数据处理与实验设计

数据处理与实验设计第1页，共43页，2023年，2月20日，星期六实验数据的整理误差分析整理列表曲线标绘求取数学模型第2页，共43页，2023年，2月20日，星期六第一节实验数据的列表整理评定实验精度的几个特征值

1.平均值

2.均方差3.平均值标准差算术平均值加权平均值等精度测量不等精度测量第3页，共43页，2023年，2月20日，星期六第一节实验数据的列表整理实验数据的初步整理步骤

1.求出算术平均值2.求出各测定值的均方差3.确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否超过最大可能误差4.确定其算术平均值的均方差第4页，共43页，2023年，2月20日，星期六第一节实验数据的列表整理例：整理某亚高效过滤器灰尘穿透个数的结果

第5页，共43页，2023年，2月20日，星期六第一节实验数据的列表整理1.求出算术平均值2.求出各测定值的均方差3.确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否超过最大可能误差最大可能误差第六个测定值不可靠第6页，共43页，2023年，2月20日，星期六4.确定其算术平均值的均方差第一节实验数据的列表整理算术平均值练习题如果实验中，某气体流量计的相对误差为12％，那么，应指定量测多少次，才能保证其结果的相对精度是10％，5％，3％和1％？第7页，共43页，2023年，2月20日，星期六第一节实验数据的列表整理三.实验结果的数据表1.标题应该醒目，恰当的说明主题；2.数据的名称和单位，应在表格的名称栏中表明，不宜和数字附在一起；3.“过大”或“过小”的数据，应该用“乘数10”来表达，并将它放在表头；4.表中的数字应与测定精确度相适应，注意有效数字的运算和写法第8页，共43页，2023年，2月20日，星期六第二节实验数据的插值差值法：就是根据已知实验点的数据，找出一个原函数关系的简单表达式，时他们在给定的若干点处符合实验值，用词表达式近似的找出差值点的数值。内插法外推法常用的方法：线型插值法，图解法，拉格朗日法及样条函数法第9页，共43页，2023年，2月20日，星期六第二节实验数据的插值例：已经测得不同直径的圆柱中心冷却速度如下：图解法：

选一个坐标系，以横坐标表示圆柱直径，纵坐标表示中心冷却速度，然后将已知的测定点标注在图上，用光滑曲线将这些点连接起来，即得到了近似的函数曲线。在曲线上，找出横坐标为40的点，那么纵坐标即为所求的插值结果。求40cm的圆柱中心冷却速度。第10页，共43页，2023年，2月20日，星期六第二节实验数据的插值第11页，共43页，2023年，2月20日，星期六第二节实验数据的插值线性插值法：

线性插值就是我们早已用过的部分正比法，他是把插值区间的函数关系，近似当作直线来处理。设被插值的原函数，，的值分别为则通过此两点，的直线方程为：

第12页，共43页，2023年，2月20日，星期六第二节实验数据的插值第13页，共43页，2023年，2月20日，星期六拉格朗日法：

设为给定的节点，，为相应的函数值，求一个次数不超过的多项式，使其满足，.这类问题称为插值问题。称为被插值函数，称为插值函数，称为插值节点一、问题提出第14页，共43页，2023年，2月20日，星期六y=f(x)Oyxy=p(x)

几何解释

求代数多项式，使其通过给定的点，并用它近似已知曲线.第15页，共43页，2023年，2月20日，星期六

定理1

设为给定的彼此互异的个插值节点，则存在唯一的次数不超过的多项式，满足条件,.二、存在唯一性第16页，共43页，2023年，2月20日，星期六三、Lagrange插值多项式的构造

求一个n次多项式,使其满足如下条件

其中为Kroneker符号.注意到当时,为的根,故可设,其中C为待定常数.此时由另一条件当时,得,

得到常数C,进而得到基函数

从而Lagrange插值多项式可以表示为

第17页，共43页，2023年，2月20日，星期六四、线性插值和抛物插值

当n=1时,插值结点为,相应的函数值为,插值基函数满足故线性插值多项式可表示为

几何意义:通过两点的直线.

第18页，共43页，2023年，2月20日，星期六

当n=2时,插值结点为,相应的函数值为,插值基函数满足

故抛物插值多项式可表示为

几何意义:通过三点的抛物线.

第19页，共43页，2023年，2月20日，星期六第二节实验数据的插值有了这n个n－1次多项式，可写出插值多项式

本例已知：x1=19;x2=25;x3=25;x4=75;y1=105;y2=55;y3=19;y4=10;求x＝40时y的值。第20页，共43页，2023年，2月20日，星期六例2.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。第21页，共43页，2023年，2月20日，星期六解：用4次插值多项式对5个点插值

第22页，共43页，2023年，2月20日，星期六

第23页，共43页，2023年，2月20日，星期六于是有第24页，共43页，2023年，2月20日，星期六评价优点:Lagrange基函数容易构造,结构紧凑,便于理论研究.缺点:当增加或减少插值结点时,基函数需要重新构造,不便于实际的计算使用第25页，共43页，2023年，2月20日，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线4-2-2图解法处理实验数据作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。作图步骤：实验数据列表如下1、选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以1～2mm对应于测量仪表的最小分度值或对应于测量值的次末位数）。作图六点要求：第26页，共43页，2023年，2月20日，星期六2、标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。4、连成图线：用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图线正穿过实验点时可以在点处断开。3、标实验点：实验点可用“+”、“*”、“。”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。第27页，共43页，2023年，2月20日，星期六I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00由图上A、B两点可得被测电阻R为：A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)5.标出图线特征：在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点A、B的坐标就可求出R值。6.标出图名：在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。电阻伏安特性曲线第28页，共43页，2023年，2月20日，星期六图2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴以3cm

代表1V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。第29页，共43页，2023年，2月20日，星期六改正为：I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线第30页，共43页，2023年，2月20日，星期六定容气体压强～温度曲线1.20001.60000.80000.4000图3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。第31页，共43页，2023年，2月20日，星期六改正为：定容气体压强～温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)第32页，共43页，2023年，2月20日，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线一.坐标的选择1.直角坐标；优点：最常用的方式，也是最熟悉的方式优点：A变量之一在所研究的范围内，有若干数量级的变化时，例如横坐标在20，40，60，80，100，500，1000，2000，4000，此横坐标，如采用直角坐标的花，曲线开始部分的坐标点几乎无法描绘。B当自变量在起始阶段的少许变化，引起因变量有剧烈变化时C当需要将非线性函数关系，变换成执行函数关系时。2.单对数坐标纸；第33页，共43页，2023年，2月20日，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线3.双对数坐标；4.极坐标；第34页，共43页，2023年，2月20日，星期六二比例尺的选择

1.两个坐标比例尺应遵守的比例法则

第三节如何正确的绘制实验结果曲线保证两个坐标轴各自所取的比例应遵守一定的关系两轴比例尺的选择应保证“双双误差”面积成正方形第35页，共43页，2023年，2月20日，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线二.比例尺的选择1.两个坐标比例尺应遵守的比例法则；

两轴比例尺的选择应保证“双双误差”面积成正方形。例：

当自变量x为1，2，3，4时，因变量y为8.0，8.2，8.3，8.0。现在任取坐标轴比例尺来作图，如纵坐标比例尺取得过分短或者过分长时，所获得两个曲线则完全不同。第36页，共43页，2023年，2月20日，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线

在本例子中，自变量测定误差为0.05，而因变量测量误差为0.02。

取沿x轴1单位为20mm，实验点的底边在图上的宽度：

为保证点的高度在图上也等于2mm时，纵坐标1个单位就应等于Mmm（M为待定比例尺），即按第37页，共43页，2023年，2月20日，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第38页，共43页，2023年，2月20日，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线2.单坐标轴比例尺的选择1.比例尺的大小，应保证所描出的实验误差“点”的面积，通常在2－4mm2之内，且应使所有测试数据易于在图面上绘出确切的坐标点。2.自变量至于x轴上，因变量置于y轴上，沿y轴标示的变量应该包括所研究区间的全部变化值；3.应使所绘曲线，占满坐标纸面，如果是直线关系，应使其尽量接近一根斜率为1的直线。第39页，共43页，2023年，2月20日，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线四.通过数据点描绘曲线的方法1.标绘数据点是，可用各种符号，