高考数学复习资料7线面垂直习题精选精讲

线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直如图1，在正方体ABCDABC中MCC的中点，点O，求证：11111证明：连结MO，M，∵⊥⊥ACA，1∴DB⊥面AACC，而AO面A∴DB⊥AO11113设正方体棱长为，则a，MO2．4

AO1

平面MBD在

M1

中，

M

94

a

．∵

AO2AM11

2

，∴

AOOM1

．∵∩DBO∴

AO1

⊥平面

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．利用面面垂直寻求线面垂直2如图，是△ABC在平面外的一点，且PA⊥面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：⊥平面证明：在平面PAC内作⊥PCD．因为平面PAC平面PBC且两平面交于PC，平面，且AD⊥，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC

又∵

BC

平面∴AD∵平面，BC面∴BC∵AD=，∴⊥平面PAC．（另外还可证别与相交直线AD直，从而得到⊥平面．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂线面垂线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂面面垂直．这三者性质性之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3如图１所示，ABCD正方形，SA⊥平面ABCD过AGSD．

垂直于SC的平面分别交

SB，，SD于，，．求证：SB，证明：SA面，∴

SA

BC．∵AB，BC面．又∵面SAB，∴BC

．∵

面，

．∴面SBC．∴AE同理可证SD．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4如图２，在三棱锥Ａ－中，BC＝AC，＝，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．证：⊥平面BCD．证明：取AB中点Ｆ，连CF，DF．∵

，∴AB∵

，∴

DF

AB

．又

CFF

，∴

平面CDF．面CDF，．BE，

，面ABECDAH．∵

CD，AH，CDE

，∴AH平BCD．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．1

151

如图３，

AB

是圆Ｏ的直径，Ｃ是周上一点，

PA

平面．若AE⊥PC

，Ｅ为垂足，Ｆ是上任意一点，求证：平面AEF⊥平PBC．证明：∵AB是的直径，∴

AC

．∵

PA面ABC，面ABC∴

．∴BC平APC∵平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC∵AE⊥，平面APC∩面PBC＝PC∴AE⊥平面PBC．∵AE平面AEF，∴平AEF⊥面PBC．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，已知条件出发寻找线线垂直的关系．空间四边形中，若AB⊥CDBCAD，证：⊥BDA

即证线面垂直，而证线面垂直则需从DBOC证明：过A作AO⊥平面于O，CD

同理⊥DO∴O为ABC的垂心

于是DBD证明：在正方体－ABCD中，AC⊥平面BCDD

A

B

DAB证明：连结BDAC为AC在面AC的射影CD同理可AC1如图，平面ABCD，是矩形，M、分别是AB、PC的中点，求证：PND

ABA

M

B.证：取点，则

ENDC22

NDA

M

B

//

AMAE//MN又面面平面

AECD//AB/9图在ΔABC中，⊥BCED=2AE，过E作∥BC，分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

且将ΔAFG沿FG起，使∠ED=60°，求证A'平面ABCAC解：

G

D∵FGBC，AD⊥BC∴A'∴A'BC设E=a，则

A

EF

B由余弦定理得：A'D=AE-2•E•EDcos60°=3a

∴ED'D'∴A'AE∴A'平面A'BC10如图,在空间四边中,SA,=90AN于AM于M。求证:①BC;②SCANM分析:①要证AN转证,BCSAB。②要证SC转证,SC垂直于平面内的两相交直线即证,。要证SC,转证ANSBC就可以了。证明:①∵SAABC∴BC又∵BC且ABSA∴BC面∵平面∴ANBC②∵ANBC,且BC=B∴AN面∵平面SBC∴AN又∵AM且ANA∴SC面11已知如图P平面ABC，PA=PB=PC∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求证：平面⊥

平面PBC分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然中点，证明AD垂直平PBC即可证明：取点D连结AD、∵PA=PB；∠APB=60∴ΔPAB正三角形同理ΔPAC正三角形设PA=a

在BPC，PB=PC=aBC=

a∴PD=

a

在ΔABCAD=

2BD

23

2222CAB2222CABAF面P=

aAD+PD=

22

=a

=APΔAPD为直角三角即⊥DP又∵BC∴AD⊥面PBC∴平面平面PBC12.如图，直角在

外，

//

，

，求证：在

内射影

为直角。

证：如图所示，

AA

、

BB

C

为射影AA

BB

确定平面

AAB//AA

ABABAC

面A

A

为直角13以AB为直径的圆在平面

内，

PA

于AC在圆上，PC过A作AE⊥于AF⊥PC于试判断图中还有几组线面垂直。PEA

B解：PA面ACAB为直径BC

面BC

AFAE

面两个平面直例题解析1．在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，BCD锐角三角形，那么必有（）A平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥面ABC．平面ADC⊥面BCDD．平面⊥平面BCD【解析】由ADBCBD⊥ADAD⊥平面BCD，面AD平面ADC∴平面⊥平面BCD．【答案】2．直三棱柱ABC—BC中，∠，AC=AA=a，点A平面A的距离是（）4

2322232AaB．C．a．a【解析】取AC中点O，连结AO∵，∴⊥AC又该三棱柱是直三棱柱．∴平面AC⊥平ABC．又∵BCAC∴⊥，2因⊥平面A，即A等于A到面ABC的距离．解得：AO=【答案】C3．三个平面两两垂，它们的三条交线交于一点O三个面的距离分别是45，则的长为（）A5

B．5

．3

D．

【解析】构造一个长方体，OP为对角线．【答案】B4．在两个互相垂直平面的交线上，有两点A、BAC和分别是这两个平面内垂直于AB的线段，AC=6，AB=8则、D间距离为____．【解析】如图，

CA

2

=

CA2

2

2

=

6

2

2

2

=

=26【答案】265．设两个平面α、β，直线l下列三个条件：①l⊥α，②l∥，③α⊥β．若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为（）A3

B．2C1．0【解析】①②③，其余都错【答案】C【典型例题精讲】［例1］如9—39，引条长度相等但不共面的线段SA，且∠ASB=°，∠BSC=90，求证：平面ABC⊥平面BSC图939【证明】∵SB=SA=SC，∠ASB=ASC=60°AB=SA=AC的中点O连、，则AO⊥BC⊥BC，2∴∠AOS为面角的平面角，设SA=SB=SC=a，∠°，∴BC=

，SO=

2

aAO=AC－=a－a

a，∴=AO，∴∠°，从而平面ABC⊥平面．【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法．［例2］如图—40，在三棱ABC，SA⊥平面ABC平面⊥平面．图940（1）求证：ABBC（2）设二面角SBC—A为°SA=BC，求面角A—SC—B的大小．（1）【证明】作AH⊥SBH，∵平面SAB⊥平面SBC．平面∩平面∴AH⊥平面SBC5

2∴又SA平面ABC∴⊥BC，SA在面的射影为SB，BC⊥SB，又SA∩，2∴∴BC平面．∴BC⊥AB（2）【解】∵⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，平面SAB平面SBC∴∠SBA为二面角S—BCA的平面，∴∠°．设SA=AB=BC=a，2

6作AE⊥SC于E，EH，则EH⊥SC，∴∠AEH为二面角A—SCB平面角，而AH=

2

aAC=

，，AE=

3

a∴AEH=

32

，二面角A—SCB°．【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．［例3］如图—41，PA平面ABCD四边形ABCD是形，PA=AD=a，M、N分别是、中点．（1）求平面与平面所成的二面角的大小；（2求证：平面⊥平面PCD（1）【解⊥平面CD，∴⊥，故∠PDA为平面与平面成二面角的平面角，在△中，PA=AD，∴∠PDA=45°1（2）【证明】点E连结，EA，ENCDAM，∴四边ENMA是平行四边形，∴EA．∵AEPD，AECD，∴⊥平面从而MN平面，∵MN平面，∴平面⊥平面PCD【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面困难，转化为证明AE⊥平面就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线AD所成角的范围．［例4］如图—42，正方ABCD—ABCD中，EFMN分别是A、、D、B的中点．图942（1）求证：平面平面ENF（）二面角M—N的平面角的正切值．（1）【证明】∵N、中点，∴

NCCMENBMNC11MNE⊥EN，NF⊥面AC，∴平面平面ENF

AC11

∴⊥，从而MN⊥面∵

平面MNF，（2）【解】过N作NH⊥于H，连结．∵MN⊥面ENF，为MH在平面ENF内的射影，2

3∴由三垂线定理得MH⊥EF，∠是二面角MEF—的平面角．在Rt△，求得MN2∴tan，即二面角M—N的平面角的正切值为．

2

，NH=

3

，［例5］在长方体ABCDACD中，底面是边长为平面D⊥平面ABC．【证明】如图43∵、F别是AB、的中点，

的正方形，侧棱长为，E、分别是AB、CB

的中点，求证：6

图943EF∥．∵AB，为AC的中点．∴BOAC．故⊥在Rt△BO中，∵BB=

，BO=1∴∠BBO=30°，从而∠D=60°，又BD，BOOB=1（O为BO的交点）∴eq\o\ac(△,D)eq\o\ac(△,)BO是直角三角形，即BO⊥DO，∴B⊥平面D又O平面AB，∴平面DEF⊥面ABC1棱长都是的直平行六面体ABCDABCD中，∠BAD=60°，则对角线A与侧面DCCD所成角的正弦值为_．【解】过A作AGD于，由于该平行六面体是直平行六面体，∴AG平面DC连结CG∠A即为AC与侧面DCCD所成的角．3∵AG=AD·ADG=2sin60=2·

2

=而AC=

=

2

12

∴AC=

A1

2

AC

2

，AG1AC∴ACG=1．【答案】2．E、F别是正方形ABCD的边AB和的中点，BD相交于O以为将正方形折成直二面角，则∠BOD=_____．【解析】设正方形的边长为．则DO=a=2aOB=2aDB=DF=a+4a+a=6a∴cos∠

22a2a

12∴∠°3．如图—44，已知三棱柱ABC—AB的各棱长均为侧棱与底面成

的角，侧面A

垂直于底面，7

44图944（1）证明：C⊥CA．（2）求四棱—ACCA的体积．（1）【证明】过作B⊥AB于O∵面ABBA底面，面

ABBA1

1

ABCAB

∴B⊥面ABC∴∠BBA是侧棱与底面所成角，∴∠BBA=，又各棱长均为∴为的中点，连CO，则COAB，而OB∩CO=O，∴AB⊥平面OC又B平面，∴BC，连，∵B为边长为的菱形，∴⊥BC，而AB∩BC=B，∴B⊥面∵AC面∴B⊥AC3

V（2）【解】在Rt△BB中，BB=2，BO=1，B，V·，∴BB=V=1，VVBAA=V－BBC=3－1=24．如图—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为的中点，且PA=AB图945（1）求证：平平面PCD；（求点A平面的距离．（1）【证明⊥平面ABCD，AD是PD在底面上射影，又∵四边形为矩形，∴⊥AD∴CD，∵ADPD=D∴⊥面PAD，∠为二面角P—CDB的平面角，∵PA=PB=AD，PAAD∴∠PDA=45，取Rt△斜边中点，则AF，∵AF面∴CD⊥，1

1又CD=D∴AF⊥平面PCD，取的中，连GFAG、EG，则

2

CDAE

2

CD，∴AE四边形AGEF为平行四边形∴AF∥，∴EG⊥面PDC面∴平面PEC⊥面PCD．（2）【解】由（知AF∥面，平面⊥平面PEC过F作⊥PC于H，则FH⊥平面∴为到平的距离，即A到平面的离．在△PFH与△PCD中，∠为共角，而∠∠CDP=90°∴△PFH∽△PCD．

FHCD

，设，∴PF=

，PC=

CD283

，∴

3

∴A到面的距离为

63

．5．已知直四棱柱ABCD—ABCD的底面是菱形，对角线AC=2BD=2

，E、F分别为棱、BB

上的点，且满足8

图946（1）求证：平面AEF⊥平面A；（2）求面直线AC所成角的余弦值．

（1证明∵菱形对角线AC=2

∴EC=2FB=1取点M连结MF设BDAC于点OMO

FB

平面AEF平面ACCA（2）在AA上取点N，使AN=2，结，则NEACAC故∠NEF为异面直线A与所的角，连结，在直角梯形NABF中易求得

，同理求得EF=．在△ENF中，∠NEF=

55

，即与AC

所成角的余弦值为

55

．【解题指】在证两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中