概率统计-第四章

第四章随机变量的数字特征数学期望方差协方差及相关系数矩、协方差矩阵1§1.数学期望引例1

分赌本问题(产生背景)

A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元。由于出现意外情况，在A胜2局B

胜1局时,不得不终止赌博。如果要分赌金,该如何分配才算公平?一、数学期望的概念2A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合，即：A、B赌完5局，并且AAAB

BABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAA

B

BABBA胜B负

A胜B负

A胜B负

B胜A负

B胜A负A胜B负B胜A负

B胜A负3因此,A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目为在赌技相同的情况下,

A,B最终获胜的可能性大小之比为

4因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值，它等于即为X所有可能值与其概率之积的累加。若设随机变量X为“在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金”,则X所取可能值为：其概率分别为:

5

设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量)。射中次数记录如下：引例2

射击问题试问：该射手平均命中环数是多少?命中环数k命中次数频率6解：平均射中环数随机变量Y表示“射手射中的环数”加权平均7

平均射中环数频率随机波动随机波动随机波动

稳定值

“平均射中环数”的稳定值射中环数的可能值与其概率之积的累加Y

的“数学期望”8离散型随机变量的数学期望定义4.1.19分赌本问题A期望所得的赌金即为X的数学期望射击问题“平均射中环数”的稳定值应为随机变量Y的数学期望

10关于定义的两点说明（1）E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值。（2）级数的绝对收敛性保证了级数的值不随级数各项次序的改变而改变。之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X所有可能取值的平均,它不应随可能值的排列次序而改变。11例4.1.1（射击问题）甲、乙两个射手，他们射击的分布律分别为问：哪个射手技术更好？甲射手乙射手

12例4.1.2（彩票发行）某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元。设头等奖1个,奖金1万元；二等奖2个,奖金各5千元；三等奖10个,奖金各1千元；四等奖100个,奖金各100元；五等奖1000个,奖金各10元。已知每张彩票的成本费为0.3元，试计算彩票发行单位的创收利润。解：X表示“每张彩票的中奖额”，X的分布律为每张彩票平均能得到的奖金为

E(X)=0.5元13例4.1.3（候车时间）按规定，某车站每天8:00~9:00，9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，并且到站的事件都相互独立，其规律为一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。到站时刻概率※关键是求出候车时间T的分布律14例4.1.4（分组验血）在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此需要抽验N个人的血，可用两种方法进行：(i)将每个人的血分别取验，这需要检验N次。(ii)按k个人一组进行分组，把k个人抽来的血混合之后检验，如果这组混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴性反应，这样只需化验一次；若呈阳性，则再对k个人的血分别化验，这样需要化验k+1次。假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验次数，并说明k取什么值的时候最适宜。15解：X表示按第二种方法，组内每人需要化验血的次数

16若取p=0.1,则当k=4时,对应的f(k)取到极小值,最适宜.17例4.1.5（泊松分布）设X服从指数为λ的泊松分布，求X的数学期望。解：18连续型随机变量的数学期望定义4.1.219例4.1.6（均匀分布）设X~U(a,b)，求X的数学期望E(X)。20

二、随机变量函数的数学期望21

推广

设Z是随机变量X和Y的函数Z=g(X,Y),

其中g是连续函数,那么问：已知(X,Y)的联合概率密度,

如何计算E(X)？

22例4.1.9

设(X,Y)的分布律为20-1/15523

=124

线性性质注：性质③④可推广到多个随机变量的情形。反之不成立！25例4.1.12（将复杂的随机变量进行分解）设一机场巴士载有20位乘客，共有10个车站可以下车。如果到达一个车站没人下车就不停车，以X表示停车的次数，试求X的数学期望E(X)。解：

26

解：设生产x件,

获得的利润用随机变量Q=Q(x)表示,那么

27例4.1.14(竞拍问题)设甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜。若甲中标，他就将此项目以10千美元转让给他人。可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在7~11千美元之间均匀分布。问：甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大。G(x)概率E(G(x))的极值问题，解得x=37/4.28总结—数学期望数学期望是一个实数,而非变量。它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值。3.数学期望的性质

29练习:

设X服从参数为p的两点分布,Y~b(n,p),Z~g(p),求E(X)、E(Y)和E(Z).30§2.方差实例有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)=1000小时.

※随机变量与其均值的偏离程度

方差31一、方差的定义

32二、方差的计算

33例4.2.1（离散型随机变量的方差）设离散型随机变量X的概率分布是P{X=0}=0.2,P{X=1}=0.5,P{X=2}=0.3,求X的方差D(X).解：根据方差的计算公式34

解：根据方差的计算公式35三、方差的性质

※可推广到n个相互独立随机变量的情形.

36

切比雪夫(Chebyshev)不等式

37

38解例4.2.4

=2945/9

39四、几种常用随机变量的方差两点分布设随机变量X服从参数为p的两点分布,那么二项分布设X~b(n,p),那么泊松分布设X~P(λ),那么

40

分部积分！！！

41

42分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布43总结—方差方差是用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)大,表示X取值的分散程度大,E(X)的代表性差;如果D(X)小,表示X取值集中,E(X)的代表性好.2.方差的计算方法443.方差的性质前提：X和Y相互独立！4.切比雪夫不等式

45§3.协方差及相关系数若随机变量X和Y相互独立,那么

若随机变量X和Y不相互独立,那么

X和Y的协方差46

注②:协方差是期望值,因此上面提到的变化趋势是在平均意义上而言的。一、协方差注①:

正的协方差表示两个随机变量有相同方向的变化趋势;负的协方差表示两个随机变量有相反方向的变化趋势。47协方差的性质

常用计算公式结论:若X与Y相互独立,则Cov(X,Y)=0.反之不成立！48

49二、相关系数

注①:X与Y的相关系数又称为标准协方差,是一个无量纲的量.

X与Y不相关50

注③:不相关的意思是不线性相关,也就是不存在线性关系,但有可能存在其他函数关系.独立一定不相关,但不相关不一定独立.

在概率为1的意义下51

但X与Y不相互独立！

52

解：根据协方差的定义

结论(1)二维正态分布密度函数中的参数ρ代表了X与Y的相关系数.(2)对二维正态随机变量(X,Y)来说,X与Y相互独立ρ=0X与Y不相关

53

Z的数学期望和方差;

Cov(X,Z);

=054§4.矩、协方差矩阵

55说明

(4)若X~N(0,1)或t(n),则X的奇数阶原点矩为零