2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第09讲：斜率问题一含解析

2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第09讲：斜率问题一（解

析版）第九讲：斜率问题（一）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；

应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系的判断，斜率的求解；

拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生

的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、直线与圆锥曲线的位置关系

设直线/:Ar+8），+C=O,圆锥曲线C"（x,y）=O,把二者方程联立得到方程组，消去y（x）得到一

个关于x（y）的方程ar?+bx+c=0（ay2+by+c-0）.

（I）当时，

/>（）0方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；

/=0=方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；

/<（）。方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.

（2）当a=0时，方程为一次方程，若6x0,方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；

若匕=0,。工0,方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.

2、圆锥曲线的中点弦问题

x2y2

2

（1）AB为椭圆r+T=1（。>8>0）的弦，A（X］，X）,5（X2，%），弦中点M（x。，泗），则45所在直线的

a'b~

斜率为k=-i，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心0的连线的斜率之积为定值.

"o。

22

（2）AB为双曲线「—当=1（a>0/>0）的弦，4（菁,必）,8（9,力），弦中点M（xo,yo），则A8所在直线

Q_b~

的斜率为4=1•,弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心0的连线的斜率之积为定值r.

a~y0a-

(3)在抛物线y2=2px(p>0)中，以M(xo,yo)为中点的弦所在直线的斜率A=旦.

丫0

【考点剖析】

考点一：位置关系(交点个数)

例1.已知抛物线C：/=2px(p>0)的焦点尸到准线的距离为2,过点产(0,1)的直线/与抛物线C只有一个

公共点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求直线/的方程.

变式训练1：已知0,F分别是抛物线的顶点和焦点，动点M与点0的距离是它与点F的距离的一

半.

(1)求动点M的轨迹；

(2)若过点(2,2)的直线1与动点M的轨迹有且只有一个交点，求直线1的方程.

22

变式训练2：已知双曲线C：方=1(“>0,6>0)的焦距为4,且过点卜3,2#).

(1)求双曲线方程；

(2)若直线/：y=丘+2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数出的值.

变式训练3：在平面直角坐标系X。)，中，已知点P到两点M(百,0),N(-百,0)的距离之和等于4,设点P的

轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程.

(2)若直线y="+2与曲线C有公共点，求实数左的取值范围.

考点二：中点弦公式(椭圆：点差法)

例1.已知椭圆。:鸟+耳=1(°>8>0)的离心率为巫，点(2,扬在C上.

ab22

(1)求C的方程；

(2)直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A8,线段AB的中点为〃.证明：直线的

斜率与直线/的斜率的乘积为定值.

变式训练1：已知动点P与平面上点例(-1,0),N(1,O)的距离之和等于20.

(1)求动点尸的轨迹C方程；

(2)若经过点E(l,g)的直线/与曲线C交于A,5两点，且点E为A8的中点，求直线/的方程.

22

变式训练2：已知椭圆E：孑+方=l(a>b>0)的左,右焦点分别为6，尸2，点M(3,l)在E上，且

制+|M段=46.

(1)求E的标准方程；

⑵若直线1与E交于A,B两点，且AB中点为尸(-2,1),求直线1的方程.

丫2v2

变式训练3：已知椭圆3+}=l(a>6>0)的左、右焦点分别为K，工，过鸟且与*轴垂直的直线交椭圆

于点尸，直线P片与y轴的交点为［

(1)求椭圆的离心率；

(2)过点M(2,o)且斜率不为。的直线/交椭圆于A、B点，线段A8的中点为点。，求证：直线/的斜率与

直线。。的斜率的乘积为定值.

考点三：中点弦公式(抛物线：点差法)

例1.已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为F,第四象限的一点尸(2,%)在C上，且归q=4.

(1)求C的方程和m的值；

(2)若直线1交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为(1,1),求直线1的方程及线段AB的长.

变式训练1：已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，直线/交抛物线于M、N两点.

(1)若直线/过点F且NxFM=60。，求|月0|；

⑵若尸(2,1)平分线段MN,求直线/的方程.

变式训练2：已知抛物线C.y2=2px(p＞0)上的点M(3,M到其焦点F的距离为5.

(1)求C的方程；

(2)过点N(l,2)的直线1交C于A,B两点，且N为线段A8的中点，求直线1的方程.

考点四：中点弦公式(双曲线：点差法)

例1.己知双曲线二=1(。＞0力＞0)的一条渐近线方程为y=2x,一个焦点到该渐近线的距离为1.

a2b-

(1)求C的方程；

⑵经过点M(L4)的直线/交C于A8两点，且M为线段A3的中点，求/的方程.

变式训练1：已知双曲线C的渐近线方程为y=±gx,且P(36,8)是双曲线上一点.

(1)求双曲线C的标准方程及离心率；

(2)过点M(3,8)的直线与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.

变式训练2：已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=豆，焦距为2VL

(1)求该双曲线方程.

(2)是否定存在过点P。』)的直线/与该双曲线交于A、8两点，且点P是线段A8的中点若存在，请求出

直线/的方程，若不存在，说明理由.

变式训练3：已知双曲线：C：=-工=1(。＞0,。＞0)与二-工=1有相同的渐近线，且经过点

a2b242

M(V2,-V2).

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知直线x-y+相=0与双曲线C交于不同的两点A、8,且线段A3的中点在圆f+V=20上，求实

数机的值.

考点五：椭圆的第三定义(推导公式)

226

例1.已知椭圆C：/+/=1(。＞6＞0)的离心率为三，并且经过点P(_1,

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点户关于坐标原点。的对称点为。，点%)(/*±1)为椭圆C上任意一点，直线的斜率

分别为匕，k”求证：仁•%为定值.

22i

变式训练1：已知椭圆C:£+S=l(">6>0)的离心率为e="上顶点尸(0,百)，M、N为椭圆上异于点P

且关于原点对称的两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵求证(%为定值.

变式训练2：已知椭圆C：a+,=l(4>b>0)的离心率为孝，其右焦点到直线x-y+6=0的距离为卡.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵直线y=^(kHO)交椭圆C于M,N两点，椭圆右顶点为A,求证：直线A",4V的斜率乘积为定值,

并求出该定值.

22

变式训练3：已知0为坐标原点，双曲线C：=-2=1（。＞0，。＞0）的离心率为G，点P在双曲线C

a-b

上，点K，F2分别为双曲线C的左右焦点，（|P用T尸周）2=4.

（1）求双曲线C的标准方程；

⑵已知点A（-1,O）,8（1,0）,设直线PA,PB的斜率分别为勺，网.证明："2为定值.

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系;

（2）圆锥曲线的中点弦问题；

2、易错点：点差法的计算；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1.已知曲线C上任一点尸与点尸(1,0)的距离与它到直线X+1=0的距离相等.

(1)求曲线C的方程；

(2)求过定点M(0,1),且与曲线C只有一个公共点的直线的方程.

22A

2.已知椭圆C：*+方=1(。>6>0)的左、右焦点分别为不死，点E在椭圆C上,且助了心，同耳,

(1)求椭圆C的方程：

(2)直线1过点P(-2,1),交椭圆C于点A,B,且点P恰为线段AB的中点，求直线1的方程.

3.已知MC的周长为46+8且点AB的坐标分别是卜26,0),(2^,0),动点C的轨迹为曲线Q.

(1)求曲线。的方程；

⑵直线/过点P(U),交曲线。于”,N两点，且P为MN的中点，求直线/的方程.

4.己知椭圆C的焦点为耳(-1,0),6(1,0),过工的直线与椭圆C交于A,B两点.若.《48的周长为4石.

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C中以M(-叱,1)为中点的弦所在直线方程.

2

22

5.双曲线C:二-斗=1（“〉0力>0）的离心率为2,经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.

a~b"

（1）求C的方程；

（2）设A,B是C上两点，线段AB的中点为俯（5,3）,求直线AB的方程.

2-）

6.已知双曲线*>0）的渐近线方程为产地，焦点坐标为（0,土研

（1）求C的方程；

⑵经过点M（l,4）的直线1交C于A,B两点，且M为线段AB的中点，求1的方程.

7.双曲线C:=-《=l(a>0,b>0),离心率e=",虚轴长为2.

«b-3

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)经过点P(L1)的直线/与双曲线C相交于A,B两点，且尸为A3的中点，求直线/的方程.

8.已知椭圆C：5+£=l(n>人>0)的离心率为e=；,上顶点尸(0,6)，M、N为椭圆上异于点P且关于原

点对称的两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵求证。为定值.

g7

9.在平面直角坐标系中，动点P到点*2,0)的距离和它到直线/:x=；的距离之比为会动点P的轨迹为曲

线C.

(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么图形；

(2)己知曲线C与X轴的交点分别为AB,点M是曲线c上异于48的一点，直线M4的斜率为勺，直线MB

的斜率为心，求证：用也为定值.

22

厂+V=1过点A(-G,O)，

10.已知椭圆C:下十京其右焦点为尸(1,0).

(1)求椭圆C的方程；

⑵设尸为椭圆C上一动点(不在X轴上)，M为中点，过原点。作”的平行线，与直线x=3交于点Q.

问：直线OM与尸。斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.

第九讲：斜率问题(一)

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；

应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系的判断，斜率的求解；

拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生

的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、直线与圆锥曲线的位置关系

设直线/:Ar+8y+C=0,圆锥曲线C:/(x,y)=0,把二者方程联立得到方程组，消去y(x)得到一

个关于x(y)的方程ox?+bx+c=0(ay2+by+c=0).

(1)当时，

/＞0o方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；

/=()=方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；

/＜0。方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.

(2)当a=0时，方程为一次方程，若。/0,方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；

若6=0,CH0,方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.

2、圆锥曲线的中点弦问题

22

(1)A5为椭圆rx+七V=1(。＞人＞0)的弦，4为，弘),3(工2，必)，弦中点M(xo,%)，则43所在直线的

a"b"

b~xb~

斜率为攵=―1,弦他的斜率与弦中点M和椭圆中心。的连线的斜率之积为定值-彳.

a%。

%2y2

(2)A8为双曲线----=1(。＞0,。＞0)的弦，A(X|,y),8(々,＞))，弦中点M(xo，yo),则AB所在直线

a'b~

22

的斜率为女h乜x，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值，b.

"为a~

(3)在抛物线y2=2px(p>0)中，以历(xo,y0)为中点的弦所在直线的斜率比=2.

%

【考点剖析】

考点一：位置关系(交点个数)

例1.已知抛物线。：丫2=2。X5>0)的焦点尸到准线的距离为2,过点P(O，D的直线/与抛物线C只有一个

公共点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求直线/的方程.

【答案】⑴V=4x；(2)x=0或y=i或y=x+i.

解析：⑴因抛物线口丫2=2。X5>0)的焦点下到准线的距离为2,于是得P=2,

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)当直线/的斜率存在时，设直线/为了=h+1,由卜二,;消去y并整理得：kB+(204)x+l=0,

[y=kx+l

当A=0时，x=!，点(!，1)是直线/与抛物线C唯一公共点，因此，k=0,直线/方程为y=l,

当时，A=(2A:-4尸-4公=0=>%=1,此时直线/与抛物线C相切，直线/方程为y=x+l,

当直线/的斜率不存在时，y轴与抛物线C有唯一公共点，直线/方程为x=0,

所以直线/方程为为x=0或y=i或y=x+i.

变式训练1：已知0,F分别是抛物线y的顶点和焦点，动点M与点0的距离是它与点F的距离的一

半.

(1)求动点M的轨迹；

(2)若过点(2,2)的直线1与动点M的轨迹有且只有一个交点，求直线1的方程.

【答案】(1)点M的轨迹是以N(0,-l)为圆心，半径为2的圆；(2)5x-12y+14=0或x-2=0.

解析：⑴设M(x,y),依题意0(0,0),F(0,3),由|MO|=g|MF|得：2Th3?,

化简得V+y2+2y—3=0,即Y+(y+i)2=4,

所以，点M的轨迹是以N(0,-1)为圆心，半径为2的圆.

(2)当直线1的斜率存在时，设其方程为)，—2=Z(x—2),即依-y+2-2k=0,

因直线1与动点M的轨迹有且只有一个交点，由⑴知，即直线1与圆N相切，

由圆心N(0,-1)到直线1的距离等于半径2得：金贵=2,解得无=有，

直线1的方程为5x-12y+14=0,当直线1的斜率不存在时，其方程为x=2,显然与圆N相切,

所以直线1的方程为5x—12y+14=0或》一2=0.

变式训练2：已知双曲线C：=1(°>0,〃>0)的焦距为4,且过点卜3,2面).

a2b2

(1)求双曲线方程;

(2)若直线/：y=^+2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数女的值.

【答案】⑴手上=1；⑵土案,±y/l.

3

解析：(1)由题意可知双曲线的焦点为(-2,0)和(2,0),

根据定义有2a=|V(-3+2)2+(2V6-0)2-7(-3-2)2+(2^-0)2l=2.

\。=1,又c2=a?+82,所以〃2=1,c2=4»b2=3.

・•・所求双曲线C的方程为Y一£=1.

3

(2)因为双曲线C的方程为=所以渐近线方程为)，=士岛;

y=kx+2

由42丁,消去y整理得(3-公)丁-46-7=0.

x--=1

3

①当3-公=0即％=±石时.，此时直线/与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意;

②当3-A2Ho即％工±6时，由△=(YAy+4x7x(3-k2)=0,解得％=±五,

此时直线/双曲线相切于一个公共点，符合题意.

综上所述：符合题意的4的所有取值为土有，士币.

变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点尸到两点M(W,0),，(-6,0)的距离之和等于4,设点P的

轨迹为曲线c.

(1)求曲线C的方程.

(2)若直线y=H+2与曲线c有公共点，求实数%的取值范围.

2

【答案】(1)—+y2=1；(2),k\k<——>---.

4-22

解析：（1）由己知得|PM+|PN|=4>26=|MN|

由椭圆定义可知，轨迹C是以〃，N为焦点，焦距长2r=26,长轴长2a=4的椭圆.

所以层=/_。2=4_3=],

所以曲线C的方程是工+丁=1.

4

y=kx+2

(2)由2_得(1+4公卜2+[6依+12=0.

彳+)一

△=(164)2—4x12x(1+4/)=64&2—48,

因为直线5=区+2与曲线C有公共点，

所以△*(),即646-4820,

解得&4-或我2亘

22

故实数及的取值范围是/伏4-半或无

考点二：中点弦公式(椭圆：点差法)

例1.已知椭圆C:二+与=1(。”>0)的离心率为立，点(2,忘)在C上.

a'b2

(1)求C的方程；

(2)直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点AB,线段A8的中点为〃.证明：直线QM的

斜率与直线/的斜率的乘积为定值.

【答案】⑴]+4=1⑵

842

解析：(I)由题意有也?=冬5+11,解得°2=8方=4,所以椭圆C的方程为.+*1.

(II)设直线/：y=Ax+b(%H0,bN0),4(%,刈,8(9,%),〃(加,加)，把丫=依+。代入，+5=1得

8~4"

(2后2+1产+4血+2〃-8=0.

故知"M=kxM+b=?，于是直线OM的斜率QM=瓷=-2,即％”k=_g,

22K+12K+1X”ZKz

所以直线OM的斜率与直线/的斜率乘积为定值.

变式训练1：已知动点尸与平面上点M(-l,0),N(l,0)的距离之和等于2忘.

(1)求动点尸的轨迹C方程；

⑵若经过点£(l,g)的直线/与曲线C交于A,B两点，且点E为A8的中点，求直线/的方程.

23

【答案】(1)r5+丁=1;(2)x+y-|=0

解析：(1)设点P的坐标为5,y),1PMi+|PN|=2夜>2=|A/N|,.•.由椭圆定义可知，点尸轨迹是以M,N

为焦点的椭圆，.•“=&,c=l,.•方=/_。2=],...动点尸的轨迹c的方程为1+丁=1.

(2)解：显然直线/的斜率存在且不等于0,设《对必)，B(x2,y2),则占+毛=2,乂+%=1，又A、8在

椭圆上，所以乎+短=1，竽+%』，两式相减得日4+短-%2=0，即

正当土豆+(乂一%)5+%)=0所以也孕乡+卜5-必)=0,即汨I=7,即配=7,所以直

22X]一

线/的方程为y-g=-l(x-l),即x+y-|=0；

22

变式训练2：已知椭圆E：„=l(a>b>0)的左,右焦点分别为小鸟，点M(3,l)在E上，且

\MF]+\MF2\=4-j3.

(1)求E的标准方程；

(2)若直线1与E交于A,B两点，且AB中点为尸(-2,1),求直线1的方程.

【答案】⑴=1；(2)2x-3y+7=0

124

解析：⑴由阿附+|M闾=46，可得2°=46，解得〃=2百，

丫2--2n1

所以椭圆方程为：]+皆=1，又点加(3,1)在E上，则有看+去=1'解得〃=4,

所以椭圆E的标准方程为：—+^=1.

124

V近

+

4-

⑵设A(x”y0(乙,%),代入椭圆方程中有1V22

+%

一-

124

变形有

%一x212()1+必)3乂+%

2

因为AB中点为尸(-2,1),所以当强=-2,2LIA-I

1-2_2

所以&=x

%!-x2313

7

所以直线1的方程为：＞-l=j(x+2),即为2x-3y+7=0.

22

变式训练3：已知椭圆£+方=1(“>6>0)的左、右焦点分别为耳，F"过尸2且与*轴垂直的直线交椭圆

于点P,直线PK与>轴的交点为

(1)求椭圆的离心率；

(2)过点用(2,0)且斜率不为0的直线/交椭圆于A、8点，线段A3的中点为点。，求证：直线/的斜率与

直线。。的斜率的乘积为定值.

【答案】(1)y；(2)证明见解析.

解析：(1)设点g(c,0)(c>0),把x=c代入椭圆方程，

/,2\(>2\

又有合一人心可得点pc「,或Pg—二(舍).

\a)Ia)

2

因为P耳〃y轴且。为线段尸石的中点，则士3.='A,

82a

即2=2,所以离心率e-

a24a\a22

(2)设点A(XQJ,5®，%)，中点。(知%),直线/的斜率为占,直线。。斜率为区.

22

由(1)知a=2c,/?=6c,则椭圆方程为已+已=1(*).

2..2

方法一：直线/的方程为y=K(x-2)代入椭圆方程v二+当=1(*),

4c"3c~

整理得（46+3）/-16k；x+16将一12c2=0.

16好x.8k;八、、z

则为+々=而士，所以与=六一=/士，代入y=4f(x—2),

■*rC।IJ乙/vjIJ

函-6k1

可得先=心则中点。

、秋2+3'4k；+3,

所以直线。。斜率为&=&=-白，因此纸.

x0做4

22

方法二：把点A(XQJ,点8(孙％)分别代入椭圆方程二+二=1(*)，

4c3c

，

芍

得4K?

4

C2

焜

也(x,+x2)(x,-x2)(%+%)(%-%)

-4?"3c2

即Xf=3(XI+X2)=3x°

'4(»+%)4%

又&,=》2

xt-x2xa

3

因此人自=-^.

考点三：中点弦公式(抛物线：点差法)

例1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,第四象限的一点P(2,⑼在C上，且|叩=4.

(1)求C的方程和m的值；

(2)若直线1交C于A,B两点，且线段AB中点的坐标为(1,1),求直线1的方程及线段AB的长.

【答案】⑴V=8x,，〃=_4；(2)4x-y-3=0,叵

2

解析：⑴抛物线C:V=2px(p>0)的准线方程为x=_g

由抛物线定义得，阳=2-，£|=4,

解得。=4,所以抛物线C的方程为y?=8x.

将P(2,〃?)代入C的方程得，加=8x2,解得加=±4,

因为点P在第四象限，所以机=Y.

(2)由题意易知直线1的斜率显然存在，设直线1的斜率为k,A。,％),

则有M=两式作差得寸—£=8(%,F),贝此==

[%=8々，玉-*2

因为线段AB中点的坐标为(1,1),所以％+%=2,所以4=4,

所以直线1的方程为y-l=4(x—l),即4x—y-3=0,

f4尤—y—3—0,

2

联W2。W16x-32x+9=0,

[y-8x

9

则Xi+W=2,-VjX=—,

216

所以|=\Jl+k2-，(斗+々)2-4了々=xJ4-4x—="'：)

变式训练1：已知尸是抛物线C：V=4x的焦点，直线/交抛物线于M、N两点.

⑴若直线/过点尸且ZxFM=60",求|根|；

⑵若P（2,l）平分线段MN,求直线/的方程.

【答案】(1)4；(2)2x-y-3=0.

解析：⑴设点加（不乂）、阳巧,月）,则直线/的倾斜角为60,易知点尸。,0）,

直线/的方程为联立，

x=3y+l,*3),可得抬y2-4y-4>Q=0,

y2=4x

由题意可知凹＞0,则X=2JL.•.七=当必+1=3,因此，|RW|=3+1=4.

⑵设M(X1,y)、N(x2,y2),

若MN_Lx轴，则线段MN的中点在x轴上，不合乎题意，所以直线MN的斜率存在,

[二：：’两式相减得黑■=

因为〃、N在抛物线上，贝1|

又因为P（2,l）为MN的中点，则X+%=2,

所以，直线/的斜率为左:21二2=；=2,

X]—X）Z

此时，直线/的方程为y-l=2（x-2）,即2x-y-3=0.

变式训练2：已知抛物线C:y2=2px（p>0）上的点M（3,M到其焦点F的距离为5.

（1）求C的方程；

（2）过点N（l,2）的直线1交C于A,B两点，且N为线段A8的中点，求直线1的方程.

【答案】（l）V=8x；⑵2x-y=0

解析：（1）由抛物线的定义可知：|MF|=3+5=5,

解得：P=4,

，C的方程为V=8x；

⑵设,

则"、一："，两式作差得（y+必）（乂一%）=8（玉一w）,

=8工2

...直线1的斜率%=上匚&=」一，

•.•&1,2）为48的中点，

/.%+%=4，k-2,

二直线1的方程为y-2=2（x-l）,

即2x-y=0（经检验，所求直线符合条件）.

考点四：中点弦公式（双曲线：点差法）

22

例1.已知双曲线c：4-二=1（4>0*>0）的一条渐近线方程为y=2x,一个焦点到该渐近线的距离为1.

（Tb~

（1）求C的方程；

⑵经过点M（l,4）的直线/交C于42两点，且M为线段A8的中点，求/的方程.

【答案】⑴亡-*2=1；⑵y=x+3

4

解析：（1）双曲线。:二一二=1（。>0/〉0）的渐近线为〉=±/1，即or±by=。，

azbzb

所以f=2,

b

|-c|

又焦点（o,c）到直线y=2x的距离”=3乙）2=1，所以C=有，

2

又c、2="+〃，所以/=4,及=1,所以双曲线方程为2v_-丁=1

4

（2）设A（x”y）,B（x2,y2）,直线/的斜率为氏，则＜+j=2,yt+y2=8,

所以式-x：=l,五-k=1，

414

两式相减得f-1一X；+々2=0，即）=&+%）（%-々）

即产+%/-.*）=4,所以4k=4,解得k=l,

（办+々）（西一々）

所以直线/的方程为＞-4=x-l,即y=x+3,

经检验直线/：y=x+3与双曲线C有两个交点，满足条件,

所以直线/的方程为y=x+3.

变式训练1：已知双曲线C的渐近线方程为y=±gx,且尸（36,8）是双曲线上一点.

（1）求双曲线C的标准方程及离心率；

（2）过点用（3,8）的直线与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB恰好被点M平分，求直线AB的方程.

22

【答案】⑴二-三=1,-；(2)2x-3y+18=0

1694

解析：（1）因为双曲线C的渐近线方程为）=士4\x,

V-

所以设双曲线C的方程为：--^=2（2^0）,

916v）

又因为双曲线经过点尸（3&,8卜

…2764,

所以亍一记=，'

解得4=-1,

22

所以双曲线C的标准方程为：=1

169

（2）设AG，%）^（々必），

因为点M（3,8）为线段AB的中点,

所以有芭+々=6,y,+y2=\6,

22

.X1

21=2222

9--y%-%

126n--on(%-%)(%+%)(占一/乂％+9)

^V2969

=116

169

所以(凹―必)[6=(芭一电).6nAs^=9=2

169A1r293

2

所以2屋

又因为AB的中点M在双曲线内部，

2

所以心符合题意

2

所以直线AB的方程为：y-8=：(x-3),

即：2x-3y+18=0.

变式训练2：.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=g,焦距为2g.

(1)求该双曲线方程.

(2)是否定存在过点P(U)的直线/与该双曲线交于A、8两点，且点P是线段A8的中点若存在，请求出

直线/的方程，若不存在，说明理由.

2

【答案】(1)=(2)不存在，理由见解析.

2

22

解析：⑴设双曲线方程为：力＞0)

a~b~

由离心率e=J5,焦距为26，贝l」c=6，a=\,b2=c2-a2=2,

则双曲线方程为：匕=1；

2

(2)假设存在过点尸(L1)的直线/与该双曲线交于A,8两点，

且点尸是线段AB的中点.

设过P。』)的直线方程为：y-l=Z(x-I),

A,8两点的坐标为(占，乂)，(x,,y2),

则2x；-y：=2,2x；-y；=2,

相减可得，2(x,-x,)(x,+x2)=(yl-y2)(y,+%)

由尸为A8的中点，则占+々=2,y,+y2=2,

则左=上泣=2,

即有直线AB的方程：y-l=2（x-l）,即有y=2x-l,

代入双曲线方程2x、V=2,可得，2X2-4X+3=0,

检验判别式为16-24<0,方程无解.

故不存在过点P。/）的直线/与该双曲线交于A,B两点,

且点P是线段AB的中点.

变式训练3：已知双曲线：C：4-4=1（«>0<人>0）与反-t=1有相同的渐近线，且经过点

a~b242

M（V2,-V2）,

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知直线x-y+m=。与双曲线C交于不同的两点A、8,且线段AB的中点在圆/+产=20上，求实

数m的值.

2

【答案】（1）=（2）加=±2.

2

解析：（1）由题意，设双曲线的方程为[-5=彳（/1H0）,又因为双曲线过点〃（夜,-夜），2=:-|=-：，

2

所以双曲线的方程为：/_匕=]

2

y=x+nt

（2）由，y2得d一2mx-tn2—2=0

2

设A（x，yJ3（孙%），则X+%2=2m,内・々=一2—川，所以凹+必=4根

则4?中点坐标为（九2机），代入圆f+y2=2o

得5m2=20,所以加=±2.

考点五：椭圆的第三定义（推导公式）

例1.已知椭圆C：5+£=1的离心率为日，并且经过点尸（T,乎），

（1）求椭圆C的方程;

(2)设点P关于坐标原点0的对称点为。，点〃(为,％)(/*±1)为椭圆C上任意一点，直线PM,QM的斜率

分别为匕，月,求证：匕•七为定值.

【答案】⑴三+丁=1；(2)证明见解析

4

c_\/3

a2

2222

解析：(1)由题意a=h+c解得/=4,b=\.

（与

1+2）-

所以椭圆C的方程为二+y2=].

4.

⑵因为点尸关于坐标原点。的对称点为Q,所以。的坐标为(1,-

色由内行23

匕」一5，您=竺三，所以，/:鹏--2为十5%,一4

'%+1-*0T'%+1'0-14-1

又因为点”(%,%)(/7±1)为椭圆C上的点，所以£+y：=l.

,444°-^

-14

-52।

变式训练1：已知椭圆C*+£=l(a>6>0)的离心率为e=],上顶点尸(0,@,M、N为椭圆上异于点P

且关于原点对称的两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证为定值.

22

【答案】⑴三+汇=1;⑵证明见解析

43

解析：(1)由题意知e=£=g,b=6，

a2

22

根据/=从+。2得：〃=4,故：椭圆C的标准方程为上+二=1.

43

⑵依据题意可设M(〃?,“)，N(-n-〃)，则⑥”=二巨，⑥丫=士也.

m-m

因此⑥"史X士正=金，又因为M(〃?,〃)在椭圆c上，满足巴1+(=1,

m-"7m"43

即疝=4，（3二）,所以：kPM-kPN=~,得证.

34

变式训练2：已知椭圆C：£+2=l（">%>0）的离心率为且，其右焦点到直线x-y+0=0的距离为几.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线丫=区（女工0）交椭圆C于M,N两点，椭圆右顶点为A,求证：直线A”,AN的斜率乘积为定值,

并求出该定值.

21

【答案】⑴二r+丁=1；⑵证明见解析，定值

解析：⑴由题意，右焦点（G。），卡」—£1,；.c=百，—=^-,.'.a=2,:.b=\,

V2a2

二椭圆C的标准方程目+/=1；

4

（2）由（1）可得椭圆右顶点A（2,0）,由题意，直线AM和直线AN的斜率存在且不为0,

直线了=履住片0）与椭圆C联立，可得（1+4公=4,

22

不妨设…，"后市，”-后市’

22

〜/h，