优化解题策略发展数学思维 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选优化解题策略，发展数学思维 朱平平摘要：数学教学肩负着两大任务，一是数学知识知识教学，另一个是解题教学。数学学习，解题是关键。它不仅让学生巩固必要的基础知识和基本技能，更重要的是培养学生获取知识的能力，提升数学思维能力。如何提高数学解题能力？本人结合教学实践与思考，归纳出五条提高解题能力，发展思维能力的有效方法：第一,利用变式训练将知识融会贯通。第二，提炼基本图形，提高学生的思维水平。第三，利用一题多解促进思维发展。第四，利用多题一解，优化归纳数学思想方法。第五，解题后进行反思，对知识总结提升。以培养学生多归纳，多总结，多思考，提高解题能力，理解学好数学的本质。关键词：解题能力，思维能力，基本图形数学教学的重要任务是解题教学，但是数学教学又不仅仅是解题教学。这一句话里面包含着解题能力的重要性和通过解题训练的根本目的是丰富数学知识，获得数学思想方法，提高思维能力，增强学生的数学素养。数学的世界里有着解不完的题目。面对千变万化的题目，如何才能应对自如？怎样提高学生的数学解题能力呢？这是每个数学学习者都在思考的问题。我结合多年的教学实践谈谈一些看法与大家商榷。 一.用变式训练，将知识融会贯通

解题教学首先应关注能反应概念本质，与重要的数学概念.性质相关的“”真正的数学问题”。在新课学习过程中，学生经历了知识的获得，理解和简单应用过程，其核心价值是在知识的形成过程中积累数学活动经验，发展数学素养；例如在最初学习“角平分线性质定理”“三线合一”一次函数这些知识时，通过参与实验观察猜想证明等知识获得过程的认知活动积累数学活动经验，发展数学思维，并初步形成对知识简单应用，既要知道知识的形成过程，又要知道知识的延伸和拓展。在学生已有的旧知基础上往深处挖一挖，就可以看见绚丽的风景。一个可以提高学生的兴趣，另外也巩固了我们所要掌握的知识。学会对一道题从不同角度进行变式，在变化中分析、思考，从而达到将知识学活、学会学习的目的。12022年安徽省中小学教育教学论文评选 以“一次函数的基本知识”复习课为例，谈谈如何用一道题目变式来囊括所有知识点的复习。例题：已知函数y=(2-k)x-3k+9是一次函数，求k取值范围.【设计意图】考查一次函数定义：y=kx+b中k≠0.一变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+6图象经过原点.【设计意图】考查点与图象和点坐标与函数解析式之间的对应关系：图象过原点等价于x=0，y=0满足y=(2-k)x-3k+9.二变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+9图象与y轴交点在x轴上方.【设计意图】考查一次函数图象与x轴、y轴交点问题，并能将文字语言翻译成数学语言：与y轴交点在x轴上方表示交点纵坐标，即-3k+9（一般式中b）大于0.三变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+9，y随x增大而减小。求k取值范围.【设计意图】考查一次函数性质.四变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+9图象经？【设计意图】学习一次函数的最重要方法是数形结合。结合图象，将问题转化为解关于k不等式组.过一、二、四象限

五变：k为何值时，一次函数y=(2-k)x-3k+9图象平行于直线y=-x.【设计意图】考查决定两条直线位置关系因素，这里只涉及简单情形：两条直线平行等价于2-k=-1（即一般式中k相等）.六变：直线y1=(2-k)x-3k+9与直线y2=3x+5交于点P(-1，a).（1）求k值；

（2）x为何值时，y1>y2；

（3）求直线y=(2-k)x-3k+9、直线y=3x+5与x轴围成的三角形面积.【设计意图】（1）交点的意义：点P(-1，a)同时满足y1=(2-k)x-3k+9与直线y2=3x+5，从而求得a，k；（2）解决第二问时有多种方法：解不等式，数形结合；（3）第三问需要借助图象明确所求图形，弄清点坐标与线段长关系（这是学生的易错点，补充强化练习：如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成三角形面积是8，求k值）.为确保所有学生获得必备的数学知识的同时，关注不同学生对数学学习的不同需要，不同的人在数学上得到不同的发展。通过不同层次的问题，不仅激发了学生的求知欲，调动了学生的积极性，而且系统地掌握了一次函数的知识，从而巩固并深化了知识系统。22022年安徽省中小学教育教学论文评选例题的变式教学有利于加深学生对知识对理解，有利于学生对知识对融会贯通，更有利于培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生应用知识的灵活性、变通性,进而达到知识间对融会贯通。二.提炼基本图形，提高思维水平利用基本图形，能够将复杂问题简单化，帮助学生在较短时间内抓住问题本质，并可以防止解题中的无关信息的干扰，从而提高学生的思维水平，达到举一反三，触类旁通的教学效果。教师在教学过程中不断地挖掘提炼总结基本图形，提高学生素养和创造性解决问题的能力。如图，在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，A∠ACE=∠B=∠D，则△ABC∽△CDE．BCED 如图像不像一个大写的英文Ｋ。我们把这种图形和它衍生出的图形统称为“K”型图。在平时的考试题和中考题中，K型图在三角形相似中应用的题型倍受青睐。例1（2014•咸宁）如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：①△ADE∽△ACD；

②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或 ；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是_________．（把你认为正确结论的序号都填上）32022年安徽省中小学教育教学论文评选分析：因为∠DAE=∠CAD,又∵∠ADE=∠CAD∴△ADE∽△ACD；故①结论正确②AB=AC=10,∠ADE=∠B,cosα= ∴BC=16,∵BD=6∴DC=10∴AB=DC,

在△ABD与△DCE中,∴△ABD≌△DCE（ASA）．故②正确,

③当△DCE为直角三角形时,当∠AED=90°时或当∠CDE=90,由"K"型图可知：易△CDE∽△ 25

BAD,BD=8．BD=2④由"K"型图易证得△CDE∽△BAD,由②可知BC=16,设BD=X,CE=Y,10XY1X824.6∴16X=Y,整理得：10故④正确．Bx2DAyE2C例2：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达点B,C）,过点D作∠ADE=45°，DE交AC于45°点E．(1)求证：△ABD∽△DEC;(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式．解析：该题巧借等腰直角三角形两底角均为45°，组成三个相等的锐角，根据“K"型图可证明△ABD∽△DEC，利用相似三角形对应边成比例得出y1

=2x2-2x+2通过分析题意，抓住问题的本质，把学过的基本模型套进去，提高解题效率。事实上，复杂的图形中分解出基本的图形而且许多看似不同的几何图形．他们大都有着内在的联系性，具有相同或相似的的基本图形。因此，教师在平时的教学中对于一道题不局限于就题论题，而要进行适当变化引申，一题变多题，拓宽思路，提高应变能力。 引导学生运用基本图形解决问题，使复杂问题简单化，这样既有利于提高学生分析问题、解决问题的能力又有利于发展学生的思维品质。三.利用一题多解，促进思维发展新课标强调：“教学中应当有意识，有计划地设计教学活动，引导学生体会数学间的联系，感受数学整体。不断丰富解决问题对策略，提高解决问题对42022年安徽省中小学教育教学论文评选能力。”通过一题多解，不仅在遇到不会解的题目时拓宽思路，还可以在多种解法中寻找最佳解法，在考试时节约解题时间，保证解题效率，减少计算失误！如图，已知⊙O直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于F点，若CF⊥AD,AB﹦2,求CD的长。要求CD的长，做辅助线是必不可少的。根据图形和题目，我们可以连接AC，则△ACD为等边三角形，⊙O是△ACD的外接圆。由此，我们可以通过做不同的辅助线用不同的解法来求解。解法1：连接AC。利用等腰三角形“三线合一”性质解答

∵直径AB⊥CD∴CE=DE

∵AB为CD的垂直平分线

∴AC=AD,同理AC=CD

故△ACD为等边三角形

∵CF⊥AD

1

∴∠EOC=∠ACE=30°

2

∵CO=1 1

∴OE=CE= 22∴CD=3三角形的三条中线相交于一点，三条中线的交点叫做三角形的重心，重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍。解法2：利用三角形“重心”性质解答

∵CE=DE

∴AE为CD上的中线

∵AF=DF

∴CF为AD上的中线52022年安徽省中小学教育教学论文评选∴点O为△ACD三角形的重心。

在RT△COE中

∵OA=1

∴OE=1

2

∵OC=1∴OC=2则CD=3解法3：利用菱形性质解答

连接CB、OD，由△OCE≌△DBE,得到OC=BD

由OC∥BD得到四边形OCBD为平行四边形，

∵OC=OD

∴四边形OCBD为菱形OC=BD

∴OE=BE=1

2∵CE=2∴CD= 3解法4：OC OE如图，△COE∽△ADE，得到 =DA DE设CE=x，则OE=1X21

=

2Xx解得X=2故CD=2CE= 362022年安徽省中小学教育教学论文评选除以上四种解法之外，我们还可以利用圆周角定理、三角形"中点"性质、全等三角形、相似三角形性质等知识点来解。通过这一个题目把我们所学的重要知识点都灵活的运用起来，又总结出了多种数学思想方法，获得了一定的解题经验，进而数学思维得到了很好对发展。所以，这一个题目从知识，方法，思维三个层次都能得到优化和提高。解题教学绝不能用题海战术，通过一题多解能够让学生丰富知识，归纳方法，发散思维，达到以一敌百，事半功倍的效果。题不在多而在精，日常解题时不妨多思考这道题可以用哪些学过的知识来解，而不局限于一种的方法。因为不同的解法包含不同对数学知识和数学思想方法，避免因简单重复带来枯燥感，同时能激活思维，发散思维，调动学生对积极性。四.利用多题一解，优化思想方法多题一解通过变题可以不断发散，层层递进，增加数学知识点，体现了数学知识的层次性和多元性，从而可以不断化归，提炼，将多题归为一类，能够透过现象看本质，有利于学生迁移到类似的数学问题，培养学生的类比能力，以不变应万变，提高解决数学问题对能力。例：如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，连接PM、PN；(1)延长MP交CN于点E(如图2)①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(1)证明：①如图2，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，72022年安徽省中小学教育教学论文评选∴∠BMN=∠CNM=90°，∴BM//CN，∴∠MBP=∠ECP

又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵∠BPM=∠CPE，∴△BPM≌△CPE，②∵△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN；

(2)成立，如图3，

证明延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，∴∠BMN=∠CNM=90°，∴∠BMN+∠CNM=180°，∴BM//CN，∴∠MBP=∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM≌△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，则在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN。评析:三角形是几何中最常见的图形之一，此题以旋转为背景，问题的设计由浅入深，层次性强，考查了学生对阅读理解能力和数学迁移能力。从第一题对解法中给学生指出求解方法，可以为第二问进一步探究提供条件，使学生围绕已有解题策略，可以有的放矢，少走冤枉路。最有效的教学，不是要多做题，而是立足一道题，串起一类题；最有效的教学不是只寻求一种方法，而是立足一种方法牵出一类通法。而多题一解可以将很多题目通过类比思想用一种方法归纳起来，优化学生的思想方法，进而达到高效解题。五.利用解后反思，总结提升知识在教学过程中，数学老师经常会被一些问题困扰：为什么同一个问题讲了很多遍还是会错？为什么学生一听就会一做就错？为什么学生花费了大量的时间和精力，成绩仍然提不上来？其实出现这些问题的一个很重要原因就在于学生解题的反思能力不够。老师在通过解题教学培养学生的反思能力时，应引导学生进行如下思考：该题考察的是哪个知