2021-2022学年湖北省襄阳市高二上学期元月期末数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省襄阳市高二上学期元月期末数学试题一、单选题1．已知直线过点，，则该直线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线的斜率公式即可求得答案.【详解】设该直线的倾斜角为，该直线的斜率，即.故选：C．2．如图所示，在三棱锥中，E，F分别是AB，BC的中点，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的线性运算公式化简可得结果.【详解】因为E，F分别是AB，AC的中点，所以，，所以，故选：D．3．在等差数列中，为其前n项和，，则（）A．55 B．65 C．15 D．60【答案】B【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.故选:B．4．设为抛物线焦点，直线，点为上任意一点，过点作于，则（）A．3 B．4 C．2 D．不能确定【答案】A【分析】由抛物线方程求出准线方程，由题意可得，由抛物线的定义可得，即可求解.【详解】由可得，准线为，设，由抛物线的定义可得，因为过点作于，可得，所以，故选：A.5．已知x，y是实数，且，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将方程化为圆的标准方程，则的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，进而根据直线与圆相切求得答案.【详解】方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与点A连线的斜率，设，即，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB时斜率最大.此时，，，所以的最大值为.故选：D．6．已知数列满足，且，则的值为（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，依次求出，观察规律，进而求出数列的周期，然后通过周期性求得答案.【详解】因为数列满足，，所以，所以，，，可知数列具有周期性，周期为3，，所以.故选：B．7．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，分别得到，然后根据空间向量夹角公式计算即可.【详解】以过点且垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则根据题意可得，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则.故选：C.8．设椭圆C：的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，那么的周长的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的对称性椭圆的定义可得，结合的范围求的周长的取值范围.【详解】的周长，又因为A，B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点，所以A，B两点关于原点对称，椭圆C的左焦点为，则，所以，又因为三点不共线，所以，所以的周长的取值范围为，故选：A.二、多选题9．已知方程，其中，则下列选项正确的是（）A．当时，方程表示的曲线是圆B．当时，方程表示的曲线是双曲线C．当时，方程表示的曲线是椭圆D．当且时，方程表示的曲线是抛物线【答案】BC【分析】讨论m,n的符号（包括0），并结合曲线方程的特征即可得到答案.【详解】对于A，当时，方程不表示任何图形，故A错误；对于B，当，时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，当，时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；对于C，当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；对于D，当且时，方程或表示垂直于y轴的两条直线，故D错误．故选：BC.10．已知直线l：和圆C：，则下列选项正确的是（）A．直线l恒过定点B．存在实数m，使得直线l和圆C相切C．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是1D．圆C的圆心到直线l的距离的最小值是【答案】AC【分析】A选项，化简直线l为点斜式，看出所过的定点；B选项，根据所过的定点在圆内，得到直线l和圆C恒相交；C选项，利用几何性质得到当时，圆C的圆心到直线l的距离最大，求出最大值；D选项，利用几何性质得到直线l经过圆心时，最小值为0.【详解】对于A，直线l：，可以整理为：，无论m取什么值，直线l恒过定点，故A正确；对于B，直线l恒过的定点在圆内，所以直线l和圆C恒相交，故B错误；对于C，设定点P（1，1），当时，圆C的圆心到直线l的距离最大，其中圆心，所以最大值为，故C正确；对于D，当直线l经过圆心时，圆C的圆心到直线1的距离最小，最小值为0，故D错误．故选：AC11．如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上不与A，重合的动点，则下列选项中正确的是（）A．异面直线CP与所成角的取值范围是B．当点P运动时，平面平面C．当点P运动时，三棱锥的体积不变D．当点P运动时，的面积存在最小值为【答案】BCD【分析】对A，先证明，进而找到异面直线所成的角，然后得到答案；对B，先证明平面，然后根据面面垂直的判定定理得到答案；对C，先证明平面，进而判断答案；对D，先证明，然后结合三角形的面积公式求得答案.【详解】对A，如图1，因为，所以四边形是平行四边形，则，所以（易知其为锐角）是与所成的角，而若P与A重合，容易判断为等边三角形，，则与所成角的范围是.故A错误；对B，如图2，因为平面，所以，又，则面，于是.因为平面，所以，又，则面，于是.又，所以平面，当P在线段上运动时，恒有平面，所以平面平面.故B正确；对C，如图3，因为，所以四边形是平行四边形，则，而平面，所以平面，当P在线段上运动时，点P到平面的距离d不变，所以三棱锥的体积不变.故C正确；对于D，如图4，因为平面，平面，所以，于是三角形的面积，当最小时，三角形面积最小，当P为线段的中点时，，最小，此时三角形的面积最小，最小值为.故D正确．故选：BCD.12．数列共有60项，满足，其中且，数列的所有奇数项的和记作，所有偶数项的和记作，则下列选项正确的是（）A．（且） B．C． D．【答案】ABC【分析】令，可得，令可得，将两式相减可得由此即可判断A,B是否正确；分别将，2，3…59代入，根据，再根据等差数列前项和公式，即可求出，进而判断C，D是否正确.【详解】对于A，令（且）时，得①，令（且）时，得②，得（且），故A正确；对于B，，故B正确；对于C和D，分别将，2，3…59代入，得，，，，…，，，所以，故C正确，，故D错误．故选：ABC.三、填空题13．若向量，，，且向量，，共面，则______．【答案】【分析】由向量共面的性质列出方程组求解即可.【详解】因为，，共面，所以存在实数x，y，使得，得，解得∴．故答案为：14．已知直线l：和圆C：，过直线l上一点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为______．【答案】1【分析】求出圆C的圆心坐标、半径，再借助圆的切线性质及勾股定理列式计算作答.【详解】圆C：，圆心为，半径，点C到直线l的距离，由圆的切线性质知：，当且仅当，即点P是过点C作直线l的垂线的垂足时取“=”，所以的最小值为1．故答案为：115．已知数列是等差数列，，公差，为其前n项和，满足，则当取得最大值时，______．【答案】9或10【分析】等差数列通项公式的使用.【详解】数列是等差数列，且，得，得，则有，又因为，公差，所以或10时，取得最大值．故答案为：9或1016．已知，分别是椭圆和双曲线的离心率，，是它们的公共焦点，M是它们的一个公共点，且，则的最大值为______．【答案】【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到的关系，然后利用三角换元求最值即可.【详解】解析：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为，半焦距为c，设，，，因为，所以由余弦定理可得，①在椭圆中，，①化简为，即，②在双曲线中，，①化简为，即，③联立②③得，，即，记，，，则，当且仅当，即，时取等号．故答案为：.四、解答题17．已知圆C的圆心在直线上，且过点，．(1)求圆C的方程；(2)过点作圆C的切线，求切线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】(1)由圆心在直线上，设，由点在圆上，列方程求，由此求出圆心坐标及半径，确定圆的方程；(2)当切线的斜率存在时，设其方程为，由切线的性质列方程求，再检验直线是否为切线，由此确定答案.(1)因为圆C的圆心在直线上，设圆心的坐标为，圆C过点，，所以，即，解得，则圆心，半径，所以圆的方程为；(2)当切线的斜率存在时，设直线的方程为，即，因为直线和圆相切，得，解得，所以直线方程为，当切线的斜率不存在时，易知直线也是圆的切线，综上，所求的切线方程为或．18．已知数列是递增的等比数列，满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量从而得出的通项公式；（2）由(1)可得，再由裂项相消法求和即可.(1)设等比数列的公比为q，所以有，，联立两式解得或又因为数列是递增的等比数列，所以，所以数列的通项公式为；(2)∵，∴，∴．19．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点在抛物线C上．(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若求直线l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】(1)把点的坐标代入方程即可；(2)设直线方程，解联立方程组，消未知数，得到一元二次方程，再利用韦达定理和已知条件求斜率.(1)因为抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设抛物线方程为又因为点在抛物线C上，所以，解得，所以抛物线的方程为；(2)抛物线C的焦点为，当直线l的斜率不存在时，，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设直线l交抛物线的两点坐标为，，由得，，，，由抛物线得定义可知，所以，解得，即，所以直线l的方程为或．20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面ABCD，．(1)求证：平面ACM；(2)求平面MBC与平面DBC的夹角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）连接BD，借助三角形中位线可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.(1)连接BD，与AC交于点O，在中，因为O，M分别为BD，PD的中点，则，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.(2)设E是AB的中点，连接PE，因为为正三角形，则，又因为平面底面ABCD，平面平面，则平面ABCD，过点E作EF平行于CB，与CD交于点F，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，所以，，设平面CBM的法向量为，则，令，则，因为平面ABCD，则平面ABCD的一个法向量为，所以，所以平面MBC与平面DBC所成角的大小为30°．21．已知椭圆C：的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求（O为坐标原点）的面积的最大值．【答案】(1)；(2)1.【分析】(1)根据给定条件结合列式计算得解.(2)设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答.(1)椭圆C的半焦距为c，离心率，因过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的弦长为1，将代入椭圆C方程得：，即，则有，解得，所以椭圆C的方程为.(2)由(1)知，，依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，，，由消去x并整理得：，，，的面积，，设，，，，当且仅当，时取得“=”，于是得，，所以面积的最大值为1.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，双曲线C的右焦点为，双曲线C的左、右顶点分别为A，B．(1)求双曲线C的方程；(2)过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴的上方），直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，证明：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得，，即求；（2）由