云南省玉溪市普通高中2021届上学期高三年级第一次教学质量检测数学试卷（理科）

云南省玉溪市普通高中2021届上学期高三年级第一次教学质量检测数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，则（）A．B．C．D．4．在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．根据两个评判小组对同一名选手的打分绘制了下面的折线图．根据以上折线图，下列结论错误的是（）A．A小组打分分值的最高分为55分，最低分为42分B．A小组打分分值的标准差小于B小组打分分值的标准差C．B小组打分分值的中位数为D．B小组更像是由专业人士组成的5．已知向量，的夹角为120°，，则（）A．B．C．7D．136．数列中，若，则（）A．61B．62C．63D．647．曲线在点处的切线的斜率为，则（）A．2B．C．D．8．设分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C上存在点的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，半圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的直角坐标方程及C的参数方程；（2）若直线平行于l，且与C相切于点D，求点D的直角坐标．23．（本小题满分10分）已知函数．（1）若，解不等式；（2）若的值域是，且，求的最大值．

【试题答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案CAADABDCADCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．题号13141516答案2①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题满分12分）解：（1）∵为的角平分线，∴，即．1分∴2分．3分又∵，∴．5分（2）由（1）知且，∴．6分在中，．8分在中，．10分∵，∴，∴，∴．12分18．（本小题满分12分）解：（1），1分，2分4分，6分．8分所以，回归直线方程为．10分（2）由“伏安法”可知，直线的斜率是电阻的估计值，所以电阻的估计值为欧姆．12分19．解：（1）证明：在正三棱柱中，．1分∵E，F分别是，的中点，∴是的中位线，∴．2分又∵，∴．3分又平面，平面，∴平面．5分（2）向量法：在正三棱柱中，取的中点H，连接，则．在正中，连接，则．又因为，所以．如图，以F为原点建立空间直角坐标系．7分．设为平面的一个法向量，则．∴．（9分）同理可求，平面的一个法向量为∴．10分设二面角的平面角为，∴，11分所以二面角的正弦值为．12分几何法：在正三棱柱中，取中点D，连接，且，连接，6分则，又，，∴平面．7分由（1）知：，∴平面．8分∴即为二面角的平面角，记为．9分连接，中，，，，由余弦定理得：．11分所以二面角的正弦值为．12分20．解：（本小题满分12分）（1）因为椭圆C的离心率，所以，即．1分因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，2分所以，所以．3分所以椭圆C的方程为．4分（2）由（1）可得，，设点M的坐标为，直线的方程为：．将与联立消去y整理得：．5分设点D的坐标为，则，6分故，则．7分直线的方程为：，将与联立消去y整理得：．8分设点E的坐标为，则，9分故，则．10wv直线的斜率为，直线的斜率为．11分因为，所以直线经过定点H．12分21．（本小题满分12分）解：（1）1分①若，则，∴在R上单调递增．2分②若，令，则，3分当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．4分（2）由题意知：，则，5分易知在上单调递增，且．①若，则，∴在上单调递增，∵在上有且只有一个零点，，∴，即．∴当时，在上有且只有一个零点．7分②若，则，∴存在，使，即，8分∴当时，；当时，．∴在上单调递减，在上单调递增，又，，在上有且只有一个零点，∴，即．把代入上式可知：，∴，10分从而．11分综上，当或时，在上有且只有一个零点．12分22．（本小题满分10分）解析：（1）直线l的普通方程为；2分C的普通方程为．可得C的参数方程为（t为参数，）．5分（2）由点D在曲线C上可设，6分由题意可知曲线C在点D处的切线斜率为，7分．8分故D的直角坐标为，即．10分23．（本小题满分10分）解析：（1）∵，，∴2分当时，化为，不等式的解为；当时，，不等式的解为；当时，化为，所以不等式的解为．4分综上所述，不等式的解集为．