《平行线的证明》题型解读与导练

2《行的明题解与2题型一定义和命题和定义、命题有关是试题多以判断性试题出现，此类试题涉及到对定义、命题的理解，以及真假命题的区分，命题中条件与结论的区别．例1

判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题？（1）过直线AB一点C作AB的垂线；（2）两直线相交，有几个交点？（3）直角都相等；（4）同角或等角的补角相等；（5）如果a+b=0，那么，；（6）两直线平行，同旁内角相等．分析：因为（1不是对某一件事作出判断的句子，所以1不是命题；在题中的结论一定正确，所以是真命题，（5的结论不一定正确，所以（5假命题．练习：1.下列语句是否是命题,是命题请指出真假命题.(1)两个锐角的和是钝角(2)一个角的补角是锐角或钝角(3)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边,那么这个两个角相等(4)相等的角是同位角(5)若≠b,则a≠b.(6)如果两直线不相交那么这两条直线平行.答案:命题为:全部是假命题例2

指出下列命题的条件和结论.并写将其改写如果…，那么…”形式．(1)平行于同一条直线的两直线平行(2)内错角相等.分析题对符合一定条件的直线作出了是平行线的判断此题的结论是“两直线平行”．而这两条直线应符合的条件是“平行于同一直线”．（）命题对符合一定条件的角作出了相等的判断，所以命题的结论是“两个角相等”，这两个角符合的条件即命题的条件是“两个角是内错角”．解1）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两个角相等；

（2）如果两个角是内错角，那么这两个角相等．练习：2.指出下列命题的条件和结论(1)如果∠∠2=90°,∠∠3=90°,那么∠1=∠3.(2)度数之和为的两个角互为余角.答案：（1条件是：“∠1+2=90°,2+3=90°，结论是：“∠1=3”；（2）条件是：度数之和为90°的两个角，结论是：“互为余角”题型二为什么它平行本考点主要涉及平行线判定公里、定理的应用．多以证明的形式出现．例3

如图,知直线l、l、l被直线l所截，∠，∠∠，求123证：l//l//l．123分析：要证l、l、l平行，可先证明l//l，再证l//l，则l//l//l．1231313证明：因为∠1=72°，∠3=72°所以∠1=3，所以l//l（内错角相等，两直线平行）13又因为∠∠所以∠3+∠所以l//l(同旁内角互补,两直线平行).23所以l//l//l.123练习:3.如图是垂足∠GEC=∠3,求证:AD平分∠BAC.点拨⊥⊥所以∠1=∠E,∠2=3,又∠3=∠E,所以∠1=∠所以AD平分∠BAC.例

如图,已知∠ABC=∠ADC,BF和分别平分∠和∠ADC,∠1=∠2,求证:DE//BF.

分析:要证明DE//BF,根据平行线的判定方法只需证明∠∠3.1证明:因为平分∠ADC,所以∠∠ADC(角平分线定义)21又平分∠ABC,所以∠∠ABC,2又∠ABC=∠所以∠2=∠3,因为∠1=2,所以∠1=3,所以同位角相等,两直线平行)练习:4.如图已知∠ADB=∠求∠C.答案点拨:因为∠∠CBD,所以AD//BC,所以∠∠1,因为∠所以∠题型三如果直线平本考点主要涉及平行线性质公里、定理的应用．此类型的题多以填空或选择题形式出现．例5

如图，已知∠∠，∠∠4，∠∠C，求证：AB//DE.分析:要证AB//DE,先证明∠∠AGD,要证∠∠AGD,因1=∠又要先证∠2=∠AGD;只需证AF//CD,即需∠∠又因∠5=C,故要证∠∠也就要证AD//BC,又因为∠∠4,显然AD//BC.证明:因为∠∠所以∠ADC+∠C=180°(两直线平行同旁内角互补)因为∠5=C,

所以∠ADC+∠5=180°,所以AF//CD(同旁内角互补两直线平行)

所以∠2=AGD(两直线平行,错角相等)所以∠1=AGD.所以AB//DE(错角相等,两线平行).练:5.如图，已知AB//EF,CD//EG,AD//BC,A=120°,∠D=100°,求EFG、、∠GEF的度数．答案点拨：∠，∠，∠．例6

如图，已知AB∥DE,ABC＝∠＝140º,则BCD＝．分析要求∠BCD度数根据已知条件AB//DE可以通过延长ED交BC于E，找到∠ABC和∠CDE与∠的关系．解：延长DE交于，因为AB//ED，所以∠BFD=∠B=80°，又∠BFD+∠CFD=180°，所以∠CFD=120°，又∠CDE=∠BCD+DFC，∠CDE=140°，所以∠BCD=140°-120°=20°．练习：6.如图,若则（）

(A)1=∠2+∠3(B)∠3-∠2∠1+∠∠(D)∠1-∠2+∠3=180°答案:题型四：三角形内角和定理的应用本考点主要涉及利用三角形内角和定理解决有关的证明或求角度问题．例7

如图，已知△ABC中，∠α，角的平分线BE、CF交于求证：∠BOC=90°+

12分析:∠与已知角不在一个三角形中要建立∠与∠A的关系,需应用三角形内角和定理,通过∠与∠OCB建立它们之间的联系证明:因为BE、分别是角的平分线，所以∠OBC=

11∠ABC，∠OCB=∠ACB，22所以∠BOC=180°-

12

∠ABC+∠ACB)(三角形内角和定理)又∠ABC+∠A(三角形内角和定理1111所以∠BOC=180°-∠∠A=90°+∠A=90°+α2222练习:7.如图已知△ABC中∠C>∠B,AD是高,AE是∠BAC平分线.求:∠EAD=

12

∠B-C).答案点拨:因为ADBC,所以∠∠所以∠∠B-∠2,∠∠C,因为∠1=2+∠3,所以90°-∠B-∠2=90°-∠∠2,1所以22=∠C-∠即∠EAD=(∠C-∠B).2例8

如图,分别是∠DCA、∠平分线，求证：∠

12

（∠A+∠D

分析：观察图形可以发现∠∠PEB+∠D+∠DCE+∠DEC=180°，而DEC=∠PEB，由此找到∠∠D的关系，同理找∠∠A的关系．证明：因为分别是∠DCA、∠平分线，所以∠1=2，∠3=∠4因为∠∠∠PFC=180°，∠∠AFB+∠，∠PFC=∠AFB，所以∠∠∠A+∠4，（1）又∠∠∠PEB=180°，∠∠DEC+∠∠DEC=∠，所以∠∠∠D+∠1，（2）（1）+22P+∠∠∠∠D+∠4+∠1，又∠2+3=∠∠，所以2P=∠∠D，1所以∠(∠∠D).2练习:8.已知:如,分∠CAB,CE平分∠ACD.求证AE⊥答案点拨:因为AB//CD,所以∠BAC+∠因为AE、分别平分∠BAC、∠ACD，所以∠EAC+∠，所以∠E=90°，所以AE⊥．题型五：关注三角形的外角本考点主要涉及三角形的外角与内角关系在证明题中的应用．以及利用外角与内角的关系求角的度数．

例9

如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥于D，是AD上一点.证:∠∠C.分析:∠∠没有直接的联系,但∠BED、∠C都与∠BAC有关,因此可以用∠BAC作中间量进行过渡证明:在△ABC中,∠ABC+∠因为⊥BC,以∠在△ABD,所以∠ABC+∠所以∠∠因为∠BED>∠BAD(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)所以∠BED>∠C.练习:9.如图已知BCD在一直线上，、A在一直线上，交AB于F点求证:∠∠答案点拨:因为∠∠BAC,∠BAC>∠1,所以∠2>∠1.例如图，在ABC中，，AD⊥D，BF平分∠交AD于E点，交AC于点.求证:∠∠分析要证明∠∠可以利用三角形的外角和内的关通过等量代的方式求证.

证明:因为∠BAC=90°,所以∠