微积分基本定理与应用

#/18，f'xxx•••fx的图象上每一点的切线的斜率不超过tt23t+3：.f’(&tt23t+3对x£恒成立，而f‘xx 其最大值为故tt23t+'3三nt工三nk九—&t—&k冗-5冗ke3 63 6nk——WtWk—-7—ke4 12()当b时，由fx在上单调，知a当bW时，由fx在上单调of'x三恒成立，或者f'x&0亘成立f'xbxax.，.△a b=6可得bW--a9从而知满足条件的点P(ab在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b-a与直线b9所围成的封闭图形，其面积为S凡—aa-3 9§3.4定积分的简单应用 自主学习一 4毒础自测4毒础自测将由yxxx—y所围图形的面积写成定积分形式为—答案J2xx|— xx0 —2)的速度运动，则该物体在间的运动路程为一物体沿直线以vtt单位：V单位:)的速度运动，则该物体在间的运动路程为答案46将5用力把弹簧从平衡位置拉长 此时用的力是，变力F做的功W为答案103—曲线yx(WxW)与坐标轴所围成的面积是 2

答案3有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为p（x）x（取细棒的一端为原点，所在直线为x轴），棒长为1则棒的质量M为 答案4y=4x-围成的平y=4x-围成的平面图形的面积.抛物线和直线的交点为（2，2）及（8,-4）.方法一选x作为积分变量，由图可看出SAA在A部分：由于抛物线的上半支方程为yv2x下半支方程为y-2x,所以S下半支方程为y-2x,所以SA1=J0222•2x23163SSA2x-于是：S163383方法二于是：S163383方法二|8

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3选y作积分变量，将曲线方程写为x=及xy2卫 2,2 6 -4例2（14分）如图所示，直线ykx分抛物线yxx与x轴所围图形为面积相等的两部分，求例2（14分）如图所示，解抛物线yxx与解抛物线yxx与x轴两交点的横坐标xx所以抛物线与x轴所围图形的面积于是k分分2分4分内所行驶的路程答此汽车在这内所行驶的路程是于是k分分2分4分内所行驶的路程答此汽车在这内所行驶的路程是知能迁移求抛物线yx与直线xy所围成的平面图形的面积S得抛物线与直线的交点为P（1 ），Q（,）（如图）=236抛物线yxx与ykx两交点的横坐标为x'x，k12S所以—f0_(xxkx)x1-k1-k02-37k-)3，又知S=1,所以k31,6232例3一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这解由速度—时间曲线易知，3t te[0,10）v（t） 卜0 te[10,40）-1.5t+90 te[40,60]由变速直线运动的路程公式可得s=00tt/40t』40 tt33=2t 00t4o (-4t t)40|1

0-X]xJ9(xx|1

0-X]xJ9(xxdxd3 0428x92 133323方法二若选取积分变量为y,则两个函数分别为xyxy由.方法一知上限为3，下限为ASJ31—1yy-y(yy1y]3 —1如图所示阴影部分的面积是答案323答案323试求物一物体按规律xbt做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，体由x运动到xa时，阻力做的功试求物解物体的速度vx'tbt)bt媒质阻力f阻kvk•(bt)kbt其中k为比例常数，k>当x0寸，t，当xa时，ttfaIb)・••阻力做的功是:WJafxftikv•Vt阻0阻 01kft01v3dt=kft01(3bt2)3dt7kkbt77kk3a7b2=7ka3ab27 1 7 7 活页作业— 一、填空题如图所示，阴影部分面积为

答案』a[gxfx】x』b[fxgx】x设f(x)尸2, xE[0,1],则J2f(x)x 2—x, xG(1,2], 0答案56设fx== tt则f(f(—)) 0 2答案1-cos1一物体在力F(x)J0 (0-x-2)单位：)的作用下沿与力F相同的方向，从x处运动到x3x+4 (x>2)(单位： 处，则力F(x)做的功为答案一物体在变力Fxx力单位位移单位 作用下沿与Fx成°方向作直线运动则由一物体在变力Fxx力单位x时Fx做的功为答案4k答案4k3函数Fx==tt｛在［ ,上的最大值为，最小值为答案323汽车以vt单位：)作变速直线运动时，在第 至第间的 内经过的路程是答案6.5若fx是一次函数，且J0fxxJ0xfxx167那么函数fx的解析式是 答案fxx二、解答题证明：把质量为m(单位：)的物体从地球的表面升高h单位：处所做的功WG・Mmh^-,其中G是(+h)地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径证明根据万有引力定律：知道对于两个距离为r质量分别为m、m的质点，它们之间的引力为f(r)G・mm,其中G为引力常数r2

则当质量为m的物体距地面高度为则当质量为m的物体距地面高度为x0xWh时，地心对它的引力f(x)G-Mm(+x)2Mm故该物体从地面升到h高处所做的功为MmWJhf(x)GMmJh 1 (kx)0(+x)2(GMmI(GMmVMmh(+h)设函数fxxaxbx在点x处有极值()求常数ab的值；()求曲线yfx与x轴所围成的图形的面积解()由题意知f'xxaxbf且f'1."b二一2,解得a3+2a+b=0即fxxx作出曲线yxx的草图，所求面积为阴影部分的面积，由xx得曲线yxx与x轴的交点坐标是和石，而yxx是 上的奇函数，函数图象关于原点中心对称.和石，而yxx是 上的奇函数，函数图象关于原点中心对称.所以-3的阴影面积与 ,3的阴影面积相等所以所求图形的面积为x3(-3x0;所以所求图形的面积为x3(-3x0;2如图所示，抛物线yx与直线yx的两交点为A、B,点P在抛物线上从A向B运动()求使4PAB的面积最大的P点的坐标ab证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线xa分为面积相等的两部分()解解方程组卜=4一X2，得xxj=3x・•・抛物线yx与直线yx的交点为A(1，3)，A(1，3)，B()，2・・・P点的横坐标a£点P点P(ab到直线yx的距离为dv'12+32TP点在抛物线上，，ba-Aa3，即当a3时，d最大，22这时b37・・.P点的坐标为匚4)时，》的的面积最大()证明设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S3位于x 3右侧的面积为SSfl (Sfl (x-4125x 6Sf1 (xxx 3 122ASS即直线x3平分抛物线与线段AB围成的图形的面积12在区间［,］上给定曲线yx,试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S与S之和最小解S面积等于边长为t与t的矩形面积去掉曲线yx与x轴、直线xt所围成的面积，即St•tf