2022-2023学年山东省临沂第十九中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省临沂第十九中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．在等差数列{an}中，a、a是方程的两根，则a的值为（）x3x4＝022433A．2B．3C．±2D．2【答案】Daa3，再利用等差中项运算求解【分析】根据韦达定理可得.24aa3【详解】由题意可得：24aa2a3∵{an}为等差数列，则24332∴a3故选：D.y1,,3平行，则xy（）2．已知向量ax,2,6与b3D．A．1B．1C．3【答案】Bx,y进而求得xy.【分析】根据向量平行列方程，求得b1,y,3平行，【详解】由于向量ax,2,6与632注意到，x12，故x2,y1,xy1.所以2y2故选：B3．已知抛物线：40恰好经过圆M：1xmy1的圆心，则抛物线的焦点坐C2xy22C2标为（）1,01A．(1,0)B．2C．(0,)D．(0,1)8【答案】CM(1,2)，代入抛物线，求得m，进而得到抛物线得标准方程，进而可求得抛物线【分析】求出圆心C的焦点坐标.(1,2)【详解】由已知得，圆M的圆心为：，第1页共15页42m0，解得2，my2y22x2y24．已知，是椭圆：1的两个焦点，点在上，则的最大值为（）CCMFMFM9412A．13【答案】CB．12C．9D．6MFMF2a6，借助基本不等式【分析】本题通过利用椭圆定义得到12MFMF22即可得MFMF到答案．1212】由题，9,b4，则MFMF26a，【详解a2212MFMF29（当且仅当MFMF3时，2所以MFMF等号成立）．122112故选：C．【点睛】5．如图，在平行六面体ABCDABCD中，AADAAB60，，BAD90111111AA2，O是AC与的交点，则（）ABAD1AO1，BD11111111A．2132226B．C．D．222【答案】DABAD1，AA290AADAAB60，【分析】利用空间向量，表示，再由AO，BAD，1111通过向量的模求解.ABa,BCb,AAc【详解】设1第2页共15页ab则1,c2,ab0,acbc121121则AOAAAOAA1ACAA1ABBCAA1ABBC12a1bc222211111111111112a12bc4a214b2c2a·cb·c111411442622AO1故选：D【点睛】方法点睛：利用棱柱的结构特征，结合空间向量求两点间的距离.6．若过原点的直线l与圆x24xy230有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为（）662,5,,0,,0,A．B．C．D．336633【答案】C【解析】先由圆的方程确定圆心和半径，得到直线l的斜率存在，设直线l的方程为，根据直ykx线与圆的位置关系列出不等式求解，得出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围.21，2y【详解】由x2xy230得4x21的圆心为，半径为r1，2,0所以圆x22y2因此为使过原点的直线l与圆x2xy230有两个交点，直线l的斜率必然存在，4不妨设直线l的方程为：，即kxy0ykx2k0则有k22k13k3，31，整理得k3，解得3r，即21k12记l的倾斜角为，则tan3，3330,5,.660,又，所以故选：C.7．已知抛物线：4x的焦点为F，在上有一点P，PF8，则PF的中点M到轴的距离CyyC2为（）A．4B．5C．112D．6【答案】APHl【分析】设抛物线C的准线为l，过点P作线的定义和梯形的中位线定理可求得答案【详解】设抛物线C的准线为l，过点P作于点H，准线与x轴的交点为A，然后根据抛物于点H，准线与x轴的交点为A，PHl第3页共15页由抛物线的定义可知PFPH8，FA2，FAPH5，12C的准线的距离为MB故的中点到PFMly故的中点到轴的距离为．4PFM故选：Ay2x28．已知双曲线:1(a0,b0)的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则的渐近CCa2b2线方程为（）23A．yB．yxx22C．y2xD．y3x【答案】C【分析】利用双曲线的几何性质及锐角三角函数，结合双曲线的渐近线方程即可求解.b【详解】由已知及双曲线的对称性可得tan30，所以3b所以b2c22b，所以2，ab.cac所以yC的渐近线方程为ax2x.b故选：C.二、多选题9．给出以下命题，其中正确的是（）b12向向量为1,1,2，直线2,1,向向量为A．直线l的一个方m的一个方，则l与m垂直an1,1,1，则向向量为0,1,1，平面的一个alB．直线l的一个方法向量为法向量分别是n0,1,3，1,0,2，则∥n12C．平面，的一个第4页共15页113OB16OC，则，，，四点共面CABPD．若对空间中任意一点O，都有2OAOP【答案】AD【分析】根据空间向量证明线线、线面、面面平行垂直的方法判断ABC选项；D选项根据共面向量基本定理的推论判断.ab21210A选项：lmA【详解】，所以，，故正确；ab2，所以an，l∥或l在平面内，故B错；B选项：an0110nn，则,C错；C选项：n与不平行，平面也不平行，故n1212111D选项：1，则D正确.PABC,,,四点共面，故236故选：AD.xyr2r0上恒有10．若圆4个点到直线xy20的距离为1，则实数r的可能取值是（）22A．2B．31C．3D．21【答案】BC【分析】转化条件为圆的半径大于圆心到直线的距离加一即可得解..0,0到直线的距离d22，xyr2r0的圆心【详解】圆222因为圆x2y2r2r0上恒有xy20的距离为1，4个点到直线所以圆的半径r21.对比选项，可得BC符合题意.故选：BC.的函数值等于所有11．已知欧拉函数整数的个数.例nnN*不超过正整数n，且与n互素的正，则（）如：，，设数列中：1142aannNn*nA．数列是单调递增数列anB．的前8项中最大项为aa7naC．当n为素数时，1nnD．当n为偶数时，na2n【答案】BC【分析】根据欧拉函数的概念可写出数列a的前8项，根据前8项，可判断选项；根据n为A,B,Dn第5页共15页素数时，n1个数都互素，从而可判断选项n与前C.列a前8项为：1,1,2,2,4,2,6,4，不是单调递增数列，故选项A错误；n【详解】由题知数a的前a6，故选项B正确；A可知，8项中最大项为n由选项71当n为素数时，n与前Cn1个数互素，故an，所以对正确；n因为a2，故选项D错误.6故选：BC.12．设抛物线：y28x的焦点为F，准线为l，点为上一动点，E3,1为定点，则下列结论CMC正确的是（）A．准线l的方程是x2B．MEMF的最大值为2C．MEMF的最小值为5【答案】ACDD．以线段MF为直径的圆与y轴相切A；根据三角形三边关系MEMFEF，判断直接求准线方程，判断C；根据直线与圆相切【分析】根据抛物线方程，B；根据抛物线的定义，转化MF为点M到焦点的距离，利用数形结合判断的定义，判断D.【详解】由题意得p4，则焦点F2,0，准线l的方程是xp2，A正确；2MEMFEF321022，当点M在线段EF的延长线上时等号成立，所以2MEMF的最大值为2，B错误；MEMFMEMAEB5，如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，，则B当点M在线段EB上时等号成立，所以MEMF的最小值为5，C正确；x2MF设点Mxy，线段MF的中点为D，则xy，所以以线段MF为直径的圆与轴相,02200D切，D正确，第6页共15页故选：ACD.三、填空题13．若椭圆xy21的焦点在x轴上，且离心率为e2，则m______.236m3【答案】20【分析】根据题意得到c236m，结合离心率求出m20.a2【详解】由题意得：36,b2m，则c236m，36m23642故m.，解得：2039故答案为：20.14．设是等差数列，且a3，aaa14，若a37，则m___________.124mn【答案】18【分析】根据等差数列的通项公式，结合代入法进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为，因为a3，d1aa143d33d14d2，所以由24由a373(m1)237m18，m故答案为：1815．已知双曲线C:xy21与直线y2x无交点，则m的取值范围是_____．24m【答案】0,16【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线y2x应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式m2，解之即可求得m的取值范围.2第7页共15页【详解】依题意，由C:x2y21可得m0，双曲线C的渐近线方程为ymx，24m因为双曲线C与直线y2x无交点，所以直线y2x应在两条渐近线上下两部分之间，.m2，解得0m16，即m0,16故2故答案为：0,16..16．已知数列a满足a，则an的最小值为_________.n18，aa2nn1n1n15【答案】2【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可．【详解】aa2n，n1naa2，21aa4，32aa2n1，nn1由累加得nn1aa242n12123n12nn2n，21所以an22n18nann118ann1，nnfxx18在0,32上单调递减，在32,上单调递增，x0,4在上单调递减，在5,上单调递增，且nN，annn4或5时最小，n4时，an41152；18n4第8页共15页183815an5时，n51；n55215a所以的最小值为nn215故答案为：．2四、解答题17．已知数列是等差数列，且S18，.S22a911n（1）求数列a的通项公式.n（2）求a的前n项和S的最小值.nn【答案】（1）a4n22，（2）当n5时，最小，最小值为50.SSnn5S9a，S11a，算出a，a，然后再算出即可；【解析】（1）由等差数列前n项和的性质可得d9511656（2）求出S，然后利用二次函数的知识可得答案.nS9a18，S11a22【详解】（1）因为数列a是等差数列，所以95116na2，2daa4所以，所以a5656aan5d4n22n所以5nn1nn1（2）Snand18n42n220n221所以由二次函数的知识可得当n5时，50S最小，最小值为Sn5【点睛】本题考查的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情是等差数列通项公式和前n项和的况，较简单.6,518．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C：x4y32=4上运动.21（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；2（2）设圆C与曲线C交于M､N两点，求线段MN的长.12【答案】（1）(x5)2(4)21；（2）y14.2x,y，由于点B的坐标为6,5，且点P是线00x,y，点A的坐标为【分析】（1）设点P的坐标为段AB的中点，利用代入法可得轨迹方程.（2）两圆相减得公共弦方程得2x2y190，利用弦长公式可得MN的长.第9页共15页x,y，点的坐标为x,y，1）设点的坐标为P【详解】解：（A006,5由于点的坐标为，且点是线段的中点，ABBPx6y50xy所以，，022x2x6，y2y5于是有.①00因为点A在圆C：(x4)2(3)24上运动，y1所以点的坐标满足方程(x4)2(y3)24，A即x042y0324.②把①代入②，得(2x64)2(2y53)24，y整理，得(x5)2(4)21，4)21.所以点的轨迹C的方程为(x5)2(yP2（2）圆C：(x4)2(3)24与圆C：(x5)(y4)21的方程相减，2y12得2x2y190.由圆C：(x5)2(4)21的圆心为，半径r1，5,4y2108192，45,422190且到直线xy的距离d22221142则公共弦长MN2r2d221.8119．在数列{a}中，，2aaaan.a13n1nn1n(1)求a，a；231(2)证明：数列为等差数列，并求数列{a}的通项公式；ann11【答案】(1)，aa572312n1(2)证明见解析；anN*na,a的方程，解之即可；1）利用赋值法得到关于【分析】（23第10页共15页1121（2）利用倒数法得到，从而证得a为等差数列，进而求得的通项公式{a}n.aan1nn2aaaa1）因为，n1【详解】（n1nn11，即5112aaaa所以当n1时，2，解得，a，则aaa331133521122222时，，则，即71，解得，1当n22aaaa2a3a3a3a355557322311a所以a，.57232aaaa（2）因为，n1n1nn1121所以，且3，aaa1n1n1所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，an12n1122n1，则a13N.*故nnann20．已知过抛物线y2pxp0的焦点，22的直线交抛物线于Ax,y，斜率为2119xx两点，且ABBx,y.22212(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，求OAB的面积.【答案】(1)y24x(2)322【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由抛物线的定义结合韦达定理化简弦长后求解（2）解出A,B坐标，由割补法求解，p1）抛物线2px的焦点为,0y【详解】（22y22x2p，所以直线AB的方程为y22x2p,y4520消去得由，x2pxpy22px,5p所以4，xx12第11页共15页92，15p9即，所以.p2p42y2.所以抛物线的方程为4xp2知，方程（2）由24x5pxp20，520，x可化为2x2122x解得，，故22，2..y1y2x12A,2，B2,221所以2则面积S11||yy322OAB212中，平面ABC，，4，，点AA2ABACABAC21．如图，在三棱柱ABCABCDAA11111是棱的中点．BC(1)求证：//平面；ACDAB11AC0BADADM1(2)在棱上AC是否存在点M，其中AM1，使得平面与平面所成角的大1小为60°，若存在，求出；若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析1(2)存在，=4【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可证明线面平行，（2）根据空间向量，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）连接AC交AC于点,O11由于四边形ACCA为矩形，所以为AC的中点，O111又点是棱的中点，故在BCABC中，OD是1ABC的中位线，因此OD//AB,D11第12页共15页11111（2）由AA平面，可知，三棱柱ABCABACABCABC1为直三棱柱，且底面为直角三角形，111故以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系;A则A0,0,0,A0,0,2,B4,0,0,C0,4,0,D2,2,0,1得M0,4,0,AMAC01由,AB4,0,2,BD2,2,01，则设平面BAD的法向量为mx,y,z1mAB4x2z0，取z2，得m1,1,2，1mBD2x2y0,AM0,4,2,DM2,42,01，则1nx,y,z设平面ADM的法向量为1114y2z0nAM，取2，得n211,2，，111z12x42y01nDM1mnmn211412故cosm,n，612