2022山东省潍坊市高三上学期学核心素养测评数学试题（解析版）

2022届山东省潍坊市高三上学期学核心素养测评数学试题一、单选题1．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（

）A．7 B．7．2 C．7．5 D．8【答案】D【分析】根据百分位数的定义计算即可得出答案．【详解】解：因为，所以第80％分位数为第8个数，故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8.故选：D．2．已知集合．若中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由中有两个元素，得到，由此能求出实数的不同取值个数．【详解】解：集合，1，，，，中有两个元素，，解得，实数的不同取值个数为1．故选：B．3．塔里木河为中国第一大内流河，全长2179千米，由发源于天山的阿克苏河，发源于昆仑山的叶尔羌河，和田河汇流而成．塔里木河自西向东蜿蜒于塔里木盆地北部，上游地区大多流经起伏不平的戈壁荒漠，所以河水的含沙量大，很不稳定，被称为“无缰的野马”．已知阿克苏河，和田河和叶尔羌河的含沙量和流量比(见表)，则塔里木河河水的含沙量约为（

）A．3.333kg/m3 B．4.060kg/m3C．4.992kg/m3 D．5.637kg/m3【答案】C【分析】根据平均数的运算公式进行求解即可.【详解】塔里木河河水的含沙量约为:，故选：C4．在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，且终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义求得三角函数值，再结合二倍角公式，即可求得答案.【详解】若角的终边经过点,则，所以，则，故，故选：C.5．在Rt△ABC中，BC=1，斜边AB=2，点P满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图建立直角坐标系，则，然后由求出点的坐标，从而可求出的值【详解】如图建立直角坐标系，则，所以，设，则，因为，所以，解得，所以，所以，所以，故选：A6．2020年1月11日，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的射电望远镜(简称FAST)．FAST的反射面的形状为球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高．某科技馆制作了一个FAST模型，其口径为5米，反射面总面积为平方米，若模型的厚度忽略不计，则该球冠模型的高为（

）(注：球冠表面积，其中R是球的半径，是球冠的高)A．米 B．米C． D．【答案】B【分析】作出轴截面图形，可以球的几何性质以及球冠的表面积，列出方程组，求解即可．【详解】如图所示为球的轴截面图像，ACD部分为该球冠的轴截面，是弦，是球的半径，点为的中点，则于点，由题意可得，，，，所以，，在中，由勾股定理可得①，又由球冠的表面积可得，②，由①②可得，，所以该球冠模型的高为米．故选：B．7．已知函数．若存在相异的两个实数，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】化简函数的解析式为，分类讨论，结合导数求得函数的单调性，根据函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数，①当时，，可得，此时函数在上单调递减，不成立，舍去；②当时，，可得，此时函数在上单调递减，不成立，舍去；③当时，，若时，，此时在上单调递减；若时，，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，若时，即时，函数在和上单调递减，在上单调递增，，对任意，都有成立，所以当时，存在相异的两个实数，使得成立，所以实数的取值范围为.故选：C.8．设数列的前n项和为，则（

）A．25<S100<25.5 B．25.5<S100<26C．26<S100<27 D．27<S100<27.5【答案】A【分析】利用裂项相消法，来求前项和公式，再求前100项的和即可．【详解】由，∴，∴，故选：A．二、多选题9．16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用不等式的性质，逐项判断即可．【详解】解：对于A，由，可得，故A正确；对于B，由，当时，可得，故B错误；对于C，由，当时，可得，，可得，当，时，可得，当时，，可得，故C正确；对于D，当，时，，，故D错误．故选：AC．10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若的最小正周期是，则B．当时，的一个对称中心为C．当时，D．若在区间上单调递增，则的取值范围为【答案】BCD【分析】A中，根据正切函数的最小正周期公式求出的值；B中，根据正切函数的对称中心判断即可；C中，根据三角函数诱导公式和正切函数的单调性，判断大小即可；D中，根据正切函数的单调区间列出不等式组求得的取值范围．【详解】对于A.若函数的最小正周期是2π，则，解得，所以选项A错误；对于B，时，函数，则，所以是f（x）的一个对称中心，选项B正确；对于C,时，函数，且，，由，得，所以，选项C正确；对于D，令，，因为f(x)在区间上单调递增,所以，解得，又ω＞0，所以，即的取值范围是，选项D正确．故选：BCD．11．设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，B．C．若，则实数m的最小值为D．若有三个零点，则实数【答案】BC【分析】由已知条件可得，再由可求出的解析式，从而可画出的图象，然后利用图象分析判断【详解】因为是奇函数，是偶函数，所以，解得，由得，当时，，则，所以，同理，当时，，以此类推，可得到的图象如下图所示，对于A，根据上述规律，当时，，所以A错误，对于B，根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，所以B正确，对于C，根据图象，当时，，，由图可得C是正确的，对于D，有三个零点，等价于函数与函数有三个不同的交点，设，则函数的图象恒过点的直线，如图所示，当函数与的图象相切时，有三个交点，相切时斜率小于直线的斜率，直线的斜率为，所以有三个零点时，，所以D错误，故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是根据题意求出的解析式，画出的图象，根据函数图象分析求解，考查数学结合的思想，属于较难题12．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，则下列说法正确的是（

）A．过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2B．四面体ABCD的体积为C．AC与BD的公垂线段的长为D．过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4【答案】ACD【分析】A选项，找到过点E，F，G的四面体ABCD的截面，证明出是正方形，求出边长和面积；B选项，分割法求解四面体体积；C选项，找到AC与BD的公垂线，求出长度；D选项，先找到球心的位置，然后再得到过点E作面积最小的截面是以E为圆心，BE=2为半径的圆，面积最大的截面是过点O，E的大圆，求出两圆面积之比.【详解】A选项，取AB中点H，连接EH，GH，因为点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，所以EF∥BD，GH∥BD，FG∥AC，EH∥AC，所以四边形EFGH是平行四边形，故平行四边形EFGH即为过点E，F，G做四面体ABCD的截面，取AC中点Q，连接QB，QD，因为，由三线合一得：DQ⊥AC，BQ⊥AC，又，所以AC⊥平面BDQ，因为平面BDQ，所以AC⊥BD，从而EF⊥EH，因为，所以，即平行四边形EFGH是正方形，面积为，A正确；B选项，由勾股定理得：，同理得：，取BD中点M，连接QM，由三线合一得：QM⊥BD，所以，由勾股定理得：，故，所以，，B错误；C选项，连接MA，MC，由勾股定理得：，同理可得：，由由三线合一得：QM⊥AC，结合B选项求得的QM⊥BD，可得：QM为AC与BD的公垂线段，，故AC与BD的公垂线段的长为，C正确；D选项，取QM的中点S，则S为球心O，理由如下：因为QM⊥BD，MS=，由勾股定理得：，同理可得：，所以S为球心O，且外接球半径为，因为OE⊥BC，所以过点E作面积最小的截面是以E为圆心，BE=2为半径的圆，面积最大的截面是过点O，E的大圆，所以，，所以过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4，D正确.故选：ACD【点睛】对于立体几何中求解截面面积问题，需要先结合图形特点，找到截面，再进行求解，寻找截面的方法，通常是由线线平行，得到截面是平行四边形或梯形.三、填空题13．已知复数z满足，则的虚部为_________．【答案】【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出的虚部.【详解】，则，即的虚部为故答案为：14．对于项数为m(m≥3)的有穷数列，若存在项数为m+1的等比数列，使得，其中k=1，2，…，m，则称数列为的“等比分割数列”．已知数列7，14，38，60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是_______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)【答案】6，12，24，48，96，⋯（答案不唯一）【分析】根据题意写出一个满足条件的数列即可.【详解】取一个首项为6，公比为2的数列即满足，其中k=1，2，…，m，故答案为：6，12，24，48，96，15．已知．若，则_________．【答案】36【分析】先求出，再根据条件求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式求得答案.【详解】对于，令，则；令，则，即，故,故答案为：3616．设，，若关于的方程恰有三个不同的实数解、、，且，则的值为________．【答案】【分析】分析可知，函数为偶函数，可得出，然后分、、解方程，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得解.【详解】设，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，所以，关于的方程的三个实数解必关于数轴的坐标原点对称分布，必有，以下求方程的实数解.当时，，当且仅当时，等号成立；当时，单调递增，且当时，；因为函数为上的偶函数，当时，单调递减，当时，.从而方程恰有三个实数解，，，由条件知，解得，，因此，.故答案为：.四、解答题17．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】先确定所选的条件，再根据数列的通项与前项和的关系，结合等比数列及前项和的函数特征进行运算分析即可得出结论.【详解】解：选①②作条件证明③：设，则，当时，，所以，当时，，因为也是等比数列，所以，解得，所以．选①③作条件证明②：因为，是等比数列，所以公比，所以，即，因为，所以是等比数列．选②③作条件证明①：设，则，当时，，所以，当时，，因为，所以，解得，所以当时，，又因为，且，所以为等比数列．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知，点E在AB上且AE=2BE，．(1)求的值；(2)求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中利用正弦定理求解即可，（2）在中利用锐角三角函数的定义求出，在中利用余弦定理求出的长，从而可求出的周长(1)由题知，，在中，由正弦定理得，因为，，，所以．(2)因为,所以，所以，所以，在中，因为，，所以，在中，由余弦定理得，所以的周长为．19．已知函数，若函数处的切线斜率为2．(1)求实数的值；(2)求函数在区间上的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，然后根据在切点处的导数等于切线斜率可得；（2）讨论函数在区间上的单调性，然后可得.(1)，，因为函数在处的切线斜率为2，所以．(2)，，因为，所以，，所以，在上单调递减，所以在上的最小值为．20．如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，．(1)当k为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心；(2)若，当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）作辅助线，找到Q点在平面PBC内的射影,然后利用重心的性质结合图形的几何性质计算，求得结果；（2）建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出相关向量的坐标，进而求得平面和平面的的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.(1)取中点，连结，，，则，，又，所以平面，过作，交于，因为平面，所以，又，所以平面，即是点在平面内的射影．因为恰好是的重心，所以，在中，，，所以，，所以，即．所以当时，点在平面内的射影恰好是的重心．(2)以为原点，为轴，为轴，作，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，．设平面的法向量，则即取，得．设平面的法向量，则即取，得．．因为，所以当时，上式取得最小值，此时二面角最大，所以平面与平面所成锐二面角最大时，其余弦值为．21．年月日，第四届中国国际进口博览会在上海开幕，共计多家参展商参展，多项新产品，新技术，新服务在本届进博会上亮相．某投资公司现从中选出种新产品进行投资．为给下一年度投资提供决策依据，需了解年研发经费对年销售额的影响，该公司甲、乙两部门分别从这种新产品中随机地选取种产品，每种产品被甲、乙两部门是否选中相互独立．(1)求种新产品中产品被甲部门或乙部门选中的概率；(2)甲部门对选取的种产品的年研发经费（单位：万元）和年销售额（单位：十万元）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．根据散点图现拟定关于的回归方程为.求、的值（结果精确到）；(3)甲、乙两部门同时选中了新产品，现用掷骰子的方式确定投资金额．若每次掷骰子点数大于，则甲部门增加投资万元，乙部门不增加投资；若点数小于，则乙部门增加投资万元，甲部门不增加投资，求两部门投资资金总和恰好为万元的概率．附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，，.【答案】(1)；(2)，；(3).【分析】（1）利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）令，计算出、的值，利用最小二乘法公式结合表格中的数据可求得、的值；（3）设投资资金总和恰好为万元的概率为，则投资资金总和恰好为万元的概率为，推导出数列是首项为，公比为的等比数列，利用累加法可求得的值.,(1)解：种新产品中产品没有