2017届四川省成都市第七高三三诊模拟数学（理）试题（解析版）

2017届四川省成都市第七高三三诊模拟数学（理）试题一、选择题1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题是“甲抛的硬币正面向上”，是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”即“甲抛的硬币反面向上”或“乙抛的硬币反面向上”，此命题可表示为：.本题选择A选项.2．已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由得：，，则，故选B.3．若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由题意可知：，则.本题选择D选项.4．设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知：.本题选择C选项.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可知原几何体是一个组合体，如图所示，下面是半径为2，高为4的半圆柱，上面是长为4、宽为2、高为2的一个长方体，∴S表=S半圆柱底+2S长方体表面积=.本题选择C选项.6．设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由平面向量基本定理可得：，故选A.7．执行如图的程序框图，则输出的值是（）A.2016B.1024C.D.-1【答案】D【解析】解：由题意可知：该程序框图计算的问题可转换为如下的数列问题：已知中，，有递推关系：，求的值.该数列为周期为3的周期数列，且，输出值为：.本题选择D选项.8．已知是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意可知：，则：，点在椭圆上，则：，故：，解得：，即的取值范围是.本题选择A选项.点睛：解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．9．等差数列中的是函数的两个极值点，则（）A.B.4C.D.【答案】C【解析】由，得，由，且是的极值点，得，，∴，则，故选C.10．函数的最小正周期是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】化简，则其最小正周期为，故选B.11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名。无论是否把我算在内，下面说法都是对的。在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士.”请你推断说话的人的性别与职业是（）A.男医生B.男护士C.女医生D.女护士【答案】C【解析】设女护士人数为，男护士人数为，女医生人数为，男医生人数为，则有：（1）（2）（3）（4）得出：，假设，仅有：，，时符合条件，又因为使abcd中一个数减一符合任一条件，只有符合，即女医生，假设则没有能满足条件的情况，综上，这位说话的人是女医生，故选C.点睛：本题考查的知识点是逻辑推理，难度中档；设女护士人数为，男护士人数为，女医生人数为，男医生人数为，根据已知构造不等式组，推理可得结论.12．设集合，，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：集合A表示以(3,4)为圆心,半径为的圆，集合B表示以(3,4)为圆心,半径为的圆，集合C在λ>0时,表示以(3,4)为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如图所示，若(A∪B)∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，当时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足题意；当时，菱形在圆环的内部，与两圆均无交点，不满足题意；当菱形与小圆相切时,，当菱形与大圆相切时,，综上可得：实数λ的取值范围是.本题选择A选项.点睛：解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形．二、填空题13．已知向量，且，则向量的夹角的余弦值为__________．【答案】【解析】解：由题意可知：，则：.14．二项式的展开式中，含的项的系数是，若满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】的展开式的通项为，令，得，根据已知条件画出可行域，这里可以把换成，如图所示，与交于点，当直线过点时，取得最小值，当直线过点时，取得最大值4，所以其取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．成都112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加.若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有__________种.（用数字作答）【答案】150种【解析】第一步：将5名学生分为3份，共有种；第二步：分到三个社团种，则不同的选择方案有种，故答案为.16．已知函数，若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】解：绘制函数的图象，实数为过点且与函数图象只有一个交点的直线的斜率，据此可得：.三、解答题17．在中，角所对应的边分别为，已知，.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用题意求得，则．(2)利用题意解三角形可得，且，三角形面积公式可得：．试题解析：（1）因为，所以，解得，（舍去）．所以，又，所以．（2）因为，所以，又，所以，所以，又因为，由得，所以．点睛：在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）随机变量的分布列为：

0

30

60

90

120

其数学期望．【解析】试题分析：（1）由题意可知，A区扇形区域的圆心角为，根据几何概型可知，指针停在A区的概率为，同理可求指针落在B区域的概率为，指针落在C区域的概率为，所以若某位顾客消费128元，根据规则，可以转动一次转盘，若返券金额不低于30元，则指针落在A区域或落在B区域，而由于指针落在A区域或落在B区域为互斥事件，根据互斥事件概率加法公式，返券金额不低于30元的概率为；（2）若某位顾客消费280，则可以转动2次转盘，那么他获得返券的金额X的所有可能取值为0,30,60,90,120，概率为，，，，。即得到X的分布列，然后可以根据公式求X的数学期望。试题解析：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C．则．（1）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．即所以消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（2）由题意得,该顾客可转动转盘2次,随机变量的可能值为0,30,60,90，120所以，随机变量的分布列为：

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其数学期望【考点】1.几何概型；2.随机事件的概率；3.离散型随机变量的分布列和数学期望。19．如图三棱柱中，侧面为菱形，．（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连接，交于点，连接，可证平面，可得，，进而可得；（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值.试题解析：（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又，所以平面．由于平面，故，又，故．（2）因为，且为的中点，所以．又因为，所以，故，从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系（图略）因为，所以为等边三角形，又，则，．，，设是平面的法向量，则，即，设是平面的法向量，则，同理可取．所以可取，，所以二面角的余弦值为．20．如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好是三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程．【答案】（1）（2）的面积最大值为．此时．【解析】试题分析：（1）由椭圆的性质可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，联立抛物线与椭圆的方程可得，得代入抛物线方程得，可得，可得直线与抛物线的方程，联立得，求出点到直线的距离，结合面积公式可得最值.试题解析：（1）因为，则，所以取最小值时，此时抛物线，此时，所以椭圆的方程为；（2）因为，则，设椭圆的标准方程为，由得，所以或（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又的边长恰好是三个连续的自然数，所以．此时抛物线方程为，，则直线的方程为．联立，得或（舍去），于是．所以，设到直线的距离为，则，当时，，所以的面积最大值为．此时．21．已知函数．（1）当，取一切非负实数时，若，求的范围；（2）若函数存在极大值，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）当时，，原题分离参数得恒成立，右边求导求出其最大值即可；（2）对其求导，当时，在上为单增函数，无极大值；当时，在上为增函数，在上为减函数，其中满足，故可得极大值，令，得，对其求导可得其最小值.试题解析：（1）当时，，恒成立等价于恒成立，令，，，当时，恒成立，即在内单调递减，故，可得在内单调递减，故.（2），①当时，，所以，所以在上为单增函数，无极大值；②当时，设方程的根为，则有，即，所以在上为增函数，在上为减函数，所以的极大值为，即，因为，所以，令则，设，则，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以得最小值为，即的最小值为-1，此时．点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，知圆和直线．（1）求圆与直线的直角坐标方程；（2）当时，求圆和直线的公共点的极坐标．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)利用化简所给的极坐标方程为直角坐标方程即可；(2)由(1)的结论求得直线与圆在直角坐标系下的公共点为，转化为极坐标为．试题解析：（1）圆，即，故圆的直角坐标方程为：，直线，即，则直线的直角坐标方程为：．（2）由（1）知圆与直线的直角坐标方程，将两方程联立得解得．即圆与直线的在直角坐标系下的公共点为，转化为极坐标为．23．选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或．【解析】试题分析：(1)分段讨论