2021年湖南省益阳市李昌港中学高三数学文模拟试题含解析

2021年湖南省益阳市李昌港中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平行四边形ABCD中，AB=BC=1，∠BAD=120°，=，则?=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性运算法则与数量积的定义，计算即可．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=BC=1，∠BAD=120°，=；∴=+，=+=﹣，∴?=（+）?（﹣）=+?﹣=12+×1×2×cos120°﹣×22=﹣．故选：C．2.已知为实数，且.则“”是“”的

（

）.（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件w参考答案：B3.已知，那么 （）A． B． C． D．参考答案：C4.经过抛物线的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为A．

B．

C．D．参考答案：B5.已知函数，则关于的方程，有5个不同实数解的充要条件是(

)A．且B．且

C．且D．且参考答案：A略6.设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则A．0

B．7

C．14

D．21参考答案：D略7.设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（

）（注：若，则，）A.7539 B.6038 C.7028 D.6587参考答案：D分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算.详解：，，，则则，阴影部分的面积为：0.6587.方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.故选：D.点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.8.已知椭圆（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是x﹣y+5=0，弦的中点坐标是M（﹣4，1），则椭圆的离心率是（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率．【解答】解：设直线x﹣y+5=0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），由x1+x2=﹣8，y1+y2=2，直线AB的斜率k==1，由，两式相减得：+=0，∴=﹣×=1，∴=，由椭圆的离心率e===，故选：D．9.已知是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点，且射线绕原点逆时针旋转°到交单位圆于点，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．参考答案：【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5【答案解析】B

由题意可得：xA=cosθ，yB=sin(θ+30°)．

∴xA-yB=cosθ-sin（θ+30°）=cosθ-(sinθ+cosθ)=cosθ-sinθ=cos(θ+)≤1．

∴xA-yB的最大值为1．故选B．【思路点拨】由题意可得：xA=cosθ，yB=sin(θ+30°)．可得xA-yB=cosθ-sin（θ+30°），利用两角和的正弦公式、余弦函数的单调性即可得出．10.在△ABC中，已知，，M,N分别是BC边上的三等分点，则的值是

（

）

A．5

B．

C．6

D．8参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为

.参考答案：将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以,则球的表面积为.12.角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），则sinα=．参考答案：【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），∴x=﹣2sin60°=﹣，y=2cos30°=，∴r=|OP|=，则sinα===，故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13.二项式展开式中，除常数项外，各项系数的和为

。参考答案：671略14.已知复数(i为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于第

象限.参考答案：15.已知函数f（x）=2sin（?x+φ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则|f（）|=

．参考答案：2【考点】正弦函数的对称性．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）等于函数的最值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故|f（）|=2，故答案为：2【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．16.的二项展开式中，的系数等于

．参考答案：1517.已知函数与都是定义在R上的奇函数，当时，，则（4）的值为____．参考答案：2【分析】根据题意，由f（x﹣1）是定义在R上的奇函数可得f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），结合函数为奇函数，分析可得f（x）＝f（x﹣2），则函数是周期为2的周期函数，据此可得f（）＝f（）＝﹣f（），结合函数的解析式可得f（）的值，结合函数的奇偶性与周期性可得f（0）的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，则有f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），又由f（x）也R上的为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0；则有f（﹣2﹣x）＝f（﹣x），即f（x）＝f（x﹣2），则函数是周期为2的周期函数，则f（）＝f（）＝﹣f（），又由f（）＝log2（）＝﹣2，则f（）＝2，f（4）＝f（0）＝0，故f（）+f（4）＝2+0＝2；故答案为：2．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性的判定，属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1.证明：（1）；（2）.参考答案：（Ⅰ）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.（Ⅱ）因为，，，故≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.19.已知二次函数不等式的解集为（1，3）.(Ⅰ）若方程有两个相等的实根，求的解析式；(Ⅱ）若的最大值为正数，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）∵不等式的解集为（1，3）∴和是方程的两根∴

∴又方程有两个相等的实根∴△=∴

即∴或（舍）∴，(Ⅱ）由（Ⅰ）知∵，

∴的最大值为

∵的最大值为正数

∴

∴

解得或

∴所求实数a的取值范围是20.如图，四边形与均为菱形，，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．

参考答案：（Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．因为四边形为菱形，所以，且为中点．

………………1分又，所以．

………3分因为，所以平面．

………………4分

（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，所以//，//，所以平面//平面．

…………7分

又平面，所以//平面．

………8分

（Ⅲ）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．因为为中点，所以，故平面．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．………9分

设．因为四边形为菱形，，则，所以，．所以．

所以，．

设平面的法向量为，则有所以

取，得．

…………12分

易知平面的法向量为．

……………13分

由二面角是锐角，得．

所以二面角的余弦值为．

………14分略21.(12分)如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.（I）求异面直线与所成的角；（II）求平面与平面所成的二面角；（III）求点到平面的距离.参考答案：解析：解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系由已知可得，又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得（I）

因为所以=易知异面直线所成的角为（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由即∴即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，∴距离=所以点到平面的距离为解法二：(I)连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直∴又因此FK∥AE∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角连结BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK从而△BKF为Rt△

在Rt△B1KF和Rt△B1D1中，由得

又BF=∴∠BFK=∴异面直线所成的角为(II)由于DA⊥面AA1B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角。且∠DAG=90°在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点S∵F为A1B1的中点，A1F∴A1、F分别为SA、SB的中点，即SA=2A1A=2=AB∴Rt△BAS为等腰三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即G、F重合。易得AG=AF=SB=在Rt△BAS中，AD=∴∠AGD=即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小为。(III)由(II)知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角所成的平面。∴面AFD⊥平面BDF在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离由AH·DF=AD·得AH=所以点到平面的距离为22.（本小题满分12分）如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．

(1)求船的航行速度是每小时多少千米？

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？参