求数列的通项公式（1）讲义-高三数学一轮复习

求数列的通项公式（1）类型一：观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型二：累加法：形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:将上述个式子两边分别相加,可得:(1)若是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;(2)若是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;(3)若是关于的二次函数,累加后可分组求和;(4)若是关于的分式函数,累加后可裂项求和.类型三:累乘法:形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:，将上述个式子两边分别相乘,可得:题型一：观察法例1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为，则（

）A．650B．1050C．2550D．5050例2．已知数列的前几项为1，，，…，它的第项是（

）A．B．C．D．例3．已知无穷数列满足，写出满足条件的的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）题型二：累加法例4．已知数列，若，，则（

）A．2500B．2501C．2502D．2503例5．已知数列满足，，则的通项为(

)A．B．C．D．例6．已知满足，（是正整数），求．题型三：累乘法例7．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（

）A．B．C．D．例8．（多选）已知数列满足,,则（

）A．B．C．数列为递增数列D．数列为递减数列例9．已知数列满足，，设数列的前项和为，则数列的通项公式为______，______．一、单选题1．数列，2，，8，…的第10项是（

）A．B．64C．40D．502．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（

）A．22B．24C．25D．263．4．已知数列满足，，则的通项为（

）A．，，B．，，C．，，D．，，5．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（

）A．196B．197C．198D．1996．已知数列满足，则的最小值为（

）A．2B．C．6D．87．已知数列满足=1，，且()，则数列{}的前18项和为（

）A．54B．3C．D．8．已知，，则数列的通项公式是（）A．nB．C．2nD．二、多选题9．已知数列满足，，数列的前n项和为，则（

）A．B．C．D．10．下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（）A．B．C．D．11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（

）A．B．C．D．三、填空题12．在数列中，，，则数列______．13．已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.14．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则第11项是___________四、解答题15．写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：(1)3，5，9，17，33，…；(2)，，，，…；(3)5，55，555，5555，…；(4)，－1，，，，…；(5)0，，，，…．16．在数列中，，，．(1)证明为等比数列；(2)求.典例展示例1．解：由条件观察可得：，即，所以是以2为首项，2为公差的等差数列.故，例2．例3．解：由猜想.例4．例5．解：因为，所以，则当时，，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合题意，所以.例6．解：因为，所以，则，所以当时，则将上述式子相加可得：，因为，所以，又符合上式，故数列的通项公式.例7．解：记数列为，设，则，，，，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，.例8．解：因为数列满足，，，则当时，，，……，，所有的式子相乘得，即，当时也符合通项，故，数列为递增数列，例9．解：因为，且，所以，则当时，．又当时，符合上式，故．由①②得．令，③∴，④得∴．故，则，即．跟踪检测1．解：．2．解：设该数列为，当为奇数时，所以为奇数；当为偶数时，所以为偶数数；所以，3．4．解：因为，所以，则当，时，，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合上式，所以，，，5．解：设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知，所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，所以将所有上式累加可得，所以；即该数列的第15项为.6．解：由数列满足，可得，则，因为函数，当且仅当时等号成立，当时，所以取最小值为6.7．解：由，则，即，显然，满足公式，即.当时，；当时，；当时，；当时，，当时，；当时，；则数列是以为周期的数列，由，则，设数列的前项和为，8．解：由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，因为，所以，二、多选题9．解：由，可得：，，，，，则即，则，又时也成立，所以故选项B判断正确；由，可知选项A判断正确；令则2两式相减得故选项D判断正确；由，可得选项C判断错误.10．解：对A：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对B：当为奇数时，或，当为偶数时，，不符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对C：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对D：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；11．解：根据题意可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，对A：因为，所以，故A错误；对B：因为，所以，故B正确；对C：因为，，，且，所以上述各式相加得，故；经检验：满足，所以，则，故C错误；对D：由选项C可知，则，故D正确.12．解：13．解：由题意可知，满足，当时，，，以上各式累加得，.，当时，也满足上式，∴，则.∴数列的前n项和为，∴.14．解：15．解：（4）数列的偶数项为负数，奇数项为正数，故通项公式必含有因式．第2项－1改写