云南省昆明市2021下学期高二年级期末质量检测数学试卷（理科）

云南省昆明市2021学年下学期高二年级期末质量检测数学试卷（理科）─、选择题1．（）A． B． C． D．2．设集合，，则（）A． B． C． D．3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（）A． B． C． D．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．36 B．72 C．108 D．2165．若，，，则（）A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图，若输入的，分别为4，6，则输出（）A．24 B．12 C．4 D．27．已知曲线在点处的切线方程为，则（）A．， B．， C．， D．，8．今年“五一”小长假期间，某博物馆准备举办一次主题展览，为了引导游客有序参观，该博物馆每天分别在10时，13时，16时公布实时观展的人数．下表记录了5月1日至5日的实时观展人数：1日2日3日4日5日10时观展人数3256427245672737235513时观展人数5035653771494693370816时观展人数61006821658048663521通常用实时观展的人数与博物馆的最大承载量（同一时段观展人数的饱和量）之比来表示观展的舒适度，50%以下称为“舒适”，已知该博物馆的最大承载量是1万人若从5月1日至5日中任选2天，则这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率为（）A． B． C． D．9．已知函数，点，为的图象上两点，为坐标原点，则（）A．1 B． C． D．10．已知三棱柱的六个顶点都在同一球面上，且平面，是等边三角形，，．则该球的表面积为（）A． B． C． D．11．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当取时可得的近似值为（）A． B． C． D．12．已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线交于，两点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，直线交于点，若，下述四个结论：①②直线的倾斜角为或③是的中点④等边三角形其中所有正确结论的编号是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④二、填空题13．在的展开式中，的系数为______．（用数字作答）14．如图，正方形的边长为2，是以为直径的半圆弧的中点，则的最大值为______．15．数列中，已知，，若，则数列的前6项和为______．16．如图，在中，，，，，分别在边，，上，且．①若，则______；②面积的最大值为______．三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知点，，设直线，的斜率分别为，，且．设点的轨迹为．（1）求的方程；（2）若直线与交于，两点，求．18．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，是的中点．（1）证明：平面；（2）已知，，求二面角的余弦值．20．云南是世界茶树的原产地之一，也是中国四大茶产区之一，独特的立体气候为茶叶的种质资源多样性创造了良好的自然条件，茶叶产业是云南高原特色农业的闪亮名片．某大型茶叶种植基地为了比较、两品种茶叶的产量，某季采摘时，随机选取种植、两品种茶叶的茶园各30亩，得到亩产量（单位：亩）的茎叶图如下（整数位为茎，小数位为叶，如的茎为55，时为4）：亩产不低于的茶园称为“高产茶园”，其它称为“非高产茶园”．（1）请根据已知条件完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“高产茶园”与茶叶品种有关品种茶叶（亩数）品种茶叶（亩数）合计高产茶园非高产茶园合计（2）用样本估计总体，将频率视为概率，现从该种植基地品种的所有茶园中随机抽取4亩，且每次抽取的结果相互独立，设被抽取的4亩茶园中“高产茶园”的亩数为，求的分布列和数学期望．附：，．21．在直角中，，为边上的一点，．（1）若，，求的面积：（2）若，求周长的取值范围．22．已知函数，为自然对数的底数．（1）若是的极值点，求的值，并求的单调区间；（2）当时，证明：．

参考答案一、选择题题号123456789101112答案ABCABBDCDCBD二、填空题13．14．615．3216．①2②三、解答题17．解：（1）设，则．所以，又因为斜率存在，所以，所以点的轨迹的方程．（2）设，，由，消得，则，，所以．18．（1）解：设数列的公差为，则，．由，，成等比数列得，即，又因为，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，所以，所以．19．1证明：取中点为,连接，,因为,所以,又,，所以为矩形,所以．又平面,平面,所以平面．又是的中点,所以,同理平面．而,所以平面平面,所以平面．2以，，方向分别为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系．设，,则，，，，,,，，设平面的法向量为,则,取,所以，同理可取平面的法向量，所以．由图可知二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为．20．解：（1）“高产茶园”与茶叶品种的列联表：品种茶叶（亩数）品种茶叶（亩数）合计高产茶园10313非高产茶园202747合计303060由列联表，可得，由于，故有95%的把握认为“高产茶园”与茶叶品种有关．（2）用样本估计总体，该种植基地品种的茶园是“高产茶园”的概率估计值为．的可能取值为0，1，2，3，4，由题意可知，，所以；；；；．即的分布列为01234所以．21．解：（1）由余弦定理得：，即，解得，（2）连接，因为平面，所以，又因为为直角梯形且，所以，则平面，所以，则，（舍去）．．（2）在中，，，，设，所以，故，，所以的周长，即，因为，所以．22．解：（1）函数定义域为，，因为是的极值点，所以，故，将代入得，，设，则，所