利用隐形圆 求线段最小值 论文

利用隐形圆求线段最小值张标摘要：在近几年各地中考题和仿真题中，经常会出现求线段最小值的题目．通过对题目的分析，我们可以发现这些题大多可以归纳为“隐形圆”问题．这些题目构思巧妙，综合性强，涉及的各知识点之间关联度高，既考查学生全面分析问题、综合运用所学知识解决问题的能力；也考查学生对于数形结合、转化与化归等重要数学思想的掌握情况，有助于帮助学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣，因此深受命题者的喜爱． 关键词：隐形圆，定点定长，定角定长，数学思想

引言：动点问题中的最小值问题是初中数学的难点，也是中考命题的热点，往往出现在压轴题中．这类题目隐蔽性较强，解题时如果不善于挖掘题目隐藏信息，往往会感觉“山重水复疑无路”，反之，如果能从题目中找出动点的运动路径，发现“隐形圆”这一重要线索，则会“柳暗花明又一村”，从而从内心深处发出“‘圆’来如此”的感叹．下面我就分别讲述如何从“定点定长”和“定角定长”两类典型题目中找动点的运动路径，挖掘题目中的隐形圆．一、定点定长找隐形圆

1.试题呈现

如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是______．（2019年辽宁锦州第15题） 图1

2．试题分析

（1）结合题目所求，初步提出猜想

题目求A′C的最小值，最值的出现必源于动点的运动．本题中C点是定点，A′点是动点，因此可以确定这题是“一定一动”求最小值问题.结合A′点的运动特点猜想此题应该与圆有关．我们知道求圆外一点到圆上各点最短距离时，只要连接该点和圆心，所连线段与圆的交点即为取得最短距离时的动点位置，这样此题便有了初步思路． （2）结合题目条件，再次确定猜想

由于M点和A点为定点，线段MA的长度在折叠过程中不变，因此我们可以知道在翻折过程中A′点到M点的距离始终等于MA，也就是说A′点是在以M点为圆心，MA为半径的圆弧上（矩形ABCD内部的部分）运动．这样我们便挖掘出题目中隐藏的“定点定长”这一重要特征，因此将题目中的隐形圆加以显形，作出该隐形圆，如图2．图2 （3）通过推理论证，得出题目答案

如图，在△MA′C中，MC与MA′的长度是不变的，由“两点之间，线段最短”得MA′+A′C＞MC，即A′C＞MC-MA′．因此当M、A′、C三点共线时，A′C=MC-MA′，此时线段A′C取最小值．解：如图2，∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=2，∴CD=AB=3，AD=BC=2.∵M是AD边的中点，∴AM=MD=1．由折叠得A′M=AM=1．∴点A′在以点M为圆心，AM为半径的圆弧上（矩形ABCD内部的部分）.连接MC，当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值．∵MC=√(MD²+CD²)=√10，∴A′C的最小值=MC﹣MA′=√10-1． 3．变式练习

（1）变式1定点定长与“垂线段最短”的结合

如图3，在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，BC=8，点F在边AC上，且CF=2，点E为边BC上的一动点，将△CEF沿EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是______.（2016年江苏淮安第18题）图3分析：如图4，由于F点和C点为定点，线段FC的长度在折叠过程中不变，因此我们可以知道在翻折过程中P点到F点的距离始终等于FC，也就是说P是在点以F点为圆心，FC为半径的圆弧上（Rt△ABC内部的部分）运动．由于半径FP为定值，只要FM最短，P点到AB的距离就最小，因此延长FP交AB于M点，根据“垂线段最短”，当FP⊥AB时，P点到边AB的距离最小.图4 解析：∵∠A=∠A，∠C=∠AMF=90o，∴△ABC∽△AFM，∴BC：FM=AB：AF，即8：FM=10：4，解得FM=3.2，∴PM=FM-FP=3.2-2=1.2． （2）变式2定点定长与“化折为直”的结合

如图5，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为_____． 图5

分析：如图6，点E、F分别是AD、DC边上的动点，虽然长度为定值4，但仍然是动点，同时由于点E、F的运动，引起点G的运动；而点P又为BC上另一动点，至此题中出现了4个动点，而题目求PA+PG的最小值，考虑到“将军饮马”模型，作A点关于边BC的对称点A′，则PA′=PA，因此将PA+PG转化为PA′+PG．而此时与“将军饮马”模型不同的是G点仍然为动点，考虑到G点为Rt△DEF斜边EF的中点，且斜边EF的长度为定值，所以连接DG，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知点G是在以D为圆心，DG=2为半径的圆弧上（矩形ABCD内部的部分）运动，至此挖掘出题中的隐形圆．所以PA+PG=PA′+PG=PA′+PG+DG-DG=PA′+PG+DG-1，利用“化折为直”，当A′、P、G、D四点共线时，PA+PG最短．解：如图6，连接DG，在Rt△DEF中，∵EF=4，点G为EF的中点，∴DG=2，∴G点是以D点为圆心，以2为半径的圆弧上（矩形ABCD内部的部分）的点．作点A关于边BC的对称点A′，连接A′D，交BC于点P，交圆D于点G，此时PA+PG取最小值，最小值即为A′G的长．∵AB=4，∴AA′=8，又∵AD=6，∠A′AD=90o，∴A′D=10，∴A′G=A′D-DG=10-2=8．∴PA+PG的最小值为8． 图6

二、定角定长找隐形圆

1．试题呈现

如图7，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．（2016年安徽第10题）A．B．2C．D．图7 2．试题分析

题目求线段CP长度的最小值，由条件可知，C点为Rt△ABC的顶点，是定点，P点是Rt△ABC内的一个动点，因此可以确定这题是“一定一动”求最小值问题.根据“等角的余角相等”可知∠P=90o，考虑到虽然P点是动点，但∠P是定角，而且∠P所对的线段AB是定长，这样我们便挖掘出题目中隐藏的“定角定长”这一重要特征，结合“90o的圆周角所对的弦是直径”，因此可将题目中的“隐形圆”加以显形，作出该隐形圆． 图8

解：如图8，∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴P点在以AB为直径的圆O上（Rt△ABC内部的部分），连接OC交圆O于P点，此时PC最小，在Rt△BOC中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC=5，∴PC=OC-OP=5-3=2．∴CP最小值为2．3．变式练习定长所对的角不是90o

如图9，在等边△ABC中，AB=√3，AE=CD，AD、BE相交于P点．则CP的最小值是_____． 图9

分析：通过“△ABE≌△CAD”可得∠APB=120°，而∠APB所对的边AB=2√3，满足“定角定长”，但是由于∠APB=120°而不是90°，所有点P不是在以AB为直径的圆弧上，而是在以AB为弦，圆心角为120°的圆F上（△ABC内部的部分），连接CF交圆弧于点M，则CM即为所求．解：如图10，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD，故∠ABE=∠CAD，又∵∠CAD+∠BAD=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APB=120°.又∵AB=√3，∴P点在以AB为弦，圆心角为120°的圆F上（在△ABC内部的部分），∴∠ABF=30°，又∵∠ABC=60°，∴∠CBF=90°，连接CF交圆于M点，则CM的长即为CP的最小值.CM=CF-r=2-1=1．图10三、思考本文的例题及变式都涉及到求平面上一定点到圆上一动点的最小值，而题中动点的运动路径并没有直接给出，此时需要根据题目条件分析出动点的运动路径，即找出题中存在的隐形圆.文中列举了“定点定长”和“定角定长”两类存在隐形圆的情形．在平时的解题教学中，教师