2021-2022学年甘肃省兰州市兰州第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年甘肃省兰州市兰州第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数的定义域是（）A． B． C． D．（0，4）【答案】C【分析】根据对数函数的单调性，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由，故选：C2．函数（，且）的图象必过定点A． B． C． D．【答案】C【解析】令，即可得到本题答案.【详解】因为函数，且有(且)，令，则，，所以函数的图象经过点.故选：C.【点睛】本题主要考查对数函数(且)恒过定点，属于基础题目.3．已知角α的终边过点，则的值是（）A． B． C．0 D．或【答案】B【分析】根据三角函数的定义进行求解即可.【详解】因为角α的终边过点，所以，，，故选：B4．设则的大小关系是A． B． C． D．【答案】C【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.【解析】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.5．设，且，则（）A． B．10 C．20 D．100【答案】A【分析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.【详解】由，可得，，由换底公式得，，所以，又因为，可得．故选：A.6．函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由解出范围即可.【详解】由，可得，所以函数的单调递增区间为，故选C.7．若，且，那么角的终边落在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由根据三角函数在各象限的符号判断可能在的象限，再利用两角和的正弦公式及三角函数的图象由求出的范围，两范围取交集即可.【详解】，在第二或第三象限，，即，或，解得或，又在第二或第三象限，在第三象限.故选：C【点睛】本题考查三角函数值在各象限的符号、正弦函数的图象与性质，属于基础题.8．当时，，则a的取值范围是A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2)【答案】B【分析】分和两种情况讨论，即可得出结果.【详解】当时，显然不成立.若时当时，，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B.【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数的应用，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.9．当时，函数（，），取得最小值，则关于函数，下列说法错误的是（）A．是奇函数且图象关于点对称B．是偶函数且图象关于点（π，0）对称C．是奇函数且图象关于直线对称D．是偶函数且图象关于直线对称【答案】C【分析】根据正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为当时，函数取得最小值，所以，因为，所以令，即，所以，设，因为，所以函数是奇函数，因此选项B、D不正确；因为，，所以，因此函数关于直线对称，因此选项A不正确，故选：C二、多选题10．定义在R上的偶函数f（x）满足，且在上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（）A．f（x）的图象关于直线对称 B．f（x）在[0，1]上是增函数C．f（x）在[1，2]上是减函数 D．【答案】AD【分析】根据题意，由分析可得，即可得是周期为2的周期函数，可得D正确，利用函数的奇偶性分析可得函数的图象关于直线对称；结合周期性以及对称性分析可判断BC选项；综合即可得答案．【详解】解：根据题意，若，则，即，是周期为2的周期函数，则有（2），故D选项正确；若，且函数为偶函数，则有，则函数的图象关于直线对称，故A选项正确；在，上是增函数，且函数为偶函数，则函数在，上是减函数，B选项错误；在，上是增函数，且是周期为2的周期函数，则函数在在[1，2]上是增函数，C选项错误.故选：AD.11．设函数则使不等式成立的实数a的取值范围可以是（）A．（0，1） B．C． D．【答案】BC【分析】由解析式，应用奇偶性定义可得为奇函数，并确定其值域、单调性，进而讨论、，结合的性质解不等式求a的取值范围.【详解】由题设，当时，，则，当时，，则，综上，为奇函数，在、上值域均为R且分别单调递增；∴，可得，即，当时，，可得；当时，，可得；∴a的取值范围为或.故选：BC.12．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度【答案】BC【分析】先将化简，得，然后根据三角函数图象变换规律分析判断即可【详解】，所以将图象上所有的点向左平移个单位长度，得，再将其横坐标变为原来的倍，可得的图象，即可得函数的图象，所以A错误，B正确，或将图象上所有的点横坐标变为原来的，得的图象，再将其向左平移个单位长度，得的图象，所以C正确，D错误，故选：BC三、填空题13．已知，则_________.【答案】【详解】由题意可得：点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．14．已知，则函数的最大值为__________.【答案】【分析】换元，，化简得到二次函数，根据二次函数性质得到最值.【详解】设，，则，，故当，即时，函数有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了指数型函数的最值，意在考查学生的计算能力，换元是解题的关键.15．已知，则______．【答案】【分析】根据，利用诱导公式转化为可求得结果.【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了利用诱导公式求值，解题关键是拆角：，属于基础题.16．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为________.【答案】【分析】根据三角函数的图象，求出函数的周期，进而求出和即可得到结论．【详解】由图象得，，则周期，则，则，当时，，则，即即，即，，，当时，，则函数的解析式为，故答案为【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数图象求出，和的值是解决本题的关键．四、解答题17．已知.（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据诱导公式化简即可得答案；（2）根据诱导公式，结合已知条件得，再根据同角三角函数关系求值即可.【详解】（1）.（2）∵，∴，又是第三象限角，∴，故.【点睛】本题考查诱导公式化简求值，考查运算能力，是基础题.18．已知函数，.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式即可；（2）根据二次函数的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可.【详解】（1）因为不等式的解集为，则方程的两个根为1和2，由根与系数的关系可得，，所以.由，得，即，解得或，所以不等式的解集为；（2）由题知函数，且在区间上有两个不同的零点，则，即，解得，所以实数的取值范围是．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式(组)的解法与应用问题，综合性较强，属中档题.19．已知函数，（1）若，求的单调区间；（2）若有最大值3，求实数的值.【答案】（1）递减区间为，递增区间；（2）.【分析】（1）当时，设，根据指数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性，即可求解；（2）由题意，函数，分，和三种情况讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）当时，，设，则函数开口向下，对称轴方程为，所以函数在单调递增，在单调递减，又由指数函数在上为单调递减函数，根据复合函数的单调性，可得函数在单调递减，在单调递增，即函数的递减区间为，递增区间.（2）由题意，函数，①当时，函数，根据复合函数的单调性，可得函数在上为单调递增函数，此时函数无最大值，不符合题意；②当时，函数，根据复合函数的单调性，可得函数在在单调递增，在单调递减，当时，函数取得最大值，即，解得；③当时，函数，根据复合函数的单调性，可得函数在在单调递减，在单调递增，此时函数无最大值，不符合题意.综上可得，实数的值为.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，二次函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.20．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.（1）若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积?【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）根据弧长的公式和扇形的面积公式即可求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）根据扇形的面积公式，结合基本不等式即可得到结论．【详解】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α·＝·＝·≤.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.【点睛】本题主要考查扇形的弧长和扇形面积的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．21．已知函数，．(1)求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据正弦函数的周期性和单调性即可得出答案；（2）根据周期变换和平移变换求出函数，再根据余弦函数的性质即可得出答案.(1)解：由函数，则函数f（x）的最小正周期，令，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为；(2)解：函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，得到，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到，当时，，所以，所以函数在区间上的值域为.22．如图，函数（，）的图象与y轴交于点，最小正周期是π