山西省晋城市西河职业中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

山西省晋城市西河职业中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线AB的方程，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式及韦达定理，即可求得直线A1B的斜率．【解答】解：∵抛物线y2=4x上的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），A1（x1，﹣y1），则可设直线AB的方程为y=x﹣1联立方程，可得x2﹣6x+1=0则有x1+x2=6，x1x2=1，直线A1B的斜率k====，∴直线A1B的斜率为，故选C．2.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其全面积是（

）A.8

B.12

C.4(1+)

D.4参考答案：B3.给定性质:①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（

）

A．y=sin(2x－)

B．y=sin(+)

C．y=sin(2x+)

D．y=sin|x|参考答案：A略4.已知函数为奇函数，，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知凸函数的性质定理“对于定义域内的任意自变量，都有”成立。若函数在区间上是凸函数，则在中，的最大值是（

）AB

C

D参考答案：C略6.设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°参考答案：D【考点】余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D7.若函数满足，且，则的值为 A、 B、 C、 D、参考答案：B8.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是(

)

A．钝角三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．等边三角形参考答案：A由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，选A.9.已知函数的图象的一个对称中心为,则函数的单调递减区间是(A)Z

(B)Z

(C)Z

(D)Z参考答案：D=0，得：，所以，，由，得的单调递减区间是Z10.复数的共轭复数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，等腰三角形OAB的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（3，3），AB与直线y=x交于点C，在△OAB中任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为

．参考答案：考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：求出直线AB的方程与直线y=x交于点C（4，2），再求出面积，即可求出点P落在阴影部分的概率．解答： 解：A，B的坐标分别为（6，0），（3，3），方程为y=﹣x+6，与直线y=x交于点C（4，2），∴阴影部分的面积为=3，∵等腰三角形OAB的面积为=9，∴点P落在阴影部分的概率为P==．故答案为：．点评：本题考查点P落在阴影部分的概率，考查学生的计算能力，确定面积是关键．12.已知数列是等比数列，，，那么_______；记数列的前项和为，则_______.参考答案：4，13.=．参考答案：π+2【考点】67：定积分．【分析】由和的积分等于积分的和展开，然后由定积分的几何意义求得，再求得，作和得答案．【解答】解：=，令y=，得x2+y2=4（y≥0），则圆x2+y2=4的面积为4π，由定积分的几何意义可得，，又，∴=π+2．故答案为：π+2．14.设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T?f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）参考答案：①④【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；新定义；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】①由题意知f（x﹣1）=﹣f（x），从而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T?f（x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断；③由f（x+T）=T?f（x）得2x+T=T2x恒成立；从而可判断；④由f（x+T）=T?f（x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得，从而解得．【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f（x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误；③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f（x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f（x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正确；故答案为：①④．【点评】本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题．15.在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是

．参考答案：甲

16.（几何证明选讲选做题）如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径__________

参考答案：417.（理）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，若，则公比的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若且，求实数a的取值范围.参考答案：（1）；（2）见解析；（3）【分析】(1)代入,再根据导数的几何意义求解即可.(2)易得,因为,故分与两种情况分析导数的正负,从而得出单调区间即可.(3)根据(2)中的单调性,分与两种情况讨论的单调性,并求出最值,再根据的值域满足的关系结合题意求解即可.【详解】（1）若,则,故,,,∴所求切线方程为；（2）函数的定义域为,,当时,,函数在上单调递减,当时,令得,令得,故函数在单调递减,在单调递增；（3）当时,函数在上单调递减,又,而,不合题意；当时,由（2）可知,,（i）当,即时,,不合题意；（ii）当,即时,,满足题意；（iii）当,即时,则,∵,函数在单调递增,∴当时,,又∵函数的定义域为,∴,满足题意.综上,实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及分类讨论分析含参函数的单调性问题,同时也考查了利用导数求解函数的单调性与值域求解参数的问题.属于中档题.

19.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．（1）求证：//平面；

（2）求证：；

参考答案：解析：（1）连接，已知、分别为、的中点．EF是三角形BD1D的中位线，\EF//BD1；又，，\EF//面BD1C1（2）连接、BC1，正方体中，D1C1^面BCC1B1，BC1ì面BCC1B1，所以D1C1^B1C在正方形BCCB中，两对角线互相垂直，即BC1^B1C，D1C1、BC1ì面BC1D1，所以B1C^面BC1D1BD1ì面BC1D1，所以有B1C^BD1，在（1）已证：EF//BD1，所以EF^B1C．

20.（本小题满分15分）已知数列中，．（1）设，求数列的通项和前项和；（2）设，记数列的前项和为，求证：；（3）求使得对所有都成立的最小正整数．参考答案：【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】（1）因为，所以代入得，所以是以为首项，以2为公比的等比致列所以, （2）由（1）知，所以

于是 所以

（3）由（2）知，欲使得对所有都成立，只需即

故符合条件的最小正整数．

【思路点拨】根据等比数列求出通项求和，根据裂项求和求出m的最小值。21.（本小题满分13分）已知函数对任意的实数、都有,且当时,.（I）求证:函数在上是增函数；（II）若关于的不等式的解集为,求的值.（III）若，求的值.参考答案：（1)证明:设,则,从而,即.,故在上是增函数.

………5分(2).由（1)得,即.∵不等式的解集为,∴方程的两根为和,于是,解得………………9分(3)若，在已知等式中令,得所以累加可得，,故.………………13分22.（本小题满分13分）已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．

ABCA7205B9186Ca4b（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；（Ⅲ）已知，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率.参考答案：（Ⅲ）.试题分析：(Ⅰ)由题意可知＝0.18，得抽取的学生人数是.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，得到，由，得到.（Ⅲ）设“语文成绩为等级的总人数比语文成绩为等级的总人数少”为事件，由(Ⅱ)易知，且利用“列举法”知，满足条件的共有组，其中满足的有组，故可得.试题解析：(Ⅰ)由题意可知＝0.18，得.故抽取的学生人数是.

………………2分(