有限元分析与应用第一章

有限元分析与应用第一章第1页，共29页，2023年，2月20日，星期六第2页，共29页，2023年，2月20日，星期六（1）工程问题（2）数值方法（3）有限元方法与ANSYS简介（4）有限元方法的基本步骤（5）直接公式法（6）最小总势能公式（7）加权余数法（8）结果的验证（9）理解问题本章的内容第3页，共29页，2023年，2月20日，星期六

工程问题一般是物理问题的数学模型。数学模型是带有边界条件和初始问题的微分方程，微分方程是通过对系统应用自然的基本定律和原理推导出来的，如波动方程等。这些微分方程代表了某种物理规律或平衡。（数理方程）在可能的情况下，由给定的条件求解微分方程可以得到系统的精确行为。在任何给定的工程问题中，存在两种影响系统行为的参数。一种表示给定系统自然行为的参数，例如弹性模量、热传导因子和粘度等。另一种是系统存在产生扰动的参数，如外力、力矩、介质的温度差和流体的压力差等。在有限元建模中，理解参数在刚度或传导矩阵以及负荷矩阵中的作用是非常重要的。系统特性总是在刚度矩阵、传导矩阵中得到体现，而扰动参数总是出现在负荷矩阵中。工程问题第4页，共29页，2023年，2月20日，星期六在许多实际工程问题中，由于微分方程的复杂性或边界条件和初始条件的难以确定性，得不到系统的精确解。为此我们借助数值方法来近似。解析解表明了系统在任何点上的精确行为，而数值解只在称为节点的离散点上近似于解析解。数值法的第一步都是离散化。这一过程将系统分成一些单元和节点，然后对每一单元或节点建立代数方程组。这种方法假设代表每个单元的近似函数是连续的。假设单元间的边界是连续的，通过组合各单元的解产生系统的完全解。数值方法第5页，共29页，2023年，2月20日，星期六

有限元方法是用于求解工程中各类问题的数值方法，应力分析中稳态的、瞬态的、线性的或非线性的问题以及热传导、流体流动和电磁学中的问题都可以用有限元方法进行分析解决。现代有限元方法的20世纪早期开始，20世纪50年代，boeing公司采用三角元对机翼进行建模，推动了有限元方法的应用。到20世纪60年代，人们接受了“有限元”这个词。ANSYS是一个通用的有限元计算机程序，其代码长度超过10万行。应用ANSYS可以进行静态、动态、热传导、流体流动和电磁学等分析。在过去的20多年里，ANSYS是主要的有限元分析程序。现在ANSYS被广泛应用在如航天、汽车、电子、核科学等领域。有限元方法与ANSYS简介第6页，共29页，2023年，2月20日，星期六有限元方法的基本步骤

预处理阶段1建立求解域并将之离散化成有限元，即将问题分解成节点和单元。2假设代表单元物理行为的形函数，即假设代表单元解的近似连续函数。3对单元建立方程。4将单元组合成总体的问题，构造总体刚度矩阵。5应用边界条件、初值条件和负荷。求解阶段6求解线性或非线性的方程组，以得到节点的值，例如得到不同节点的位移量或热传递问题中不同节点的温度值。后处理阶段7得到其他重要的信息。如主应力、热量值等。第7页，共29页，2023年，2月20日，星期六1.5直接公式法例1.1杆的一端固定，另一端承受负荷P，杆的厚度t，长度L。杆的弹性模量用E表示。假设应用的负荷比杆的重量大的多。将问题域离散成有限的单元，首先将问题分解成节点和单元。我们用5节点4单元的模型代替杆，如图所示，分的越细越精确。杆的模型中有四个独立的分段，每个分段都有统一的横截面积。预处理阶段第8页，共29页，2023年，2月20日，星期六第9页，共29页，2023年，2月20日，星期六假设近似单元行为的近似解考虑一个带有统一横截面A的实体的偏转量，横截面的长度为l，承受的外力为F，如图所示。

实体的平均应力为实体的平均应变为应变与应力的关系为这里E是弹性模量。第10页，共29页，2023年，2月20日，星期六这样有

令

，则

这相当于弹簧。我们认为杆由四个弹性系数不同的弹簧组成，对每个弹簧来说，

和分别是和处的节点的横截面积，l是单元的长度。第11页，共29页，2023年，2月20日，星期六静力学要求每个节点上的应力和为零，所以节点1：节点2：节点3：节点4：节点5：第12页，共29页，2023年，2月20日，星期六重组方程组，得到

第13页，共29页，2023年，2月20日，星期六写成矩阵的形式为=在负荷矩阵中，将反作用力和负荷区分开来是很重要的，于是=第14页，共29页，2023年，2月20日，星期六上式表示成

上式中，R为反作用力，K为刚度矩阵，u为位移矩阵，F为负荷矩阵。由于杆的顶端是固定的，其位移为零，上面的方程简化为求解上面的方程，得到节点的位移量。第15页，共29页，2023年，2月20日，星期六3．对单元建立方程每个单元有两个节点，每个节点相应一个位移量，因此我们需要对每个单元建立两个方程，这些方程必须和节点的位移量和单元的刚度有关，考虑单元内部传递的力的关系。第16页，共29页，2023年，2月20日，星期六节点满足的方程为写成矩阵形式

第17页，共29页，2023年，2月20日，星期六4.将单元组合起来表示整体问题单元1的刚度矩阵为它在总体刚度矩阵中的位置为类似的，对于单元2、3、4，我们有第18页，共29页，2023年，2月20日，星期六第19页，共29页，2023年，2月20日，星期六总体刚度矩阵为利用单元建立方程和利用节点建立方程，得到的结果一样。第20页，共29页，2023年，2月20日，星期六5.应用边界条件和负荷杆的顶端是固定的，即有边界条件。在节点5处加外力P，于是矩阵中的第一行必须包含一个1和四个0，以读取给定的边界条件在固体力学的问题中，有限元公式一般有如下的形式：

第21页，共29页，2023年，2月20日，星期六6.求解阶段我们以例题来说明它。假设铝975845715585单元节点平均截面面积（in2）长度（in）弹性模量单元刚度系数1120.2343752.52230.2031252.53340.1718752.54450.1406252.5第22页，共29页，2023年，2月20日，星期六杆的横截面面积的变化可以由下式来表示这样，每个横截面上的面积为每个单元的对等刚度系数为：第23页，共29页，2023年，2月20日，星期六单元矩阵为：第24页，共29页，2023年，2月20日，星期六总体刚度矩阵为应用边界条件和负荷，得到第25页，共29页，2023年，2月20日，星期六第二行中，系数－975乘以的结果为零，我们得到如下矩阵位移