加了两项

11和2＋2C．增加了B的两项，但又减少了一项

1k＋D．增加了A中的一项，但又减少了一项

1k＋解析当nk时，不等式左边为

1＋＋„，k＋k＋2当nk＋1，不等式左边为答案C

11＋＋„＋＋k＋k＋k＋1k＋8．命题Pn)满足：若＝(k∈N)成立，则n＝＋成立，下面说法正确的是()．A．P成立则(5)成立B．(6)成立则成立C．P(4)成立则P成立D．对所有正整数，()都成立解析由题意知，P(4)立，则P(5)立，若P(5)立，则成立．所以成立，则成立．答案C9．已知1＋2×3＋3×3＋×3＋„×3－3(－b)＋c对一切∈N都成立，则、b、c的值为_______．解析

∵∈N均立∴n＝1,2,3时×33212333＝3b3a3b＝1整理得－9bc781a27＋c，

11解得a，b＝.

24n*3a＋171319nn2*2322k2211kkkkkk222211kkkkkk2**24n*3a＋171319nn2*2322k2211kkkkkk222211kkkkkk2**1答案a，b＝c＝10．数{}，已知a＝2，an

n

a＝(∈N)，依次计算出a，a，a后，归纳、猜测得23n出a的表达式为________．n2解析a＝2a＝＝，a＝，猜测a＝1n

26n

.2答案a＝6n5n111．求证：1＋≤1＋＋＋„≤＋n.2221证明当n＝1时，＝1＋原不等式成立；设nk(k∈N)时，原不等式成立k111即1＋≤1＋＋„≤＋k成立，当n＝＋时，f(k1)f(k)＋

11k1k＋＋„≥1＋＋＋„>1＋＋2＋1＋22＋12＋22k1k＋1＝1＋＋＝1＋，f(k＋f(k)

1111111＋„≤＋＋＋„<k＋2＋1＋22＋1＋221∴f(k＋1)<＋(＋1)即n＝＋时，命题成立．综合(1)、可得：原命题对nN恒成立．12(创新拓展)数列{a}足＝－n∈N，先计算4后猜想a，并用数学归纳法证nn明．证明当n1，＝2－a，∴＝，11

248n2k21kk1k1k－－1k2k*248n2k21kk1k1k－－1k2k*3n＝2时＝＋＝4－a，∴＝，27n＝3时＝＋＋a＝－a，∴a＝，315n＝4时＝＋＋a＋＝－a，∴a＝42－∴猜想a＝nn1用数学归纳法证明：①当n1，a＝，猜想成立，1