高中数学(人教版)选修2-3教学设计3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

3.2

独立性检验基本思想及初步应用（计课）授类：授课一教内与学象析通过典型案例，学习下列一些常用的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。①通对典型案例（如“患癌与吸烟有关吗”等）的探究。了解独立性检验（只要求×2列表）的基本思想、方法及初步应用。②通对典型案（“人的重与身高的关系的究了回归的基本思想、方法及其初步应用。二学目、识技通过本节知识的学习解立检验的基本思想和初步应用对个分类变量是否有关做出明确的判断确两个分变量的独立性检验的基本思想具体步骤对体问题作出独立性检验。、程方在本节知识的学习中使生具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性立学好本节知识的信心此基础上学习三维柱形图和二维柱形图认它们的基本作用和存在的不足，从而为学习下面作好铺垫，进而介绍K的方的计算公式和K的平方的观测值R求法及它们的实际意义中得出判断XY有系的般骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系较确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信程度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用。、感态与值通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要性和作用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别而导学生去探索新知识养学生全面的观点和辨证地分析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质强与现实生活相联系对实际问题的分析中学会利用图形分析解问题及用具体的数量衡量两个变量之间的联系习用图形数来正确描述两个变量的关系明确数学在现生活中的重要作用和实际价值学中应给学生提供自主学习独探究、合作交流机会成谨的学习态度及实事求是的分析问题解决问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题。三教重、点教重：理解独立性检验的基本想；独立性检验的步骤。教难；1、理解独立性检的基本思想；、了解随机变量K2的义；、独立性检验的步骤。四教策教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。教学手段：多媒体辅助教学1

五教过：对于性别变量取值为男和女两种种变量的不值示个体所属的不同类别，像这类变量称为分变．在现生活中类变量是大量存在的例如是否吸烟宗信仰，国籍，等等．在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系．例如，吸烟与患肺癌是否有关系？性别对于是否喜欢数学课程有影响？等等．为调查吸烟是否对肺癌有影响肿瘤研究所随机地调查了9965人到下结单位：人）表3-7吸烟肺列表不患肺癌不吸烟7775

患肺癌42

总计7817吸烟总计

20999874

4991

21489965那么吸烟是否对患肺癌有影响吗？像表3一7这样出的两个分变量的频数表，称为列联表．由吸烟情况和患肺癌情况的列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中0.54％患有肺癌在烟者中，有2.28％患有肺癌．因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异．与表格相比维形图和二维形图能更直观地反映出相关数据的总体状况3.2一1是列表的三维柱形图，从能清晰地看出各个频数的相对大小．图3.2一2是在一起的二维条形图，其中浅色条高表示不患肺癌的人数，深色条高表示患肺癌的人数中以出者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例．2

为了更清晰地表达这个特征还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例．如图3.2一3所示在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高表示患肺癌的百分比．通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关我是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？为了回答上述问题，我们先假设H：吸与患肺癌没有关系．用示不吸烟，B表不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”独立假H等价PAB）=P(A）+P(B).把表3一7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：表3-8吸烟肺列表不患肺癌不吸烟a

患肺癌b

总计a+b吸烟总计

ca+c

db+d

c+da+b+c+d在表3一8中，恰为事件AB发生频数a+ba+c恰好分别为事件A和B发的频数．由于频率近似于概率，所以在H成的条件下应该有aa,nn其中

n

为样本容量，(a+b+c+d)≈(a+b)(a+c),即ad≈bc.因此，|ad-bc|越小，说明吸烟患肺癌之间关系越弱|ad-bc|越，说明吸烟与患肺癌之间关系越强．为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准于面的分析们构造一个随机变量K

其中

a

为样本容量．若H成“烟与患肺癌有关系“应该很小根据表3一7中数据，利用公式（）算得到K“观测值为

2

20997817

56.632

这个值到底能告诉我们什么呢？3

2222统计学家经过研究后发现，在H立的情况下，(6.635)0.01.(2说H成的情况下K2的测值超过6.635的率非常小似为001，一个小概率事件．现在K的测值k≈56.632，远大于6.635，以有理由断定H不成，即认为“吸烟与患癌有关系种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，我们有99％的把握为“吸烟与患肺癌有关系”.在上述过程中实际上是借助于机变量规则：

2

的观测值

k

建立了一个判断H是成立的如果k≥6.635，就判断不成立，即认为吸烟与患肺有关系；否则，就判断成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系．在该规则下，把结论H成立”错判成H不立”的概率不会超过0(

2

6.635)0.01

即有99的把握认为从不成立．上面解决问题的想法类似于反证法确认是否能以给定的可信程度认两分类变量有关系先假设该结论不立，即H:“两个分类变量没有关系”0成立．在该假设下我们所构造的随机变量2应很小．如果由观测数据计算得到的的观测值k很，则在一定可信程度上说明H不立，即在一定可信程度上认为“两个分类0变量有关系果k的很小，则说明由样本观测数据没有发现反对的充分证据．0

2

怎样判断的观测值是还是小呢？这仅确定一个正数k，0k的判断规则为：的观测值k大．此时相应于0

0

时就认为如果

k

0

，就认为“两个分类变量之间有关系则就认为“两个分类变量之间没有关系”.我们称这样的

k0

为一个判断规则的临界值．按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为

P(K

2

)0

在实际应用中们把

k

0

解释为有

(1K100%0

的把握认两个分类变量之间有关系

k

0

解释为不能以

(1(

2

))0

的把握认为“两个分类变量之间有关系样本观测数据没有提两个分类变量之间有关系充分证据面这种利用随机变量K来定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独性检验．利用上面结论，你能从列表的三维柱形图中看出两个变量是否相关吗？一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能值分别为｛

x,x｝和｛y,y11

2

｝其样本频数列联表（称为×列联表）为：表×列表4

2222x1

y1a

y2

总计x2总计

a

ca若要推断的论述为H:X与Y有关系，l可以按如下步骤判断结论H成的可能性：l．通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．①在维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与对角线上的两个柱形高度的乘积bc差越大H成立的可能性就越大．1②在维条形图中，可以估计满足条件X=

x1

的个体中具有

y1

的个体所占的比例aa

c，也可以估计满足条件X=x的个体中具有y，的个体所占的比例.两个c比例的值相差越大，成立的可能性就越大．l．可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种断的可靠程度．具体做法是：①根实际问题需要的可信程度确定临界值

k0

；②利公式（，观测数据计算得到随机变量

K

的观测值

;③如

k，以0

2

100%0

的把握认为X与Y有关系则就说样本观测数据没有提供X与Y有关系”的充分证据在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：表3一P(2)0k0

0.400.150.100.0250.0010.7081.3236.63510.828（、例例．在某医院，因为患心脏病而住院的名男性病人中，有人秃顶，而另外名是因为患心脏病而住院的男性病人中有人顶．(1)利用图形判断秃顶与患心脏病否有关系．(2)能够以99％的把握认为秃顶与患心脏病有关系？为什么？解：根据题目所给数据得到如下列联表：(1)相应的三维柱形图如图3.2一4所比来说底副对角线上两个体高度的乘积要大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关5

(2)根据列联表3一11的数据，得到k

451)665

≈.373>6因此有％把握认为“秃顶与患心脏病有例察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关,在某城市的某校高中生中随机抽取300名生，得到如下列联表：表3一性别喜数课列表喜欢数学课程不欢数学课程总计男女总计

由表中数据计算得

K

的观测值

k4.514

．能够以95的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐明得出结论的依据．解可以有约95％以上的把握认为“性别与喜欢数学课之有关系这判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程如下：分别用abc,d表样本中喜欢数学课的男生人数喜欢数学课的男生人数喜欢数学课的女生人数不欢数学的女生人数如果性别与是否喜欢数学课有关系男生中喜欢数学课的比例

a与女生中喜欢数学课的人数比例应相差很多，即a

cad|c(a)应很大．将上式等号右边的式子乘以常数因子()(a)(c)(a)(b)然后平方得

6

22

2

nad)2()(c)(b)

其中

a因K越与欢数学课之间有关系立可能性越大．另一方面假性与喜欢学课之间没有关系提下件A={

2

≥｝的概率为

2

≥841)≈因此事件A是个小概率事件而由样本数据计算得K的观测值k=4.514即小概率事件A发．因此应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”立，并且这种判断结果出错的可能性约为%．所以，约有％把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系补例1：打鼾不仅影响别人休息，而可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？患心脏病

未患心脏病

合计每一晚都打鼾不打鼾合计

22413551579解：略。补例2个接受心脏搭桥手术的病人和196