大一高等数学期末考试试卷及答案详解1

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大一高等数学期末考试试卷

（一）

一、挑选题（共12分）

1.（3分）若2,0,

(),0

xexfxaxx??为延续函数,则a的值为().

(A)1(B)2(C)3(D)-12.（3分）已知(3)2,f'=则0

(3)(3)

lim

2hfhfh

→--的值为（）.

(A)1(B)3(C)-1(D)

12

3.（3

分）定积分

22

π

π

-

?的值为（）.

(A)0(B)-2(C)1(D)2

4.（3分）若()fx在0xx=处不延续,则()fx在该点处().(A)必不行导(B)一定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题（共12分）

1．（3分）平面上过点(0,1)，且在随意一点(,)xy处的切线斜率为2

3x的曲线方程为.2.（3分）

1

241

(sin)xxxdx-+=?

.

3.（3分）2

1

limsin

xxx

→=.4.（3分）3

2

23yxx=-的极大值为.

三、计算题（共42分）1.（6分）求2

ln(15)

lim

.sin3xxxx→+

2.（6

分）设y=求.y'3.（6分）求不定积分2

ln(1).xxdx+?

4.（6分）求

3

(1),fxdx-?

其中,1,()1cos1,1.xx

xfxxex?≤?

=+??+>?

5.（6分）设函数()yfx=由方程0

cos0y

x

tedttdt+=?

?所确定,求.dy

6.（6分）设

2()sin,fxdxxC=+?求(23).fxdx+?

7.（6分）求极限3lim1.2n

nn→∞?

?+???

四、解答题（共28分）

1.（7分）设(ln)1,fxx'=+且(0)1,f=求().fx

2.（7分）求由曲线cos2

2yxxπ

π??=-

≤≤???与x轴所围成图形围着x轴旋转一周所得旋

转体的体积.

3.（7分）求曲线32

32419yxxx=-+-在拐点处的切线方程.4.（7

分）求函数yx=+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证实题(6分)

设()fx''在区间[,]ab上延续,证实

1()[()()]()()().22b

b

a

a

bafxdxfafbxaxbfxdx-''=++--?

?

（二）

一、

填空题（每小题3分，共18分）

1．设函数()2

31

22+--=xxxxf，则1=x是()xf的第类间断点.

2．函数(

)2

1lnx

y+=，则='y

.

3．=?

?

?

??+∞→x

xxx21lim

.

4．曲线xy1=

在点??

?

??2,21处的切线方程为.5．函数2

3

32xxy-=在[]4,1-上的最大值，最小值.

6．=+?dxxx

2

1arctan.

二、

单项挑选题（每小题4分，共20分）

1．数列{}nx有界是它收敛的（）.

()A须要但非充分条件；()B充分但非须要条件；

()C充分须要条件；()D无关条件.

2．下列各式正确的是（）.

()ACedxexx+=--?；()BCx

xdx+=?1

ln；()C()Cxdxx+-=-?

21ln2

1

211；()DCxdxx

x+=?

lnlnln1

.3．设()xf在[]ba,上，()0>'xf且()0>''xf，则曲线()xfy=在[]ba,上.

()A沿x轴正向升高且为凹的；()B沿x轴正向下降且为凹的；

()C沿x轴正向升高且为凸的；()D沿x轴正向下降且为凸的.

4．设()xxxfln=，则()xf在0=x处的导数（）.

()A等于1；()B等于1-；

()C等于0；()D不存在.

5．已知()2lim1

=+

→xfx，以下结论正确的是（）.()A函数在1=x处有定义且()21=f；()B函数在1=x处的某去心邻域内有定义；

()C函数在1=x处的左侧某邻域内有定义；()D函数在1=x处的右侧某邻域内有定义.

三、

计算（每小题6分，共36分）

1．求极限：x

xx1

sin

lim2

→.2.已知(

)2

1lnxy+=，求y'.

3.求函数x

x

ysin=()0>x的导数.

4.?+dxx

x2

2

1.5.

?xdxxcos.

6.方程y

x

xy11=确定函数()xfy=，求y'.

四、

（10分）已知2

xe

为()xf的一个原函数，求()?

dxxfx2

.

五、（6分）求曲线x

xey-=的拐点及高低区间.

六、（10分）设

(

)(

)

Ce

xdxxfx

++='?1，求()xf.

（三）

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).

（1）2

10)(coslimxxx→=_____e1

________.

（2）曲线xxyln=上与直线01=+-yx平行的切线方程为___1-=xy______.

（3）已知x

x

xeef-=')(，且0)1(=f,则=)(xf______=)(xf2

)(ln21

x_____.

（4）曲线

132+=xxy的斜渐近线方程为_______.

91

31-=xy__

（5）微分方程5

22(1)1'-=++yyxx的通解为_________.

)1()1(32227+++=xCxy

二、挑选题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（D）

(A)01

1

1=?-dxx(B)21112

-=?-dxx

(C)+∞=?∞+141

dxx(D)+∞=?∞+11dxx

（2）函数)(xf在],[ba内有定义，其导数)('xf的图形如图1-1所示，则（D）.

(A)21,xx都是极值点.

(B)()())(,,)(,2211xfxxfx都是拐点.(C)1x是极值点.，())(,22xfx是拐点.(D)())(,11xfx是拐点，2x是极值点.

（3）函数212eeexxx

yCCx-=++满足的一个微分方程是（D）.

（A）

23e.x

yyyx'''--=（B）

23e.x

yyy'''--=（C）

23e.x

yyyx'''+-=

（D）

23e.xyyy'''+-=（4）设)(xf在0x处可导，则()()

000

lim

hfxfxhh→--为（A）.

(A)

()0fx

'.(B)()0fx

'-.(C)0.(D)不存在.

（5）下列等式中正确的结果是（A）.

(A)(())().

fxdxfx'=?(B)

()().=?dfxfx

(C)[()]().dfxdxfx=?(D)()().fxdxfx'=?

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

1．求极限

)

ln11(

lim1xxxx--→.解)ln11(lim1xxxx--→=

xxxxxxln)1(1lnlim1

-+-→1分=xxxx

xln1

lnlim

1+-→2分=xxxxxxln1lnlim

1+-→1分

=211ln1ln1lim1=

+++→xxx2分

2.方程???+==tttytxsincossinln确定y为x的函数，求dxdy与2

2dxyd.

解,sin)()(tttxtydxdy=''=（3分）

.

sintansin)()sin(22tttttxttdxyd+=''=（6分）

3.4.计算不定积分

.222(1)=22=arctan2dxC=++??分分

（分

4.计算定积分?++3011dxx

x

.

解??-+-=++303

0)11(11dxxxxdxxx?+--=3

0)11(dxx（3分）

3

5)

1(3

2

330

23=

++-=x（6分）

（或令tx=+1）

四、解答题（本题共4小题，共29分）.

1．（本题6分）解微分方程256x

yyyxe'''-+=.

2122312*20221*223212-56012,31.1()11

1.

21

(1)12

1

(1).12

xxxxxxxrrrreCeyxbxbebbyxxeyeCexxe+===+=+=-=-==+-+解：特征方程分特征解.分次方程的通解Y=C分令分

代入解得，所以分

所以所求通解C分

2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．

解：建立坐标系如图

220

322203*********R

R

PgRxgRxgRρρρρ====??

）分

[（）]分

分

3.（本题8分）设()

fx在[,]ab上有延续的导数，()()0fafb==，且2()1

ba

fxdx=?

，

试求

()()b

a

xfxfxdx

'?

.

2

22

()()()()21()22

1=[()]()22

11

=0222b

ba

a

babbaaxfxfxdxxfxdfxxdfxxfxfxdx'==

=????解：分

分分分

4.（本题8分）过坐标原点作曲线xyln=的切线，该切线与曲线xyln=及x轴围成平面图形D.

(1)(3)求D的面积A;

(2)(4)求D绕直线ex=旋转一周所得旋转体的体积V.

解：(1)设切点的横坐标为0x，则曲线

xyln=在点)ln,(00xx处的切线方程是

).(1

ln00

0xxxxy-+

=1分

由该切线过原点知01ln0=-x，从而.

0ex=所以该切线的方程为

.

1

xey=

1分

平面图形D的面积

?-=

-=1

.121

)(edyeyeAy2分

（2）切线

x

ey1

=

与x轴及直线ex=所围成的三角形绕直线ex=旋转所得的圆锥体积为

.

3121eVπ=2分

曲线xyln=与x轴及直线ex=所围成的图形绕直线ex=旋转所得的旋转体体积为

dy

eeVy21

2)(?-=π，1分

因此所求旋转体的体积为

).

3125(6)(312102221+-=--=-=?eedyeeeVVVyπ

ππ1分

五、证实题（本题共1小题，共7分）.

1.证实对于随意的实数x，1x

ex≥+.

解法一：2

112x

eexxx

ξ=++≥+解法二：设

()1.x

fxex=--则(0)0.f=1分由于

()1.x

fxe'=-1分当0x≥时，()0.fx'≥()fx单调增强，()(0)0.fxf≥=2分

当0x≤时，()0.fx'≤()fx单调增强，()(0)0.fxf≥=2分

所以对于随意的实数x，()0.fx≥即1x

ex≥+。1分解法三：由微分中值定理得，

01(0)xxeeeexexξξ-=-=-=，其中ξ位于0到x之间。2分

当0x≥时，1eξ>，1x

ex-≥。2分当0x≤时，1eξk，则函数

k

exxx

f+-

=ln)(在

),0(∞+内零点的个数为（B）.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程xyy2cos34=+''的特解形式为（C）

（A）cos2yAx*=；（B）cos2yAxx*

=；

（C）cos2sin2yAxxBxx*

=+；（D）xAy2sin*

=3．下列结论不一定成立的是（A）

(A)(A)若[][]badc,,?,则必有

()()??

≤b

a

d

c

dx

xfdxxf;

(B)(B)若0)(≥xf在[]ba,上可积,则()0b

a

fxdx≥?;

(C)(C)若()xf是周期为T的延续函数,则对随意常数a都有

()()??

+=T

Taa

dx

xfdxxf0

;

(D)(D)若可积函数()xf为奇函数,则()0x

tftdt?也为奇函数.

4.设

()x

xee

xf11

321++=

,则0=x是)(xf的（C）.(A)延续点;(B)可去间断点;

(C)跳动间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（每小题6分，5题共30分）：1．计算定积分?-2

032

dx

exx.

解：

??

?

===2

02

02

322121,2

ttxtdedttedxextx则设2

?

?????

--=?--202221dtetett22

223210221

=--=eeet2

2．计算不定积分dxxxx?5cossin.

解：

???

???-==???xdxxxxxddxxxx4445coscos41)cos1(41cossin3Cxxxxxdxxx+--=+-=

?tan41tan121cos4tan)1(tan41cos43

4

2

433．求摆线???-=-=),cos1(),sin(tayttax在

2π=

t处的切线的方程.解：切点为)

),12((aa-π

2

2

π==

tdxdyk2

)cos1(sinπ=-=

tt

ata1=2

切线方程为

)

12

(

--=-π

axay即

a

xy)22(π

-+=.24.设

?-=x

dt

txxF0

2)cos()(，则

=')(xF)cos()12(cos22

2xxxxx.5．设nnnnnxn

n)

2()3)(2)(1(+++=

，求nnx

∞→lim.

解：

)

1ln(1ln1∑=+=ninninx2?∑+=+==∞→∞→101)1ln(1

)1ln(limlnlimdx

xnnixninnn2

=12ln211

)1ln(1

010-=+-+?dxxx

xx2故nnx

∞→lim=

ee41

2ln2=-四．应用题（每小题9分，3题共27分）1．求由曲线2-=

xy与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

解：

设切点为

),00yx（，则过原点的切线方程为x

xy221

0-=

，

因为点

),00yx（在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==yx.3

过原点和点)2,4(的切线方程为

22x

y=

3

面积

dy

yys)222(2

2?-+==32

23

或322)22

21(

2

2120

4

2

=

--+=?

?dxxxxdxs

2．设平面图形D由2

2

2xyx+≤与yx≥所确定，试求D绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.

解：法一：21VVV-=

[

]

[]

?

??==10

22

1

21

2

2

)1(12)2()11(2dy

yy

dy

ydyyπππ6

)

314(201)1(3

1423-=??????--=ππππy3法二：V=

?1

2)2)(2(2dx

xxxxπ

??=10

10

22)2(22)2(2dx

xxdxxxxππ5

[]

?--+--=1

0223

4

222)22(π

πdxxxxxxππππππ

ππ32213421323

4141201)2(322223

2-=-+=-????????+-=xx4

3.设1,a>atatft

-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为().ta问a为何值时)(at最小?并求最

小值.

解:

.lnlnln1)(0ln)(aa

ataaatft-==-='得由3

0)(ln1

lnln)(2

eeaaaaat==-=

'得唯一驻点又由3

.)(,0)(,;0)(,的微小值点为于是时当初当ateaateaateaeee='>2

故

.1

1ln1)(,)(eeeetateaee-=-

==最小值为的最小值点为1

五．证实题（7分）

设函数()fx在[0,1]上延续，在(0,1)内可导且1

(0)=(1)0,()12fff==，

试证实至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()=1.fξ'

证实：设()()Fxfxx=-，()Fx在[0,1]上延续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0ff,

有(0)(0)00,(1)(1)11FfFf=-==-=-,2

又由1()=12f，知

11111()=()-=1-=22222Ff，在1

[1]

2，上()Fx用零点定理，按照11(1)()=-0

22FF2分

(1,3)∴为拐点,1分

该点处的切线为321(1).y

x=+-2分

4解

1y'=-

=2分令0,y'=得3

.4

x

=1分

35

(5)52.55,,(1)1,44

yyy??-=-+≈-==???2分

∴

最小值为(5)5y-=-+最大值为35

.44

y??=???2分

五、证实

()()()()()()b

b

a

a

xaxbfxxaxbdfx'''--=--?

?1分

[()()()]()[2()b

baaxaxbfxfxxabdx''=+?1分[2()()b

axa

bdfx=--+?1分

{}[2()]()2()b

b

aaxa

bfxfxdx=--++?1分()[()()]2(),babafafbfxdx=--++?1分

移项即得所证.1分

高等数学I（大一第一学期期末考试题及答案）

1.当0xx→时，()(),xxαβ都是无穷小，则当0xx→时（D）不一定是

无穷小.(A)()()xxβα+

(B)()()xx2

2βα+

(C)

[])()(1lnxxβα?+

(D))()

(2xxβα

2.极限

a

xaxax-→?????1sinsinlim的值是（C）.（A）1

（B）e

（C）a

e

cot（D）a

e

tan

3.

???

??=≠-+=001

sin)(2xaxx

exx

fax在0x=处延续，则a=（D）.（A）1

（B）0

（C）e（D）1-

4.设)(xf在点xa=处可导，那么=

--+→hhafhafh)2()(lim0（A）.（A）)(3af'（B）)(2af'

(C))(af'（D）)

(31

af'

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5.极限)

0(ln)ln(lim0>-+→axaaxx的值是a1.

6.由

xxyeyx2cosln=+确定函数y(x)，则导函数='y

x

xeyexy

xxy

xy

ln2sin2+++-.7.直线l过点M(,,)123且与两平面xyzxyz+-=-+=202356,都平行，则直

线l的方程为13

121

1--=--=-zyx.8.求函数2

)4ln(2xxy-=的单调递增区间为（－∞，0）和（1，+∞）.

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9.计算极限10(1)lim

x

xxe

x→+-.

解：1

1

ln(1)120

00(1)1

ln(1)lim

limlim

2xx

x

xxxxeexxe

eexx

x+-→→→+--+-===-

10.设)(xf在[a，b]上延续，且

]

,[)()()(baxdt

tftxxFx

a

∈-=?，试求出)(xF''。

解：

??-=x

a

x

a

dt

ttfdttfxxF)()()(

??=-+='x

a

x

a

dt

tfxxfxxfdttfxF)()()()()()()(xfxF=''

11.求

3

cos.sinx

x

dxx?

解

：2

3cosi

si

x

x

dx-=-??2

2

11si

22

xx

--=-

?

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

12.求

?

-2

3

2

21

xxdx.

令

1xt=

?

--=21

2

322)1

(11

11dtttt

原式

=-?dt

t121

2

3

2

=arcsint

12

3

2=

π

6

13.求函数

212xxy+=

的极值与拐点.解：函数的定义域（－∞，+∞）

22)1()1)(1(2xxxy++-='322)1()3(4xxxy+--=

''

令0='y得x1=1,x2=-1

0)1(-''yx2

=-1是微小值点

极大值1)1(=y，微小值1)1(-=-y

0=''y33故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23

）

14.求由曲线

43

xy=与2

3xxy-=所围成的平面图形的面积.解:,,

xxxxxx3

232431240=--+=

xxxxxx()(),,,.+-==-==620602123

Sxxxdxxxxdx

=-++??()()3260

2

3024334=-++()()xxxxxx423602340

21632332316

=+=4521347

1

315.设抛物线2

4xy-=上有两点(1,3)A-，(3,5)B-，在弧AB上，求一点(,)Pxy使ABP?的面积最大.

AByxABPABxyxxxABP连线方程：点到的距离的面积

+-==+-=-++-≤≤2104521

5

235

132()

?

Sxxxxx()()

=??-++=-++124523

522322

当'=-+='=SxxxSx()()4410当初取得极大值也是最大值''=-，试证xxex

++--=xxxexfx

1)21()(2--='xexfx，xxexf24)(-=''，0)(,

0≤''>xfx，因此)(xf'在（0，

+∞）内递减。在（0，+∞）内，)(,0)0()(xffxf='0时，xxex

+'xf，二阶导数0)(FF或，则由零点定理0)()1,0(=∈?ξξF使得。（8分）

3、证明不等式：当4>x时，2

2xx>。

证：令2

2)(xxfx-=，则0)4(=f。（2分）

xxfx

22ln2)(-='，084ln8)4(>-='f，2)2(ln2)(2-=''xxf，明显，当4>x时，

0]1)4ln2[2)(2>->''xf（4分）)(xf'∴在区间),4(+∞内单调增强。

又0)4(>'f，)(xf'∴在区间),4(+∞内恒大于零。（6分）

又0)4(=f，)(xf∴在区间),4(+∞内大于零。

即当4>x时，

02)(2

>-=xxfx，即22xx>。（8分）

五.解答下列各题（本大题共3小题，每小题8分，总计24分）

1、求函数

xeyx

cos=的极值。解：)sin(cosxxeyx-='，令0='y，得驻点

4π

π+

=kx（k为整数）。（4分）

xeyx

sin

2-=''。∴当42π

π+

=kx时，,0''y)(xf在该处取得微小值，其值为45222π

π+-=key。（8分）

2、求不定积分

?

x

x

xdcossin3。

解：

?

xxxdcossin3

)

d(coscoscos12xxx

?--=（4分）

??-=xxxxcos)

d(cos)d(cos)(cos2

3

（6分）

Cxx+-=

cos2co