2023年高考数学一轮复习新课标版理科作业题组层级快练51-60

题组层级快练（五十一）

1.（2022•豫北名校联考）已知直线〃?U平面a,则“直线L平面a”是“直线△〃?”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析充分性：；直线/，平面a,垂直于平面a内所有直线,

又•..直线〃?U平面a,...直线/，直线用，充分性成立;

必要性：若机且直线，"U平面a,则直线/_L平面a不一定成立，必要

性不成立.故选B.

2.如图，三棱柱ABC-AiBCi中，侧棱A4垂直于底面48iG，底面三角

形4SC是正三角形，E是8C的中点，则下列说法正确的是（）

A.CG与SE是异面直线

B.AE与8C是异面直线，且血L与©

C.AC_L平面4MA

D.AiCi〃平面ABiE

答案B

解析对于A,CG,SE都在平面8BCC内，故错误；对于B,AE,BiG为在两个平行

平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，£是BC中点，所以AE与BiG

是异面直线，且又故AELBiG,故正确；对于C,上底面ABC是一

个正三角形，不可能存在AC,平面ABBiA,故错误；对于D,4G所在的平面与平面ASE

相交，且4G与交线有公共点，故错误.

3.如图，在四面体ABC。中，已知AB_LAC,BD1.AC,那么。在平面4BC内的射影”必

在（）

A.直线AB上B.直线BC上

C.直线AC上D.ZVIBC内部

答案A

解析由AB_LAC,BD1AC,XABHBD=B,AB,BOU平面A8O,则AC_L平面A8O,

而ACU平面ABC,则平面A8C_L平面AB。，因此O在平面ABC内的射影“必在平面ABC

与平面ABO的交线AB上.故选A.

4.如图，AC=2R为圆。的直径，NPCA=45°,也垂直于圆。所在的平面,

8为圆周上不与点A,C重合的点，45_LPC垂足为S,ANJ_PB垂足为M

则下列结论不正确的是（）

A.平面ANS_L平面PBC

B.平面4VSJ_平面以B

C.平面平面尸BC

D.平面A8C_L平面%C

答案B

解析因为以_L平面ABC,BCU平面ABC,所以附J_8C,又4B_LBC,PAHAB=A,PA,

PBU平面加B,所以BC_L平面B4B,又ANU平面ABP,所以BC_LAN,又因为AN_LP8,

BCCPB=B,PB,BCU平面P8C,所以ANJL平面尸BC,又ANU平面ANS,ANU平面南B,

所以平面AVS_L平面PBC,平面以8_L平面PBC,所以A、C正确，D显然正确.故选B.

5.（2022・武汉模拟）如图，在正四面体P-A8C中，D,E,F分别是A8,p

BC,C4的中点，下面四个结论不成立的是（）//\\

A.BC〃平面PDFAZA：；.\\c

B.。口L平面必E

C.平面P£）F_L平面物EB

D.平面P£>E_L平面48c

答案D

6.如图所示，在四边形ABCQ中，AB=AD=CD=\,BD=®B£>_LCD将四边形ABC。

沿对角线8。折成四面体A'—BCD,使平面A'8。_L平面BCD,则下列结论中正确结论

的个数是（）

①A'C±BD；②NBA'C=90°；③C4'与平面A'80所成的角为30。；④四面体4'一

BCD的体积为;.

A.0B.1

C.2D.3

答案B

解析"：AB=AD=CD^\,BD=y[2,：.ABLAD,

•.•平面A'8。_1_平面8。9,BDVCD,平面A'BQC平面BCQ=BZ),

...C£>_L平面A'BD,

取BO的中点。，连接。4'(图略)，

"：A'B=A'D,/.A,OLBD.

又平面A'BO_L平面8cZ),平面4'BOA平面BC£>=8£>,A'OU平面A'BD,

.,.A'O_L平面BCD又

；.OC不垂直于BD.

假设4'C1.BD,：OC为4'C在平面BC。内的射影，

：.OC±BD,与0c不垂直于B。矛盾，故①错误；

由C£)_L平面A'BD,又4'BU平面4'BD,

：.CD±A'B.

VA,B=A'。=1,BD=y[2,

，A'BLA'D,XCDDA'D=D,CD,A'OU平面A'CD,

：.A'B_L平面A'CD,

又A'CU平面A'CD,

.♦.A'B±A'C,故②正确；

ZCA'。为直线C4'与平面A'8。所成的角，ZCA'0=45°,故③错误；

VA，-BCD=VC-A,BD=3SAX,BD*CD=^,故④错误.故选B.

7.如图，四棱锥S—ABCQ的底面为正方形，底面A8CZ）,则下列

结论中不正确的是（）

A.ACrSB

B.AD±SC

C.平面SAC_L平面SB。

D.BD1SA

答案D

解析本题考查空间中线线、面面垂直的判断，三垂线定理的应用.由SO,底面ABC。，

得SB在平面ABC。内的射影为。8.又08与AC垂直，所以SBJ_AC,A正确；由SC在平

面A8CD内的射影OC与AO垂直，得SC_LA。，B正确；由AC_LS8,AC1BD,SBCBD

=B,可得ACJ•平面S3。，从而有平面S4cl.平面SBZ）,C正确；若BOJ_S4,则B。垂直

SA在平面A8CO内的射影D4,与已知条件矛盾，D错误.故选D.

8.在正方体ABC。-4B1GA中，P,。分别为棱8c和棱CG的中点，则下列说法不正确

的是（）

A.BG〃平面AQP

B.平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形

C.A1O_L平面AQP

D.异面直线QP与4G所成的角为60°

答案C

O,C,

解析本题考查线面平行的判定、正方体的截面、线面垂直的判定以及异4,8一^

面直线所成角的求解.如图，因为p,。分别为棱BC和CG的中点，所

以BG〃尸。.又平面AQP,所以平面AQP,故A正确；连接卜..*汉四^

AD},D}Q,由A知BG〃尸。，又8G〃A。，所以PQ〃A。］.又由已知条

件得AQ=AP,所以等腰梯形APQ2即为平面AQP截正方体所得截面，故B正确；由正

方体性质知AQ_L平面A8C1A,假设■平面AQP,则平面平面4QP,与平

面ABGOiC平面AQP=AQi矛盾，故C错误；连接48,由A知BG〃PQ,所以N4GB

为异面直线QP与4G所成的角.因为△4GB为等边三角形，所以/AiC8=60°,故D

正确.故选C.

9.如图，已知六棱锥P-ABCD£F的底面是正六边形，朋_L平面ABC,PA

=2AB,则下列结论：/p\K

®PB±AE；②平面A8CL平面PBC；③直线BC〃平面B4E；④/PD4/IA

=45°.A

其中正确的有（把所有正确结论的序号都填上）.

答案①©

解析对于①，因为朋_L平面ABC,所以以_LAE,又E4_LAB,PAC\AB=A,所以E4_L

平面%B,从而可得EA_LP8,故①正确.对于②，由于出1.平面A8C,所以平面ABC与

平面PBC不可能垂直，故②不正确.对于③，由于在正六边形中BC〃A£）,所以BC与EA

必有公共点，从而BC与平面以E有公共点，所以直线BC与平面办E不平行，故③不正确.对

于④，由条件易得△物。为直角三角形，且以1AD,又用=2AB=AQ,所以NPD4=45°.故④

正确.综上，①④正确.

10.（2022.重庆检测）如图所示，在四棱锥P-4BCO中，出_L底面ABC。，

且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_______时，平面

MB。_L平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可），义fC

答案£＞用，/＜（或8知_1_/＜等）A’'B

解析底面ABC。，：.BD±PA,连接AC,贝《B£）_LAC,且EA4C=A,PA,ACC

平面PAC.

平面办C,：.BDLPC,

：.当£）MJ_PC（或BMJ_P。时，

由8On£）M=Z）（或B£）ri2M=B）,即有尸C_L平面MB£＞,而尸CU平面PC。，

二平面平面PCD.

11.如图所示，ZACB=90°,OA_L平面ABC,AELDB交DB于E,AFX.。

0c交。C于F,且AO=A8=2,则三棱锥。一AEF体积的最大值为.\\

答窠*

解析因为D4_L平面ABC,所以D4_LBC,XBCLAC,D4nAe=A,所

以BCJ_平面AOC,所以BC_L4F,又4尸，CD,BCHCD=C,所以A凡L平面。C8,所以

AFVEF,AF1DB,XDBLAE,AEDAF=A,所以£>8_L平面AEF,所以DE为三棱锥。

一AEF的高.因为AE为等腰直角三角形A8Q斜边上的高，所以DE=AE=巾,设人/二”，

11a2+b2121

7

FE=b,贝U/+〃=2,△A£7的面积5=5乙曲4乙•—乙5—=5乙X乙5=乙5,所以三棱锥D—AEF

的体积啦=*（当且仅当a=b=\时等号成立）.

12.如图，S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面圆。的直径，点C在圆锥底面

圆。上，。为8C的中点.

⑴求证：平面SOO_L平面S8C；

（2）若ASAB为正三角形，且BC=2AC=4,设三棱锥S-ABC的体积为V,,

圆锥的体积为吻，求色的值.

y\

5n

答案⑴略（2）丁

解析（1）证明：由已知可知，SOJ_底面圆。，

•..8。在底面圆。内，；.8（?，50,

•点C在底面圆。上，C.ACA.BC,

又点。，点。分别为AB,BC的中点，S.OD//AC,：.ODVBC.

又oz）nso=o,且0。，sou平面SOO,：.BC_L平面S。，

又BCU平面SBC,：.平面SOD±平面SBC.

⑵；8C=2AC=4,AB^yjAC2+BC2^yj42+22^2邓,

.1△SAB是边长为24的正三角形，

.•.50=坐义2小="

/.VI=|XSAA«CXSO=:1X^X2X4X^/15=1V15,

V2=|x31义（小）2><正=5臂”,

5仃一

.V235Ji

13.如图，矩形ABC。所在平面与半圆弧C。所在平面垂直，M是半圆弧

上异于C,。的点.幺穿膏）C

（1）证明：直线。A/_L平面BMC；A'B

（2）在线段AM上是否存在点P,使得MC〃平面尸8。？说明理由.

答案（1）略（2）P为4M的中点，理由略

解析（1）证明：由题设知，平面CATO_L平面A2C。，交线为CD

又因为BCJ_CO,BCU平面ABCO,所以BC_L平面CMD,故BCL。例.

因为“为半圆弧上异于C,。的点，且0c为直径，所以。MLCM.

又BCCCM=C,且BC,CMU平面BMC,所以。M_L平面BMC.

（2）当P为AM的中点时，MC〃平面P8D

证明如下：如图，连接4c交B。于点0.

因为四边形ABC。为矩形，所以。为AC中点.

连接。尸，因为「为AM中点，

所以MC//0P.

又因为MCC平面PBD,0PU平面PBD,

所以MC〃平面PBD.

[回重点班•选瓯

14.（2022・衡水中学调研卷）在正方体48c£>-4BCQi中，M,N分别为8],C。的中点,

有以下命题：①MN〃平面48。；②MN_LCOi；③平面A|MN_L平面A|AC,则正确命题的

序号为.

答案①②

解析①方法一：如图1,取BC的中点E,连接ME,NE,

易知平面〃平面4BQ=MN〃平面A\BD.

方法二：如图1,连接AS交A出于点产，

连接。尸，FM,在正方体AG中，

MF统DNnNM〃DF=NM〃平而Ag图1

②如图2,取CCi中点H,连接NH,

易得NH为在平面DCC\D\内的投影,

D£LNH=CD」MN.

（三垂线定理）

③如图3,取8c的中点E,连接NE,BD,易得BZ）_L平面4AC,NE//BD,

平面A\AC.

延长AiM交AB的延长线于点Q,

连接NQ,N。即为平面与底面的交线.

由题知BQ=AB=2NC,

易知E在NQ,即NEC平面4MM

平面4MN与平面A\AC不垂直.

15.（2022•惠州市模拟）在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=2,过4点作C£>的垂线交CD

的延长线于点E,46=小.连接E8交AO于点尸，如图1,将△AOE沿AO折起，使得点E

到达点尸的位置，如图2.

（1）证明：直线AD_L平面BFP；

⑵若G为PB的中点，〃为CE）的中点，且平面AOPL平面A8C。，求三棱锥G-8CH的

体积.

3

答案⑴略（2）讳

解析（1）证明：如题图1,在中，AB=3,AE=小,

：.ZAEB=60°且BE=2小.

•..△AOE是直角三角形，:.DE=qAD2—AE2=l,.•.第=矍=乎.

：/AEC=NBAE=90°,

：.ABAE^/\AED,：.ZEAD=ZABE=90°-60°=30°,

ZDAB+ZABE^ZDAB+Z£AD=90°,：.BE±AD,

故在题图2中，PFLAD,BF±AD,PFHBF=F,且BF,P尸U平面BFP,二4。，平面BFP.

（2）：平面AOP_L平面A8CD,且平面AOPC平面A8CD=A£>,PFU平面AOP,且由（1）知

PF1AD,

.•.PF_L平面ABCD.

方法一：如图，取B尸的中点为0,连接G0,则GO〃PF,且GO=g

PF,

：.GO_L平面ABCD,即G。为三棱锥G-BCH的高，G0=1pF=|«4sin

30°

4-

・・厂口1门二3.1rj1v3r-3s

・CH=^DC=y..S^BCH=2CH•\3=2X2X^3==-4,

3小“小3

=•GO=1x

•0•VG-BCH44-16-

方法二：；G为PB的中点，.•.三棱锥G-BCH的高等于;PF.

易得PF=%sin30。=坐

,:H为CQ的中点，.,.△BCH的面积是四边形ABCQ的面积的;,

二三棱锥G-BCH的体积是四棱锥P-ABCD的体积的《

O

Vp-ABCD=^AHCD,PF=gx3小X坐=：,

133

三棱锥G-BCH的体积为

o2lo

题组层级快练（五十二）

1.已知向量4=（1,1,0）,%=（—1,0,2）,且痴1+B与2〃一b互相垂直，则左的值是（）

A.1B.2

C.jD.1

答案A

2.如图所示，在平行六面体ABC。-ABiGDi中，M为4G与BQ的交点.若矗=a,AD

=b,A4,=c,则下列向量中与前相等的向量是（）

ac,

AB

B.1a+于+c

D.^a—^b+c

3.若Q=(2,3,m),b=(2n,6,8),且a,〃为共线向量，则机+〃的值为()

5

A.7B，2

C.6D.8

答案C

3

机

得

.-一

解析由a,b为共线向量,68解得m=4,〃=2,则加+〃=6.故选C.

4.（2022•西安五校联考）在空间四边形A8CZ）中，AB-CD+AC-DB+AD-BC^（）

A.-1B.0

C.1D.不确定

答案B（）

5.已知空间四边形OA8C,其对角线为。8,AC,M,N分别是边OA,CB/\

的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN,如图，则正确用向量为i,'C

OB,无表示向量论的是（）B

A.dG=dA+^OB+^dc

B.<?G=15A+1OB+|C>C

C.OG=yOA+^OB+{oC

033

D.5G=7OA+7OB+1(?C'

633

答案C

解析连接ON.dh=BM+祓7

^OA+^ON-OM)

1一2<1-*1-*1-*

=20A+石。3+2。。—/OA

1-►1—►1-A

=心4+]08+亚心故选C.

6.如图所示，正方体ABC4一4BCQ1的棱长为a,M,N分别为4B和

AC上的点，AiM=AN=华,则MN与平面BBCC的位置关系是()

A.相交B.平行

C.垂直D.在平面B5GC内

答案B

解析•.•曲=必1+启+而

=；2Ai+AiA+；启

]-►-A-A1-A-A

=Q(8I4~BlB)+BiB+^AB+AD)

2—1―

：.MN,加B,873共面.

又MNQ平面BBCC,

；.MN〃平面BB\C\C.

7.直线/的方向向量a=(l,-3,5),平面a的法向量n=(—1,3,-5),则有()

A.I//aB./1a

C./与a斜交D./Ca或/〃a

答案B

解析因为a=(1,—3,5),〃=(—1,3,—5),

所以a=—",a//n.

.,./_1_平面a.故选B.

8.如图，二面角a—/一夕为60°,A,B是棱/上的两点，AC,8。分别

在半平面a,£内,ACA.I,BDA.I,且AB=AC=mBD=2a,则CD

的长为()

A.2aB.y[5a

C.aD.yfia

答案A

解析,：ACLl,BDLl,：.{AC,而〉=60°,且证•函=0,•BD=0,'：CD^CA+

AB+BD,

|CD\=\l(CA+AB+BI))2

—y]a2+a2-\-(2a)2+2a-2acos120°=2a.

9.给定两个不共线的空间向量a与4定义叉乘运算：aX。，规定：①为同时与a,b

垂直的向量；②a,b,aXb三个向量构成右手系(如图1)；③心义臼=|训臼•sin<a,b>.如

图2,在长方体ABCD-48iGZ)i中，AB=AD^2,A4i=4,则下列结论不正确的是()

\.ABXAD=AA\

B.ABXAb=ADXAB

C.(Ai+AD)XAA^ABXAAi+ADXAAi

D.长方体A8C£>—A|8iG£)i的体积V=(魂

答案B

10.已知A,B,C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足原=好+浙

2-

+ffiC,则点M_______(填“在”或“不在")平面ABC内.

答案在

11.若a=(l,1,0),0,2),则与a+Z>同方向的单位向量是

答案(。,李,平)

12.如图，四棱锥P—A8C。中，用_L底面ABCD,底面A8CD为梯形，AD//

BC,CD1.BC,AO=2,AB=8C=3,PA=4,M为4。的中点，N为PC上

的点，且PC=3PN.求证：MN〃平面B4B.

答案略

证明方法一：

如图，在平面P8C内作NH〃8c交P8于点H,连接AH,在△PBC中，NH//BC,且NH

=1fiC=1,AM—^AD=1,

又AD〃BC,...%，〃4用且'//=4加,

四边形AMNH为平行四边形，

：.MN//AH,

又A”U平面MN4平面B4B,

；.MN〃平面PAB.

方法二(向量法)：

在平面ABCD内作AE〃C。交BC于点E,则AELAD.

分别以A£,AD,AP所在直线为x轴、)，轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,

0,4),M(0,1,0),C(2隹2,0),A(嗜j,|)，BQ®-1,0),A(0,0,0),

故疝=(平，AP=(0,0,4),矗=(2®-1,0).

设加=加通+〃崩，

二呼，4'2(2啦,-1,0)+〃(0,0,4),

12———

n=2>:.MN,AB,4P共面.

二血〃平面FAB.又MNQ平面PAB,

：.MN〃平面PAB.

方法三(法向量)：

建系写点坐标如方法二.

、一一f4zi=0,

设机=(xi,yi,zi)为平面PAB的一个法向量，则由in±AP,得J广

[2^2x1—yi=0,

fzi=0,

lyi=2y[2x\.

令Xi=1,则,〃=(1,2y[2,0).

.,.MN,/n=^^XI—；X2"\/5+/XO=O.

；.m1MN,二疯〃平面PAB.

又M/W平面PAB,：.MN//平面PAB.

13.如图所示，正三棱柱ABC-A山Ci的所有棱长都为2,。为CG的中A______

点.求证：ABi_L平面AID/\\//?\

答案略姓妙

证明方法一：取8c的中点0,连接AO.

:△ABC为正三角形，：.AO±BC.

・・•在正三棱柱ABC—4B]G中，平面ABC1平面BCGB],平面A8CA平面8CG81=8C,

A0U平面ABC,・・.A0_L平面BCC\B\.

取31G的中点。1,连接。。，以。为原点，6B,OO],后的方向分别为X,y,Z轴的正

方向建立空间直角坐标系，如图所示，则3(1,0,0),D(-l,1,0),Ai(0,2,小)，A(0,

0,小)，Bi(l,2,0).设平面43。的法向量为〃=(x,y,z),BAi=(-l,2,小)，访=(一

2,1,0).

->—»/1BAi=0,

则〃_L8Ai,nA.BD,故,

“砺=0.

f-x~\~2y-\-yf3z=0,l

1•I令x=1,则y=2,z=—y[3.

〔一2r+y=0,

故篦=(1,2,一小)为平面43。的一个法向量，而泰]=(1,2,一木)，即施]

〃凡・・.A8i_L平面A]8D

方法二：设平面A\BD内的任意一条直线机的方向向量为/n.由共面向量定理，得存在实数，,

〃,使m=XBA]

令BS=a,BC=b,BA=c9显然它们不共面，并且⑷=|b|=|c|=2,ab=ac=0fbc=2,

以它们为空间的一个基底，则位i=a+c,BD=^a+b,AB\=a—c9m=XBA\+PBD=

(4+%)+/必+2。,AB]・m,=(Q-c>(4+))+〃6+舵]=4(4

m,结论得证.

方法三：基向量的取法同上.

VABi,BAi=(a—c)-(a+c)=|a|2—|c|2=0,

AB\・BD=(a—c)\^a+b•c-bc^O,：.ABi±BAi,AB\VBD,即AB\V

BAi,ABilBD,由直线和平面垂直的判定定理，知A8iJ_平面4BD

I重点班•选做题］

14.（2022•山东潍坊市模拟）如图，棱柱ABCD-A\B\C\D^的所有棱长都等于2,ZABC和

NAiAC均为60°,平面A4GCJ"平面A8CDn

⑴求证：BDLAAn

⑵在直线CG上是否存在点P,使8P〃平面D4|Ci，若存在，求出

点P的位置，若不存在，请说明理由.取

答案略

解析（1）证明：设与AC交于点。，

则8O_L4C,连接40,

在△AA|。中，AA|==2,AO=1,N4|AO=60°,

所以A|O2=A4|2+AO2-2A4|•AOcos60°=3,

所以

所以AtOLAO.

由于平面A4CC_L平面ABCD,

且平面AAJGCCI平面ABCD=AC,

4OU平面A4CC,

所以4。_1_平面ABCD.

以OB,OC,04所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系，

则40，-1，0）,仇小，0,0）,C（0,1,0）,。（一书,0,0）,

A|（O,0,小），G（o,2,小）.

因为应）=（一2小，0,0）,筋i=（0,1,小），

所以看।•而=0X（—2小）+1X0+小X0=0,

所以砺_1_筋1,即BOJ_A4.

（2）假设在直线CG上存在点P,

使BP〃平面DA\C\,

设P（x,y,z）,

则（x,y-l,z）=A（0,1,小），

即x=0,y=k+1,z=小人.

从而有P(0,1+A,小4),BP=(-yf3,1+A,小4).

设平面。4G的一个法向量为〃=(xi,yi,zi),

tt'A\C\=0,

则<

n-DA]=0f

XA<i=(0,2,0),函尸(小，0,小),

f2yi=0,

则1,厂取〃=(1,0,-1),

1小r内+小zi=0,

因为BP〃平面DAiCi,

所以nVBP,

即,•丽=一小-54=0,

解得A——1,

即点P在GC的延长线上，且CP=CG.

题组层级快练(五十三)

1.(2022・沧州七校联考)如图，在正方体A8CZ)—AjBiGOi中，M,N,

别为棱A。，CG，4G的中点，则5P与MN所成角的余弦值为(

A甄B」

A,105

C®D1

10

答案A

解析如图所示，以A为原点，分别以AB,AD,A4i所在的直线为x,

z轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2,则例(0,1,0),N(2,2,1),BQ0,2),P(0,

2),所以b>=(-2,1,0),MN=(2,1,1).

设…―需工噜

即BF与MN所成角的余弦值为曙.故选A.

2.(2022・重庆诊断)如图所示，在三棱柱ABC—AiBiG中，△ABC是等边三

角形，4411.平面ABC,44i=AB=2.O,E,尸分别是8自，44”4G的中

点，则直线EF与C。所成角的余弦值为()

A.|B坐

1

C.2D.0

答案D

解析方法一：分别延长4G,AC至M,N,使GM=AG,CN=AC,连接AC,CM,

DM,BiM,B\F,MN,如图所示.

由题意，易知EF//ACt//CM,CD=本,CM=2y[2,DM=\j+BiM2KBi»+BF+FM?

—y]l2+(y/3)2+32—y[13.

设直线E尸与C£)所成角为仇

CD2+CM2-DM2(小)2+(2业2-(y/13)2

易知cose=|cosNDCM=-2CD•CM=2X邓X2小

直线EF与CO所成角的余弦值为0.故选D.

方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等.

取PB中点Q,连接DQ,由棱柱性质易知EF//DQ,：.ZCDQ为EF

和C。所成的角或其补角.连接C。，由题知BC=2,8。=1,BD=1,

：.CD=y[5,DQ=y[2,又/CBQ=120°,二在△CB。中，由余弦定理

可得CQ2=22+12-2X2X1X(-£)=7,..，。二巾.

在△CQQ中，CQ2=C£>2+OQ2=7,ZCZ>2=90°,

和CD所成角的余弦值为0.故选D.

方法三：如图，以A为原点，以过点A垂直于平面ACG4的直线为x轴,

以4c所在直线为y轴，以A4所在直线为z轴建立空间直角坐标系.

由AAi=AB=2,/XABC为正三角形，D,E,F分别为BB\,A41.A,C,

的中点，得E(0,0,1),F(0,1,2),C(0,2,0),£>(小，1,1),

：.EF=(0,1,1),历=(/,-1,1).

'：EF'CD=0-l+l=0,

：.EF±CD,

:.EF与C£）所成角的余弦值为0.故选D.

3.如图，已知棱长为2的正方体ABC。一AiBCi。，点E为线段CA的中

点，则直线AE与平面48cA所成角的正切值为（）

答案A

解析连接AS,设AS与AiB交于点F,易知APJ_A山，AFYBC,且AiBCBC=B,所以

Ap

平面.连接EF,则是直线与平面山所成的角，

AF_LAIBCCINAEFAEACAtanNAEF=nr^=

乎故选A.

4.（2022.辽宁省部分重点高中联考）已知圆锥SO的底面半径为，，当圆锥的体积为田山3

时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）

B坐

D坐

答案A

y[2

解析本题考查圆锥的结构特征以及圆锥的体积.设圆锥的高为/2,由圆锥的体积为手冗

得,九解得人=乎2+7=坐二设圆锥

的母线与底面所成角为a,则sin竽.故选A.

5.（2022・临沂市调研卷）如图，已知尸是矩形ABC。所在平面外一点，PAL

平面ABC£>,E,尸分别是AB,PC的中点.若NPD4=45°,则EF与平

面ABCD所成角的大小是（）

A.90°B.60°

C.45°D.30°

答案C

解析如图，取尸。中点G,连接AG,FG,

VE,尸分别为A8,尸C的中点,

：.AE=^AB,GF〃£>C且GF=3）C,

又：在矩形4BC£>中，AB〃C。且AB=C£>,

：.AE//GFS.AE=GF,

：.四边形AEFG是平行四边形，

：.AG//EF,

：.AG与平面ABC。所成的角等于EF与平面ABCD所成的角,

:附1.平面ABC。，AOU平面4BCD,：.PA±AD.

过G作GHL4Q,垂足为H,G/7U平面也。，则G”〃必，

；.GH_L平面ABCD,

：.ZGAH为AG与平面AHCD所成的角，

；/PD4=45°,G为P。的中点，

/.ZGAH=45°,

即EF与平面48CO所成的角为45°.故选C.

6.如图，圆柱0。2的底面半径为1,高为2,AB是一条母线，8。是圆01的直径，C是上

底面圆周上一点，/CBO=30°,则异面直线AC与8。所成角的余弦值为（）

.3而

A-3F

C^L

14

答案C

解析连接A02（图略），设A02的延长线交下底面圆周于点E,连接CE,易知/CAE即为

异面直线4c与8D所成的角或其补角，连接CD,在RtaBC。中，ZBCD=90°,BD=2,

NCBD=30°,得BC=小，CD=1.又AB=DE=AE=BD=2,AC=^AB1+BC1=^,CE

222

I_k——；r上AC+AE~CE7+4-53由nn

=yjDC2+DE2=y[5,所以在中，cos—i-2/；而一=2X小X2=^，即

异面直线4c与8。所成角的余弦值为蛙.

7.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所

示，ZB=ZF=90°,ZA=60°,ZD=45°,BC=QE.现将两块三角板拼接在一起，取

8C中点0与AC中点M,则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是（）

答案B

解析本题考查直线与平面垂直的判定定理，直线与平面所成角.因为0,历分别为BC,

AC的中点，所以。所以0M_LBC.又。尸_L8C,且0MC0F=。，所以BC_L平面

0MF,所以8尸，CF与平面。尸M所成的角分别为/8尸0和/CF0,它们相等，均为45°.

根据直线与平面所成角的定义知，AC与平面。尸M所成的角为NCMO=NC48=60°.故只

有A尸与平面。尸M所成的角不为定值.

8.（2021•山东青岛期末）如图,正方体ABCD-AiBiG如的棱长为1,则下

列四个结论不正确的是（）

A.直线BC与平面A8CQ1所成的角为？

B.点C到平面A8CB的距离为日

JI

C.异面直线。|C与BC1所成的角为彳

D.三棱柱AAQi—88G外接球的半径为坐

答案C

解析本题考查异面直线所成角、线面角、点到平面距离及外接球问题.正方体ABC。一

A/CiA的棱长为1,直线BC与平面ABG。所成的角为/CBG=?,故A正确；连接

BC由BiCIBCi,BiCLAB,BCiHAB=B,得8jC_L平面ABCiDi,所以点C到平面ABCiDi

的距离为BC长度的一半，即乎，故B正确；因为BG〃AA,所以异面直线AC与BG

所成的角为/AQC,连接AC,则△AAC为等边三角形，故异面直线。C与BG所成的角

为±故C错误；三棱柱A4S—BBC的外接球也是正方体ABC。一4由©。|的外接球，

故外接球半径为'-2——=2）故D正确.故选C.

9.（2022・武汉模拟）已知四棱锥尸一438的底面是菱形，ZBAD=60°,PQ_L平面ABCQ,

且PO=AB,点E是棱AO的中点，/在棱PC上.若PF：/C=l：2,则直线EF与平面

ABCD所成角的正弦值为.

答案嘴

解析如图，以。点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dvyz.

设菱形A8CD的边长为2,则£)(0,0,0),E再,0),《0,1,

所以访=(一坐,看,

又平面4BC4的一个法向量为“=(0,0,1),

即直线EF与平面A8C。所成角的正弦值为4"、/紫35

10.如图，四边形A8CD是正方形，附，平面A8CD,%〃EB,且以=AB

=3.

⑴求证：CE〃平面％£＞：

(2)若以求直线尸。与平面PCE所成角的正弦值.

答案⑴略⑵坐

解析(1)证明：因为四边形ABC。是正方形，所以BC〃AD

又ACU平面力。，BCC平面以。，所以BC〃平面也D

同理可证EB〃平面PAD.

因为8CnEB=8,所以平面EBC〃平面BAD

又因为CEU平面E8C,所以CE〃平面以D

(2)以A为原点，分别以A。，AB,AP所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系.

因为以=AB=3,所以8E=；%=1,则P(0,0,3),D(3,0,0),C(3,3,0),E(0,3,

1).

所以历=(3,0,-3),记=(3,3,-3),走=(0,3,-2).

设平面PCE的法向量为帆=(x,y,z),

机PC=3x+3y—3z=0,

则j'令z=3,得机=(1,2,3).

,mPE=3y—2z=0,

设直线P。与平面PCE所成的角为。，

I丽•加正

所以sin0=-----------=亍，

\PD\\m\

即直线与平面PCE所成角的正弦值为乎.

11.如图所示，在四棱锥P—ABCO中，AP=PD=DC^CB^\,A8=2,NAPD=/DCB=

ZCBA=90°,平面南。，平面A8CD

(1)求证：PB=PC；

(2)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.

答案⑴略⑵半

解析本题考查线面垂直、面面垂直、直线与平面所成的角及空间向量的应用.

(1)证明：设AO,BC的中点分别为。，E,连接P。，OE,EP,如图，

依题意可知OE为直角梯形ABCO的中位线，故OELBC.

又平面B4£>_L平面ABCD,平面30n平面A8CD=A£>,依题意可知尸O_LAO,

所以POJ_平面ABC。，又BCU平面ABC。，则POJ_8c.

又POCOE=O,