新高中数学人教A5习题：第一章解三角形 1.2.1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2应用举例第1课时距离问题课时过关·能力提升基础巩固1已知A，B两地相距10km,B，C两地相距20km，且∠ABC=120°,则A，C两地相距（）。A.10km B.10C.10答案：D2如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为（）.A.akm B.C.解析：由题意知，在△ABC中，AC=BC=akm,∠ACB=120°，则AB2=AC2+BC2—2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2a2cos120°=3a2，故AB=3a答案：B3如图,B,C两点在河的两岸，在河岸AC测量BC的距离有下列四组数据，较适宜测量的数据是（）。A。γ，c,α B。b，c，αC。c,α，β D.b，α，γ答案:D4在△ABC中，B=70°，C=36°,a=4，则c等于().A.C.答案:C5在△ABC中，已知a=4,b=6，C=120°，则sinA的值为().A.C.解析：c2=a2+b2-2abcosC=42+62-2×4×6×cos120°=76,则c=2由asinA答案:A6某人向正东方向走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好为3A.C。2解析：如图,若设出发点为A，则有AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,则(3)解得x=23或答案:C7如图，为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A，B,分别在A,B点望对岸的标记物C,测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河的宽度CD为.

解析:tan30°=CDAD,tan又AD+DB=AB=120m,∴ADtan30°=（120—AD)tan75°.∴AD=603m。故CD=60m答案：60m8一艘船在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在船的东北方向,半小时后在B处望见灯塔C在船的北偏东30°方向，航速为30海里/时,当船到达D处时望见灯塔C在船的西北方向，求A,D两点间的距离.解如图,在△ABC中，A=45°，∠ABC=120°,AB=15，∠ACB=15°,由正弦定理,得∴AC=∴AD=2AC答：A,D两点间的距离是15（3+39海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为126（1）A处与D处之间的距离;（2)灯塔C与D处之间的距离。解由题意，画出示意图.(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°,AB=126nmile由正弦定理得AD=ABsin60°sin45°=24（2）在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=242+(8故CD=83(nmile答:A处与D处之间的距离为24nmile,灯塔C与D处之间的距离为83能力提升1在△ABC中，已知B=60°,最大边与最小边的比为3A。60° B。75° C.90° D.115°解析:设最大边为a,最小边为c,则最大角为A，最小角为C,且整理得tanC=1。又0°<C〈120°，∴C=45°.∴A=180°—（B+C）=180°—(60°+45°）=75°.答案:B2如图，某炮兵阵地位于A点，两个观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为等边三角形，且DC=3km,当目标出现在B点时,测得∠CDB=45°，∠BCD=75°A。1.1km B.2.2km C。2。9km D。3。5km解析：∠CBD=180°-∠BCD—∠CDB=60°.在△BCD中,由正弦定理，得BD=在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°。由余弦定理,得AB2=AD2+BD2—2AD·BDcos105°=3+=5+2则AB=5+23≈2。9(km故炮兵阵地与目标的距离约是2。9km.答案:C3已知A船在灯塔C北偏东80°,且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3km,则B到C的距离为.

解析：如图所示,在△ABC中，∠ACB=40°+80°=120°,AB=3km，AC=2km.设BC=akm.由余弦定理，得cos∠ACB=即cos120°=解得a=6-1即B到C的距离为答案:(★4某观测站C在A城的南偏西20°的方向，由A城出发有一条公路,公路走向是南偏东40°,在公路上测得距离C31km的B处有一人正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时C,D之间相距21km,问此人还要走多远才能到达A城?解如图,∠CAB=60°，BD=20，CB=31，CD=21。在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC==202+2在△ACD中，∠ACD=∠BDC-∠CAD=∠BDC-60°.由正弦定理，可得AD=∵sin∠ACD=sin（∠BDC-60°)=sin∠BDCcos60°—cos∠BDCsin60°=∴AD=答:此人还要走15km才能到达A城。★5如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前进30解由题意得,DC=∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°，∠ADC=60°,∠DAC=45°.在△BDC中,由正弦定理可得,BC=在△ADC中,由正弦定理可得，AC=在△ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2—2AC·BCcos∠