高三数学理联考试题含解析

高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象是参考答案：D略2.已知为的重心，设，则＝（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知，满足，且的取值范围是，则（）

A．1

B．2

C．-1

D．学科-2网参考答案：D略4.函数的定义域为A.(,1)

B.(,∞)

C.（1，+∞）

D.(,1)∪（1，+∞）参考答案：A5.已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，则下列结论中错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的周期性、图象的对称性、单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，由于它的最小正周期为π，故A正确；当x=时，f（x）=2sin（2x﹣）﹣1=1，函数取得最大值，故f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；在区间[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，故f（x）在区间[0，]上是增函数，故C正确．由于把g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x﹣）﹣1=2sin（2x﹣）﹣1的图象，故D错误，故选：D．6.下列四个命题中，是真命题的有

(

）①在一个平面内有两个点到另一个平面的距离都是d(d>0)，则这两个平面平行；②在一个平面内有三个点到另一个平面的距离都是d(d>0),则这两个平面平行；③在一个平面内有无数个点到另一个平面的距离都是d(d>0)，则这两个平面平行；④一个平面内任意一点到另一个平面的距离都是d(d>0)，则这两个平面平行.A．②③④

B．④

C．②③

D．②④参考答案：B7.已知且，则的最大值是（

）

A．1

B．2

C．3

D．

4参考答案：答案：A8.设为椭圆与双曲线的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且，若椭圆的离心率．则双曲线的离心率的取值范围是(A)(B)(C)(D)参考答案：A略9.已知复数z=2+i，是z的共轭复数，则对应的点位于(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答： 解：∵z=2+i，∴=2﹣i，∴====．因此对应的点位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．10.设为定义在上的奇函数，当时，，则

A．-1

B．-4

C．1

D．4

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题，使得，则是__________．参考答案：依据一个量词的命题的否定的形式，“命题，使得”的否定是“”，故应填答案。

12.若向量，，且，则

.参考答案：13.如图，正方形的边长为2，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：①；②函数在上为减函数；③任意，都有；其中所有正确结论的序号是________．参考答案：①③.考点：函数性质的运用.14.已知数列中,,,,则……=

.参考答案：略15.已知，且，则的最小值为

.参考答案：分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.

16.如果实数x、y满足不等式组，则z=x+2y+3最小值为．参考答案：8略17.在等比数列中，若，，则公比__________，当__________时，的前项积最大．参考答案：，在等比数列中，，，设前项积为．，，∵此等比数列各项均为负数，当为偶数时，为正，故当取最大值时为偶数．设当时，取得最大值，，∵，∴，∴，整理后：，又∵，∴，解出，∵，∴，故取时，取得最大值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=ex+．（1）求证：函数f（x）的唯一零点x0∈（﹣，0）；（2）求证：对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（﹣1，λμ）上恒成立；（3）设g（x）=f（x）﹣x=（）h（x）﹣1，当x＞0时，比较g（x）与h（x）的大小．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）令f（x）=0，可得ex=﹣，由ex＞0，可得﹣1＜x＜0，运用零点存在定理，即可得证；（2）运用（1）的结论，结合f（x）＜0，在（﹣1，x0）处恒成立．即可得证；（3）求出g（x）的导数，判断单调性，可得g（x）＞0，运用复合函数的单调性可得h（x）的单调性，可得h（x）＜0，即可得到结论．【解答】解：（1）证明：令f（x）=0，可得ex=﹣，由ex＞0，可得﹣1＜x＜0，由f（x）=ex+=ex+1﹣在（﹣，0）递增，由f（﹣）=+1﹣=﹣1＜0，f（0）=1+0＞0，由函数零点存在定理，可得函数f（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0）；（2）证明：由（1）可得f（x）在（﹣1，0）递增，由函数f（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0），即有f（x）＜0，在（﹣1，x0）处恒成立．可令λμ=x0，即有对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（﹣1，λμ）上恒成立；（3）g（x）=f（x）﹣x=ex+﹣x=ex+1﹣﹣x的导数为g′（x）=ex+﹣1，x＞0时，ex＞1，g′（x）＞0，g（x）递增，即有g（x）＞g（0）=1，h（x）=g（x）+1在x＞0时，由t=g（x）在x＞0递增，h（x）=1+t递减，即有h（x）在x＞0递减，则h（x）＜h（0）=1，故当x＞0时，g（x）＞h（x）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，以及函数的单调性的运用，属于中档题．19.（本小题满分14分）已知函数令.（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（Ⅲ）若，正实数满足，证明：参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)2；（Ⅲ）见解析【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数解决不等式恒成立的问题；利用导数证明不等式B11B12解析：⑴

……2分由得又所以．所以的单增区间为.………4分（2）方法一：令所以．当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为所以关于的不等式不能恒成立．

………6分当时，．令得，所以当时，当时，．因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为

…………8分令因为又因为在上是减函数，所以当时，．所以整数的最小值为2．

……………10分方法二：⑵由恒成立，得在上恒成立．问题等价于在上恒成立．令，只要．

……6分因为令得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为．当时，当时，．所以在上是增函数；在上是减函数．所以．

…8分因为所以此时所以即整数的最小值为2

……

10分（3）当时，由即从而

……13分令则由得，可知在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增。所以所以即成立.

………14分【思路点拨】(Ⅰ)由直接可解得其单调递增区间；(Ⅱ)先把原不等式等价转化为在上恒成立，再结合导数求解参数的范围；（Ⅲ）利用导数判断出单调区间即可。20.（本小题满分12分）已知函数．（1）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；（2）若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围；参考答案：（1）在上的减函数，

在上单调递减

且

（2）在区间上是减函数，

在上单调递减，在上单调递增

，

对任意的，总有

，

即又

，

21.设α为锐角，，求tanα和tanβ的值．参考答案：解：由α为锐角，cosα=得sinα=，∴tanα=又tan（α﹣β）=，∴tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===略22.(本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面，∥，是的中点，，，．（1）证明平面；（2）求二面角的余弦值的大小；

参考答案：解法一（1）取的中点，连结、．因为∥，∥，所以∥．又因为，，所以．所以四边形是平行四边形，∥．…………分在等腰中，是的中点，所以．因为平面，平面，所以．而，所以平面．又因为∥，所以平面．

……………分（2）因为平面，平面，所以平面平面．过点作于，则平面，所以．过点作于，连结，则平面，所以．所以是二面角的平面角．……………分在中，．因为，所以是等边三角形．又，所以

，．在中，．所以二面角的余弦值是．……………分解法二