二分法求方程的零点

二分法求方程的零点第1页，共41页，2023年，2月20日，星期日不解方程，如何求方程的一个正的近似解.（精确到0.1）方法探究：利用二次函数图象观察正解所在一个区间（２，３）问题３：x2-2x-1=0-+23f(2)<0，f(3)>02<x1<3-+22.53f(2)<0，f(2.5)>02<x1<2.5-+22.252.53f(2.25)<0，f(2.5)>02.25<x1<2.5-+22.3752.53f(2.375)<0，f(2.5)>02.375<x1<2.5-+22.3752.4753f(2.375)<0，f(2.4375)>02.375<x1<2.4375第2页，共41页，2023年，2月20日，星期日合作探究结论:方程的根在区间(0,1)内.,

解：记问：根是多少？xy01精确度为0.2时,近似解是?精确度为0.1时,近似解是?第3页，共41页，2023年，2月20日，星期日选初始区间取区间中点中点函数值为零结束

是

定新区间否区间长度小于精确度否是第4页，共41页，2023年，2月20日，星期日问题4:类比上述思想方法,如何列表求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内零点的近似值?求方程的近似解区间中点的值中点函数近似值区间长度(2,3)-0.0841(2.5,3)0.5120.5(2.5,2.75)0.2150.25(2.5,2.625)0.0660.125(2.5,2.5625)-0.0090.0625(2.53125,2.5625)0.0290.03125(2.53125,2.546875)0.0100.015625(2.53125,2.5390625)0.0010.0078125(精确度0.01)这里|2.53125-2.5390625|<0.01取x=?用二分法2.531252.52.752.6252.56252.531252.5468752.53906252.53515625第5页，共41页，2023年，2月20日，星期日想一想如何确定初始区间解法２:

记函数例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到0.1）此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。第6页，共41页，2023年，2月20日，星期日方程f(x)=0有实数根等价关系:函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点1:函数y=f(x)的零点与相应方程f(x)=0的实数根有怎样的关系?2:函数y=f(x)一定有零点吗?如果函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0那么函数y=f(x)在区间[a,b]上必有零点.在怎样的条件下函数y=f(x)一定有零点?第7页，共41页，2023年，2月20日，星期日函数的图象与轴有交点函数有零点问题1:结论:方程的根在区间(0,1)内.第8页，共41页，2023年，2月20日，星期日强化概念:零点存在定理１、根据表格中的数据,可以断定方程的一个根所在的区间()1023112345C第9页，共41页，2023年，2月20日，星期日那如何找符合精确度的解呢？有一个很直观的想法：如果能将解所在区间的范围缩小，那么在此精确度要求下，我们就可以得到解的近似值.例:求方程的近似解现要在此区间内找一个与准确值之间的距离小于0.01的数.由前面的分析可知,方程的解在(2,3)内,(误差小于0.01)(精确度0.01)第一步:判断方程根的初始区间（２，３），具体方法列表或画图

－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972123456789xf（x）第10页，共41页，2023年，2月20日，星期日看商品，猜价格游戏规则：给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在0~100之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中价格，这件商品就是你的了。这能提供求方程近似解的思路吗用二分法第11页，共41页，2023年，2月20日，星期日问题4:类比上述思想方法,如何求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内零点的近似值?求方程的近似解(精确度0.01)用二分法第一步:判断方程根的初始区间（２，３）第二步：快速有效缩小根所在的区间的方法

取出中点，缩小区间的中点

叫做区间取中点:一般地，我们把我们先看下面直观的分割：第12页，共41页，2023年，2月20日，星期日2.523_+2.75+2.5625+区间长度0.5区间长度0.25区间长度0.125区间长度0.0625_2.5_+3_+2.52.752.625+_+2.5_+2.6252.53125_2.5+2.5625_区间长度0.031252.546875+区间长度0.015625_+2.5468752.531252.5390625+区间长度0.0078125所以方程的近似解为为什么??零点存在定理精确度0.5第13页，共41页，2023年，2月20日，星期日

所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.由于如图设函数的零点为

、则=2.53125、=2.5390625，...所以第14页，共41页，2023年，2月20日，星期日

对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).二分法xy0ab第15页，共41页，2023年，2月20日，星期日1、下列图象中不能用二分法求函数的零点的是

yx0（3）xy0(4)xy(2)(1)

x

y

O

(2),(4)强化概念:２．方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内有实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．第16页，共41页，2023年，2月20日，星期日求方程的近似解问题３:类比上述思想方法,如何列表求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内零点的近似值?区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(精确度0.2)区间长度10.50.250.125这里|2.625-2.5|=0.125<0.2取x=?2.625第17页，共41页，2023年，2月20日，星期日问题4:类比上述思想方法,如何列表求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内零点的近似值?求方程的近似解区间中点的值中点函数近似值区间长度(2,3)2.5-0.0841(2.5,3)2.750.5120.5(2.5,2.75)2.6250.2150.25(2.5,2.625)2.56250.0660.125(2.5,2.5625)2.53125-0.0090.0625(2.53125,2.5625)2.5468750.0290.03125(2.53125,2.546875)2.53906250.0100.015625(2.53125,2.5390625)2.535156250.0010.0078125(精确度0.01)这里|2.53125-2.5390625|<0.01取x=?用二分法2.53125第18页，共41页，2023年，2月20日，星期日感悟交流

给定精确度，用二分法求方程的近似解的基本步骤：1、确定解所在的初始区间2、不断二分解所在的区间3、根据精确度得出近似解问题5:你能归纳出“给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤”吗?第19页，共41页，2023年，2月20日，星期日3.计算；（1）若，则就是函数的零点；1.确定区间,验证,给定精确度;2.求区间的中点；（2）若，则令（此时零点）.（3）若，则令（此时零点）.4.判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复2～4.给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤如下:第20页，共41页，2023年，2月20日，星期日例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到0.1）解：原方程即,令，用计算器或计算机作出函数对应值表与图象（如下):x01234567f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142xy02xy02xy02第21页，共41页，2023年，2月20日，星期日区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.50.33(1,1.5)1.25-0.87(1.25,1.5)1.375-0.28(1.375,1.5)1.43750.02(1.375,1.4375)由精确度0.1,第22页，共41页，2023年，2月20日，星期日想一想如何确定初始区间解法２:

记函数例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到0.1）此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。第23页，共41页，2023年，2月20日，星期日练一练

借助计算器,用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)内的近似解(精确度0.1).二分法求方程的近似解,用表格形式表示计算结果,简化解题的叙述过程.第24页，共41页，2023年，2月20日，星期日探究从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为

个。第25页，共41页，2023年，2月20日，星期日合作探究结论:方程的根在区间(0,1)内.,

解：记问：根是多少？xy01精确度为0.2时,近似解是?精确度为0.1时,近似解是?第26页，共41页，2023年，2月20日，星期日诸葛亮妙算

相传有一天,诸葛亮把将士们召集在一起,说:“你们中间不论谁,从1~1024中,任意选出一个整数,记在心里,我最多提10个问题,只要求回答‘是’或‘不是’。10个问题全答完以后，我就会‘算’出你心里记的是哪个数。”诸葛亮刚说完，一个谋士站起来说，他已经选好了一个数。诸葛亮问道：“你这个数大于512？”

谋士答道：“不是。”诸葛亮又接连向这位谋士提了9个问题，这位谋士都一一如实做了回答。诸葛亮听了，最后说:“你记的那个数是1。”你知道诸葛亮是怎样进行妙算的吗？第27页，共41页，2023年，2月20日，星期日区间中点的值中点函数值符号区间长度（1，2）1.5f(1.5)>0（1，1.5）1.25f(1.25)<0（1.25，1.5）1.375f(1.375)>0（1.25，1.375）1.3125f(1.3125)<0（1.3125，1.375）探一探求函数零点(精确度0.1).解:????∴函数的零点近似值可取为1.3125.10.50.250.1250.0625(精确度0.01)第28页，共41页，2023年，2月20日，星期日归纳用二分法求方程近似解的步骤第29页，共41页，2023年，2月20日，星期日2.523_+2.75+2.5625+区间长度0.5区间长度0.25区间长度0.125区间长度0.0625_2.5_+3_+2.52.752.625+_+2.5_+2.6252.53125_2.5+2.5625_区间长度0.031252.546875+区间长度0.015625_+2.5468752.531252.5390625+区间长度0.0078125所以方程的近似解为第30页，共41页，2023年，2月20日，星期日第一步:判断方程根的初始区间如何求方程的一个近似解?

（精确度0.1）22212966276-3-66543210xxf)(第31页，共41页，2023年，2月20日，星期日第二步：快速有效缩小根所在的区间

取出中点，缩小区间的中点

叫做区间取中点:一般地，我们把如何求方程的一个近似解?

（精确度0.1）第32页，共41页，2023年，2月20日，星期日0.375+第三步：选择零点所在的区间

中点的函数近似值区间中点的值

区间长度区间(1,2)10.50.25

0.125

0.0625121.51.5+_1.251.25-1.54688_1.3751.375-0.650391

_1.43751.4375-0.154541

_(1,1.5)(1.25,1.5)

(1.375,1.5)

(1.4375,1.5)

1.468750.105927(1.4375,1.46875)

0.03125

1.453125

-0.0253716

(1.453125,1.46875)

0.015625

1.46093750.04001(1.453125,1.4609375)

0.007825

…………第33页，共41页，2023年，2月20日，星期日第四步：终止二分法的操作（1）如果取得的中点就是方程的根，马上终止运算（2）如果运算只能得到方程的近似解，那就要受预定精确度的限制。如何求方程的一个近似解?

（精确度0.1）第34页，共41页，2023年，2月20日，星期日23232.5_+_+2.25__+_2.3752.52.375_+2.4375+2.5_+区间长度1区间长度0.5区间长度0.25区间长度0.125区间长度0.0625所以方程的近似解为第35页，共41页，2023年，2月20日，星期日诸葛亮妙算

相传有一天,诸葛亮把将士们召集在一起,说:“你们中间不论谁,从1~1024中,任意选出一个整数,记在心里,我最多提10个问题,只要求回答‘是’或‘不是’。10个问题全答完以后，我就会‘算’出你心里记的是哪个数。”诸葛亮刚说完，一个谋士站起来说，他已经选好了一个数。诸葛亮问道：“你这个数大于512？”

谋士答道：“不是。”诸葛亮又接连向这位谋士提了9个问题，这位谋士都一一如实做了回答。诸葛亮听了，最后说:“你记的那个数是1。”你知道诸葛亮是怎样进行妙算的吗？第36页，共41页，2023年，2月20日，星期日