圆锥曲线与方程压轴题汇总（选修2-1）（解析版）

考点19圆锥曲线压轴题汇总

一、单选题（共13小题）

1.（2020•闵行区校级三模）已知F为抛物线V=4x的焦点，A、8、C为抛物线上三点，当直+祚+而时，

则存在横坐标x>2的点A、B、（7有（）

A.0个B.2个

C.有限个，但多于2个D.无限多个

【分析】设A（xi，%）,B（x2,m），C（X3,以），利用E+而+而=3,说明尸为△4BC的重心，利用重

心坐标公式结合不等式转化求解xiW2,讨论推出MW2,X3W2,得到结果.

【解答】解：设A（xi，yi）,B（尬，”），C（X3,13），先证xi<2,

由E+而+而="知，尸为△ABC的重心，

VFn°）.X1+X2+X3丫1+了2+丫3门

33

/.X2+X3=3-X\,"+'3=-yi，

・•・（丫2+丫3）2=年+。+2丫2y3<2（y：+y：）,・"；<2必+丫：）,

222

YiYoYq

，才・・・即<2（X2+X3）,Axi<2（3-XI）,

.•・xW2,

同理X2W2,X3W2,

故选：A.

【知识点】抛物线的性质

22—一

2.（2020•新疆模拟）过双曲线C：¥-'"l（a>0,b>0）右焦点F的直线/与C交于尸，。两点，QP=2PF,

若而•而二0,则。的离心率为（）

A.5/2B.2C.V?D.>/10

【分析】设双曲线的左焦点为产，由向量共线定理可得|QP|=2|PQ,由向量垂直的条件，可得OPLF0,可

设|Pf]=f,可得|0尸|=2r,再由双曲线的定义可得|尸尸|,\QF\,运用勾股定理和余弦定理，可得cos

NPFO为关于f的式子，化筒整理，消去f,可得a,。的方程，再由双曲线的离心率公式，计算

可得所求值.

【解答】解：设双曲线的左焦点为尸，

由而=2而，可得|QP|=2|PQ,

而■而=0,可得OPJ_FQ,

可设『卸=3可得|QP|=2f,

由双曲线的定义可得IP尸|=|尸用+2a=f+2“，

\QF\=\QF\-2a=3t-2a,

在直角三角形尸OF中，可得cos/PFO=主，

C

在△尸尸尸中，cosNPF0=土2+复2一(t+2a)2,

2f2c

在△QFF1中，cos/QF0=cosNPF0=gV+4J：⑶2)2

2•3t,2c

由t2+4c2-(t+2a)2=9t2+4c2-(3t-2a)2,化为3〃=

2f2c2*3t*2c

由主=9t2+4cZ(3t-2a)2,可得卯一3幻=02一层，②

c2*3tp2c

由①②消去1，可得/=7〃2,即。=行小

则e=—=y/7,

a

【知识点】双曲线的性质

3.（2020•咸阳三模）已知抛物线C：丁=8%，点P,。是抛物线上任意两点，例是PQ的中点，且|PQ|=10,

则M到y轴距离的最小值为（）

A.9B.8C.4D.3

【分析】法—：设直线/的方程为x=〃?y+，3设点A（兑，%）、B（及，”），将直线/的方程与抛物线C的

方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算忸B|,并利用条件忸用=12,得出〃［与"所满足的关

系式，然后求出点M的坐标，可得出点M到x轴距离的表达式，将关系式代入并结合基本不等式

可得出点M到A-轴距离的最小值即可.

法二：运用抛物线的定义解题；PQWPF+QF,再由中位线定理和抛物线的定义.

【解答】解：法-：由题意可知直线/的斜率不为零，设/：x^my+n,设点A（制，力）、B（小”），

则点-夸’空），点M到、轴的距离为空

x=iny+n

由(9，整理得y2-8/ny-8〃=0.

Ly^=8x

△=64m2+32〃>0,由韦达定理得yi+y2=8m,yiy2=~8/?.

64m2+32n=l°'可得n=----------2m2,

8(l+m")

..丫1+丫2

=4m,

2

Xi+x+y今,ORc.PRc

----------9------------------+/i=/w•4/n+w=4w2+----------------2m2=2m2+----------=2(1+nv)+

228(l+m2)8(l+m2)

252

-2^22(l+m)X—-2=5-2=3；

8(l+m2)V8(l+m2)

当且仅当2（1+切2）=―竺；一，即当•时，等号成立,

8（"）2

OR.

此时n=----------------2m2=2,A=647w2+32n>0成立，合乎题意！

8（l+m2）

因此，点M到y轴的距离的最小值为3,此时，直线/的方程为x±/y-2=0.

法二：因为：IPQWPF+。尸=xi+x2+p=W+x2210-p=6；

：.PQ的中点M到y轴距离的值为：立产23；

即最小值为3.

故选：D.

【知识点】抛物线的性质

4.（2020•邯郸一模）过点P作抛物线C：W=2y的切线/i，12,切点分别为M,N,若△PMN的重心坐标为

（1,1）,且P在抛物线。：丁=蛆上，则。的焦点坐标为（）

22

X.Xn

【分析】由已知设切点坐标设M（乃，Y-）,N（X2,一）,利用导数写出切线〃，"的方程，联立求出

22

交点p坐标x=££z,y=代入重心坐标公式利用已知条件可求出P的坐标为（1，-1）,

22

再代入抛物线69=松方程，求出加，进而求。的焦点坐标.

2292

XiXn/Xi

【解答】解：设M5,-y-）,N（X2,£•）,由r=y,得尸色，=x,故直线力的方程为

=X\（X-Xl）

22

Xix9x<+x9

即同理直线办的方程为丁=尔-j，联立。，办的方程可得），

22

X1+X2X1x2xlx2

x+x+----+---1

X,Xn_l2O,_2--2-----2

—设4PMN的重心坐标为（Ai）,yo）,则x=---------------i-yo-----------------

2030

=1

Xi+X2=2（Xi+X2=2

即〈22所以〈则P的坐标为（1,-1）,从而（-1）2=〃?X1,故。

71+X2+X1X2=6lXlX2="2

的焦点坐标为（［，0）.

4

故选：A.

【知识点】抛物线的性质

5.（2020春•鹿城区校级月考）过点P（2,1）斜率为正的直线交椭圆幺上=1于A,8两点.C,力是椭

245

圆上相异的两点，满足CP,DP分别平分N4CB,NADB,则△PCO外接圆半径的最小值为（）

A.B.2/^5c.—D.—

551313

【分析】分析可知，P,C,。在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r,且上=|士』|，分直线AB斜率

r1APBP1

存在及不存在两种情况分别讨论得解.

【解答】解：如图，先固定直线设f（M）=粤，则"C）=/（。）=/（P）,其中f（P）=器为定值，

故点P,C,D在一个阿波罗尼斯圆上，且△PC。外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r,

阿波罗尼斯圆会把点A,8其一包含进去，这取决于BP与AP谁更大，不妨先考虑8尸〉AP的

阿波罗尼斯圆的情况，

84的延长线与圆交于点Q,P。即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，

由空黑2r=AP+AQ=AP』方愿十组，解得

APAQBPrAPBP

同理，当BPV4P时有，工J—；，

rBPAP

综上，［=|士±|；

rAPBP

当直线A8无斜率时，与椭圆交点纵坐标为+工‘虹啧」BP嗫+1，则温

当直线A8斜率存在时，设直线的方程为y-1=%(x-2),即产fcr-2%+1,

与椭圆方程联立可得（24M+5）Y+48A（］-2k）x+96(^12-A：-1)=0.

(48k(2k-l)

*1+*2=-----9----

24kz+5

设A（xi，y）,B（及，”），则由根与系数的关系有,

96(k2-k-l)

XiX=---------9-------

224k'+5

1.J__Li=।11

2

rAPBP1+k2.|X1-2|71+k'IX2-2|

IXj-2|-1X-2I

注意到XL2与X2-2异号，故工=|2X1+X2-4

-

r(x「2)(X22)x।X2~2(xj+x2)+4

1_|12k+5|

19Vl+k2

mil1112|t|1217122613

设t=\2k+5,r19标百19加炉记1%2419

r>13,

又尊潭

1213'

故选：D.

【知识点】椭圆的性质

221

6.（2020•泉州模拟）已知双曲线E：三一七=1b>0）,斜率为-5的直线与E的左右两支分别交于

a2b28

A,8两点，点尸的坐标为（-1,2）,直线AP交E于另一点C,直线8P交E于另一点D.若直线CO

的斜率为-5，则E的离心率为（）

O

A.强B.—C.区D.—

2222

【分析】设A（xi，9）,B（X2,y2）,利用平方差法,求出斜率关系，设C（X3，券），D（%4»）N），线段CO

2

的中点N（现，川），同理可得加=-美-

・XN，通过尸，M,N三点共线，转化求解即可.

a

【解答】解：设A（国，y）,B（%2>J2），

（22

X1-^=1

2

a

线段A3的中点用（加，加），则1

22，

x

2y2

2———2=i1

a

22X2

Yi-y9bXi+x9l_bM_8b小

两式相减得：—~~一8一/%①

xl-x2a‘丫1+丫2

设C（X3,丫3），D（兑，/），线段CD的中点N（XN，孙）,

同理可得加=-3与-•现②

易知P,M,N三点共线，

.jM-2_yN-2

'XM+1X—+T

①②代入得———-————-——

XM+1XN+1

4b2

即CXM-XAf)*(I----)=0,

a

a2=4b1,

.、=返.

2

【知识点】双曲线的性质

22

7.（2019秋•宝山区校级期末）曲线「：-1）^x2+y2_9=0,要使直线y=/n（机6R）与曲线

45

r有四个不同的交点，则实数〃1的取值范围是（）

A.(--,—)

33

B.(-3,3)

C.(-3,--)U得3）

3

—)U(2,3)

D.(-3,-—)U

333

【分析】画出曲线表示的图形，利用数形结合转化求解即可.

【解答】解：曲线「：（5---1）《x?+y2_g=0,可知x,yW[-3,3],

'22_

图形如图：是一个圆与双曲线的一部分，由|*:yo，解得），=±号，

l5x2-4y2=203

曲线1'：（号-1）^x2+y2_g=o,

要使直线产（〃[eR）与曲线「有四个不同的交点，可得“店（-3,-?）U（与，3）.

33

【知识点】曲线与方程

8.（2020•天心区校级模拟）如图，a,B，丫是由直线/引出的三个不重合的半平面，其中二面角a-/-0大

小为60°,丫在二面角a-/-3内绕直线/旋转，圆C在丫内，且圆C在a,0内的射影分别为椭圆C”

C2.记椭圆G，C2的离心率分别为ei，e2，则42+"的取值范围是（）

人•亭卷)B.耳,1)C,[|)1)D,[1)1)

【分析】显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2,要求椭圆的离

心率，关键是求出其短轴，现将问题平面化，如图所示，设AB=2,在平面a内的投影为

平面B内的投影为A2当,设ee(0,—则NMOH=F--0,根据锐角三角函数

OO

22

表示出e1+e2,再利用三角恒等变换及三角函数的性质求出取值范围.

【解答】解：显然圆在两平面内的射影均为椭圆，且椭圆的长轴都为圆的直径，设圆的直径为2,要求椭圆

的离心率，关键是求出其短轴，

现将问题平面化，如图所示，设A8=2,在平面a内的投影为4S,在面0内的投影为4比,

兀7T

设仇06(0,—则NMO”=〒-仇

oo

兀

则Ai8]=A8cos8,A2JB2=2COS(―--0),

22,222,2q-r-

所以—~1-cos20,~~-——1-cos2(--9),

aa%a§

则ei2+e->2=l-cos20+l-cos2-0)=1-cos20+l--^-cos20-^^sinQcosQ--sin20

3424

=---cos29-^/-^-sinQcosQ=1--sin(20+-^-),

42226

因为(0,---),所以20H---G(--->----),则sin(20H----)G(—»1],

366662

1K1?

所以1--sin(20+——)G[—,—),

2624

即eJ+ez,WlA，"Y),

24

故选：C.

【知识点】椭圆的性质

9.(2020春•浙江月考)如图，已知白纸上有一椭圆C,它焦点为尸2,长轴44，短轴8|助,尸是椭圆

上一点，将白纸沿直线由&折成90°角，则下列正确的是()

①当P在Bi(或&)时，PF1+PF2最大.

②当P在Ai(或A2)时，PF1+PF2最小.

①C.②D.都不正确

【分析】如图所示建立空间直角坐标系，根据对称性，不妨设P(0,bcosB,asinO),8E[0,手],

PFi+PF2=7a2+c2sin26+a-csin6-求导证明f(8)=Va2+c2sin29+a-csin6小

调递减，得到答案.

【解答】解:设翻折前椭圆方程为:

如图所示建立空间直角坐标系，根据对称性，不妨设

TT

P(0,bcos9,asinQ),0€[0,,

Fi(c,0,0),F2(0,0,c),

则PF]+PF2=Vc2+b2cos20+a2sin0Wb2cos26+(asin0-c)2

Va2+c2sin20Wa2+c2sin20-2acsin0=va2+c2sin29+a-csin0'

设f(0)=7a2+c2sin29+a-csin0，

9

则f，(e)="再"产q--ccose<.ccos9-e<o,

va2+csine-^(-1-)2+sin29ccos

故函数单调递减，

故当。=0,即当P在81(或&)时，PF\+PF2最大，

JT

故0=亍时，当P在4(或4)时，PF1+PF2最小.

故选：A.

【知识点】椭圆的性质

10.(2019秋•九龙坡区校级月考)椭圆的焦点F1(-2的，0)-F2(2V2»0)，长轴长为2小在椭圆上

存在点P,使NQP尸2=90°,对于直线y=“，在圆f+(y-1)2=2上始终存在两点M,N使得直线上

有点Q,满足NMQN=90°,则椭圆的离心率的取值范围是（）

A.［乎,1)B.号,1)C,薛平］D.(0,岁］

【分析】利用当P坐标为（0,力）或（0,-6）时，角最大，当a=45°,此时sina=-=2^,故

a2^2

利用（0,1）到直线y=a的距离小于或等于2,即a7W2,所以aW3,即幺旦,

aa3

得出结论.

【解答】解：要使在椭圆上存在点P,使NQPF2=90°,设/QPF2=2a,

只需最大的角大于等于90°即可，当P坐标为（0,h）或（0,-b）时，角最大，

当a=45°，此时sina=£，/2,故

a2^2

•.•在圆C上存在两点M,N,在直线y=a上存在一点Q,使得/MQN=9（T,

即在直线y=a上存在•点Q,使得。到圆的圆心（0,1）的距离等于a-1=2,

二只需（0,1）到直线y=a的距离小于或等于2,即a-lW2,所以“W3,

【知识点】椭圆的性质

11.（2019秋•越城区校级月考）己知椭圆「：%+01（a〉b〉O）内有一定点P（1，1），过点P的两条

a2b2

直线/”，2分别与椭圆「交于A、C和8、。两点，且满足下;人元，BP=XPD,若人变化时，直线

8的斜率总为二，则椭圆「的离心率为（）

4

A.返B.—C.返D.返

2225

y<-y9/x<+x9

【分析】由向量的坐标运算及点差法作差求得：——代入即可求得“和〃的关系,

x「X2aY1+Y2

即可求得椭圆的离心率.

【解答】解：设A（xi，yi）>B（X2，以）、C（X3,）3）、D（X4，g），

由AP=入PC）即（1-x”1-yi）=A（X3-1,y3-1）,则xi+Axj=1+A,）“+入”=1+入，

由BP='P。，同理可得：X2+AJV4=1+A,丫2+入丫4=1+人.

贝|J（y+”）+入（）'3+卜4）=（X1+X2）+入（X3+X4），

yi-y卜上Xi+x

将点A,8的坐标代入椭圆方程作差可得：二9~_9-

z

x「x2ay{+y2

由题意可得：AB//CD,：.kAB=kcD=~---

4

2

则(yi+y2)=4Z?(X1+X2)①，

同理可得：CT("+'4)=4〃(X3+X4)②，

①+②得：a2[(yi+>,2)+入(笫+>4)]=4/?2l(xi+x2)+入(为+式4)],

/.a2[(X1+X2)+入(4+入4)]=4b2[(X1+X2)+入(X3+X4)],

/.“2=4〃，

则椭圆的离心率e=£=Ji上=返.

aVa22

故选：A.

【知识点】椭圆的性质

22

12.(2019•龙凤区校级模拟)已知双曲线与且钎l(a>0,b>0)的离心率为2,F,,巳分别是双曲线的

a2b2

左、右焦点，点M(-m0),N(0,6),点P为线段MN上的动点，当呵•用取得最小值和最大

S.

值时，的面积分别为$，S，则廿=()

A.4B.8C.273D.473

【分析】根据双曲线的离心率求出“，h,c的关系，结合向量数量积的公式，结合一元二次函数的性质求

出函数的最值即可.

【解答】解：由e二=2,得c=2a，bR5a,

a

故线段MN所在直线的方程为3^/3(x+a),

又点P在线段MN上，可设P(m,V3m+V3a).其中"怎I-a,0],

由于Fi<-c,0),Fi(c,0),即尸i(-2a,0),尸2(2a,0),

得PF[=(-2a-m,,PF2=(2a-m,"VsmWsa),

所以可•画=4m2+6ma-a2=4(/Va)2平由于，”(-a,0],

可知当np~*a时，PF；•PF；取得最小值，此时yp^^a，

当m=0时，pF；♦PF：取得最大值，

$2V^a

此时yp=V^a，则丁=75-=4,

Va

故选：A.

【知识点】双曲线的性质

13.(2020•长沙模拟)已知抛物线C：的焦点为F,A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点

A的直线/交y轴的正半轴于点8,且A,B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线/'//I,且/'与抛物

线C相切于点。，则直线A。经过的定点的坐标是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,0)D.(2,0)

【分析】设A("?，！汴)，B(0,〃)，根据A,8同在一个以尸为圆心的圆上，可得〃=1加2+2,再根据直

44

线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得。=-求出直线AD的方程,

即可求出直线AD经过的定点的坐标.

【解答】解：设4~|-"尸)，B(0.n),

♦.•抛物线C：f=4y的焦点为F(0,I)

又A,B同在一个以尸为圆心的圆上，

：.\BF]=\AF]

...直线/的斜率k=

♦.•直线/'//I,

•••直线/的斜率为k,

设点。(a,

-1a

2

m

.4

..a------

m

1212

-Ta.2

.•.直线A。的斜率为=g———=毕=_2_二

m-a44m

12-4

二直线A。的方程为y-7"2=旦----(x-m),

44m

2_

整理可得y=四二生Ax+1,

4m

故直线A。经过的定点的坐标是（0,1）,

故选：A.

【知识点】抛物线的性质

二、填空题（共9小题）

2„

14.（2020秋•浦东新区校级月考）己知过椭圆E：掾x+y2=1的左焦点尸的直线/交E于4,B两点，则

|Afl+2|Bf]的最小值为.

【分析】由题意画出图形，设直线/的方程为1,将直线/的方程与椭圆方程联立，由根与系数的关

系计算出77^+1T的值，

利用基本不等式即可求出|4f]+2|8川的最小值.

lAFl|BFl

【解答】解：如图，由椭圆E：5-+丫2=1，得“=&,%=1,则c=l.

所以左焦点少的坐标为（-1,0）,

设直线/的方程为-1,A（xi，yi）,B（双，力），

\=iny-l

由《2得(团?+2)y1-2my-1=0,

Wv-+y=1

△=(-2m)2+4(而+2)=8(m2+l),

由根与系数的关系得州+丫2=—―，yiy2=T^

m+2丁+2

H

i+i=i—+i-=2ky21=占一21

2

函|BF|Vl+i?IYIIV1+mly2IU1+m21yly2IT1+m21yly21

Y8(l+m2)

J(：1+丫?)2-4丫逐2盒)f

K+2r

I2~v2

Jl+m21yly2I71+m27l+m'

m2+2m2+2

112|BF|AF

所以2圾(\AF]+2\BF])=(+)((\AF]+2\BF])=3++>3+2

iAFTlBFTlAFl~BF

J2|BF|」AF|=3+2加,

VlAFlIBFI

当且仅当八仪二证旧门时等号成立，

所以HH+2|Bfl23+2在=1+2叵,

2724

所以HFI+2IB用的最小值为1+昌返.

_4

故答案为：1+色叵.

4

【知识点】椭圆的性质

2

15.（2020秋♦尖山区校级月考）已知椭圆方程为：刍一+）2=1,A8为椭圆过右焦点尸的弦，贝IJHQ+2尸用的

4.

最小值为

【分析】由椭圆方程求得离心率及直线方程，利用椭圆第二定义求得HR,山川，再由换元法与基本不等式

求解.

【解答】解：由式■+>2=1,得a=2,c=M，则椭圆的离心率为e=返，右准线方程为/：x=^H.

423

如图，过A作AM_L/于M,则我也"?，①

ANl2

设A8的倾斜角为仇

则依必=|。c-履回8$。=芈-7'§_|的卜。$8=除-|研卜。$8,②

联立①②，可得忸回=—」——,同理可得|8用=一」~,

2+v3cos02-v3cos0

“2A吁122-Vscos0+4+2V3cos0

2+V3COS62-V3COS04-3cosz0

6+Vscos0

4-3cos29

令cosO=f,re[-1,1],

：.\AF]+2\FB\==-----------丝&-----------=------------5——-----.

4-3t-（6+，§t）+12（6+V3t）-32-（6+畲t）y7+12

〉1__________二3+2点

-2｛（6心）飞心+12

当且仅当6.^/3t=6J^t-，即r=&警区时上式取等号

...[Af]+2|FB|的最小值为自+2，5

4

3

故答案为：.返.

4

V

1。夕。

【知识点】椭圆的性质

16.（2020秋•湖北月考）已知尸2分别为双曲线C：的左、右焦点，C的离心率e=2,过三

abz

的直线与双曲线C的右支交于A、B两点(其中A点在第一象限)，设点M、N分别为△AQF2、ABFR

的内心，则|MN的范围是—.(用只含有“的式子表示)

【分析】利用平面几何图形的性质可得M、N的横坐标相等为m得到MNLx轴且过双曲线右顶点E,设

2

A8的倾斜角设为0,求解三角形可得|M/V|=(c-a)-.q,由60°<0^90°,即可得到所求

smW

范围.

【解答】解：记边AQ、AFz、FiB上的切点分别为R、5、T,

有M、T横坐标相等,则|AR|=|AS|,\FxMR=\F\T\,|F2S|=|F27],

i|AFi|-\AF^=2a,

即用?l+IRQI-(|AS|+|SF2|)=2a,得火―-|S尸2|=2a,

aPlFiT]-|F271=2a,记M的横坐标为期,则T(xo,0),

于是xo+c-(c-Xo)=2a,