高考数学重点难点13数列的通项与求和

高中数学难点13数列的通项与求和

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函

数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的

研究，而数列的前〃项和S”可视为数列｛S“｝的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要

的问题之与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，

本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.

・难点磁场

(★★★★★旷设｛为｝是正数组成的数列，其前n项和为S„,并且对于所有的自然数〃，

。“与2的等差中项等于S”与2的等比中项.

(1)写出数列｛”“｝的前3项.

(2)求数列｛a,,｝的通项公式(写出推证过程)

(3)令+2-)(“6N"),求lim(,b\+b2+b3+—+bn—ri).

2anan+i28

・案例探究

［例1］已知数列｛%｝是公差为d的等差数列，数列｛儿｝是公比为q的(qdR且qWl)

的等比数列，若函数7(X)=(X—if,且刁侬-1),03;挑此1)，仇刁(4+1)，必力0—1)，

⑴求数列｛%｝和｛b“｝的通项公式;

⑵设数列&｝的前〃项和为S,”对一切〃GN*,都有?+?+…+'=%成立，求

3b2

命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前〃项和公式、数列的极限，以

及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式

的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列｛6｝的关系，借助通项与前

n项和的关系求解c,是该条件转化的突破口.

错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量0、6、d、q,计算

不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.

技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生

蛋”构造新数列｛4,｝,运用和与通项的关系求出4,丝丝入扣.

解：(1)'."|=/口-1)=3—2)2,&3=/3+1)才,

(73-。।=』一(d-2y=2d,

2

d=2,；.<7“=ai+(〃-1)公2(〃-1)；又/>IR(4+1)=4\b3=f(q—1)=(q-2),

~义―=q\山夕eR,且1>得q=~2,

b\q

n]

bn=h•q=4•(—2)"'

(2)令乡=乩，则d\+d2+,••+dn=an+],(wN*),

,•d而a〃+\-。〃=2,

，3二2,即c〃=2•“产8•(―2)”一；.・・S,产g[1—(-2)M].

bn3

.52n+11-(-2严।(一步+252„+1_

••——=------〜*=------:---------Jim——=一'

3

［例2］设4为数列｛〃〃｝的前〃项和，4尸］3〃-1），数列｛6〃｝的通项公式为“尸4〃+3;

（1）求数列｛□〃｝的通项公式；

（2）把数列｛四｝与｛6〃｝的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列｛4｝的

通项公式为乩=3加1;

（3）设数列｛"“｝的第n项是数列｛小｝中的第八项，以为数列也,｝的前r项的和；D,为数列

｛4｝的前n项和，T,=B,—Dn，求Jim.

"T8（%）

命题意图：本题考查数列的通项公式及前〃项和公式及其相互关系；集合的相关概念,

数列极限，以及逻辑推理能力.

知识依托：利用项与和的关系求。“是本题的先决；（2）问中探寻｛%｝与｛%｝的相通之处，

须借助于二项式定理；而（3）问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.

错解分析：待证通项d,R22与团的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到/■与〃的关

系，使7“中既含有〃，又含有尸，会使所求的极限模糊不清.

技巧与方法：（1）问中项与和的关系为常规方法，（2）问中把3拆解为4-1,再利用二项

式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；（3）问中挖掘出n与r的关系，正确表

示反，问题便可迎刃而解.

3,3

解：（1）由1），可知4+1=；（即111），

22

.'.a„+i—an=—3”+|一四),即凹四＞=3,而。|=小=。(a,—1),得。尸3,所以数列是以3

2«„2

为首项，公比为3的等比数列，数列{小}的通项公式％=3".

(2)V32n+1=3•3窃=3•(4-1产=3•[V'+C；,,•4»|(—1)+…+C#•4•(—1)+(-1产]

=4/7+3,

.•.3叫16体}.而数32"=(4—I)2"=42"+C；“・4・(-1)+(—1产=(4%+1),

.,•32ng{M，而数列g”}=3向}U{%},."“=32叫

(3)由3?川=4•r+3,可知=----—,

4

.・・B产“7+4〃+3)=+32w+1-332w+l+72L.(1_9〃)=2(9〃-1),

242H1-98

=?3"'_3,32"+：,(/)4=34",

9

8

•锦囊妙计

1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.

因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.

Sn=1

2.数列｛a“｝前〃项和S”与通项％的关系式：a,,=-P

3.求通项常用方法

①作新数列法.作等差数列与等比数列.

②累差叠加法.最基本形式是:i+a”-2)+…+(。2—。1)+<2|.

③归纳、猜想法.

4.数列前n项和常用求法

①重要公式

1+2+,,•+»=—〃(〃+1)

/+22+…(〃+1)(2〃+1)

13+23+,"+/73=(1+2+…+〃尸=—/(〃+1)

4

②等差数列中Sm+n=Sm+S„+mnd,等比数列中Sm+„=S„+q"Sm=Sm+q"'Sn.

③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即。“=/(〃+然后累加时抵

消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：

(M+1)!〃！(〃+1)!

④错项相消法

⑤并项求和法

数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.

・歼灭难点训练

一、填空题

1.(★★★★★)设z”=(——(〃6N"),记S“=II+Iz

2

则limS„=.

2.(*****M乍边长为“的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在

新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为

二、解答题

2

3.(***初数列｛<7"｝满足。1=2,对于任意的“6N*都有4J„>0,K(M+1)<7„+<7„,an+\—

〃%2=0,又知数列也｝的通项为b,,=2n-'+\.

(1)求数列｛为｝的通项勾,及它的前n项和S”；

(2)求数列｛①｝的前〃项和

(3)猜想S,与T”的大小关系，并说明理由.

4.(★★★★)数列｛斯｝中，“1=8,44=2且满足<7„+2=2a„+i—a„,(wGN).

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)设S„=IaiI+II+,"+Ia”I,求S„;

(3)设b„----------(〃GN*),7.=bi+&+....+4,(〃GN*),是否存在最大的整数m,使得对

”(12-%)

任意〃GN*均有乙>2■成立？若存在，求出加的值；若不存在，说明理由.

32

5.*****)设数列｛斯｝的前n项和为S,,,且S”=(m+1)一对任意正整数n都成立,

其中，〃为常数，且加<—1.

(1)求证：｛4｝是等比数列；

(2)设数列｛为｝的公比数列｛/>〃｝满足：仇=^。1,6行/(与一|)(〃㈢2,"£1^*).试问当m

为何值时，limSa/g/Xlim^｛b｝b2+与&+…+”,-也)成立？

H—>a>"—>8

★★汜知数列也｝是等差数列,*1,仇+庆+…+仇0=145.

(1)求数列｛儿｝的通项儿；

(2)设数列｛斯｝的通项斯=1<^“(1+-!-)(其中a>Q且&N1),记S“是数列｛%｝的前n项和，

b,

试比较&与1log力前的大小，并证明你的结论.

7.(*****)设数列｛%｝的首项a,=l,前n项和S”满足关系式：36“一(2/+3周一尸3/(/

>0,〃=2,3,4…).

(1)求证：数列｛册｝是等比数列；

(2)设数列｛%｝的公比为/(/),作数列｛“J,使方产1,仇,=八」一)(〃=2,3,4…)，求数列｛/>“｝的

hn-\

通项b„-.

(3)求和:b\b2~b2b3+b3b4----g2〃一b2nb2n+1.

参考答案

难点磁场

解析：⑴由题意，当〃=1时，有&1工=2何，S尸a]，

；2=2^^,解得0=2.当〃=2时，有色；2=,$2=。|+。2，将。产2代入，

整理得(。212)2=16,由。2>0，解得。2=6.当77=3时，有"^一二12s3,53=。]+。2+。3,将。1=2,

。2=6代入，整理得(的-2)2=64,由〃3>0，解得。3=10.故该数列的前3项为2,6,10.

(2)解法一：由(1)猜想数列｛恁｝.有通项公式%=4〃-2.下面用数学归纳法证明｛%｝的通

项公式是%=4〃一2,(〃£N“).

①当〃二1时，因为4X1—2=2,,又在⑴中已求出0=2,所以上述结论成立.

②假设当时，结论成立，即有必=4L2,由题意，有竺产=必7,将必=4・

2.代入上式，解得2仁而T，得风=2必，由题意，有%=j2Sk+i,Sk+i=Sk+ak+i,将

5k2必代入得(""I+?下=2(%।+2的,整理得四+/一4。“]+4—16炉=0,由a*+i>0,解得

2

%产2+4攵，所以。川=2+4h4(左+1)—2,即当〃=1+1时，上述结论成立.根据①②，上述结论

对所有的自然数成立.

解法二：由题意知幺上2，5eN).整理得,s“=!(恁+2)2,由此得当+产』m“+i+2)2,

2v88

1=S„+|—S„=i[(a“+]+2)2—(%+2)2].整理得(％+]+%)(a“+i—q“-4)=0,由题意知恁+i+q”

o

WO,••・a〃+i—07=4,即数列｛%｝为等差数列，其中。尸2,公差d=4./.an=a\+(/?-1)rf=2+4(/7

—1),即通项公式为o〃=4〃-2.

解法三：由已知得%y=M，(〃WN*)①，所以有色(工=阿；②，由②式得

鼠匚产工=阿；，整理得S,,+1—2行•标T+2—Sk0,解得际=6土E，由

于数列｛为｝为正项数列，而历=后,.•.疯「+庖>忘，因而疯；=血+后，即｛&｝

是以质=行为首项，以上为公差的等差数列.所以叵=拒+(〃-1)

2

\[2=V2n,Sn=2n,

'()即0尸4〃一2(〃£N*).

故a=

nS-a=而-2g2)

⑶令cn=b„-\,则c„=?(■+2-2)

2an%

12w+1八2n-1211

=rz---7-1)+(­---7-1)]=-----~----

22〃-12〃+12〃-12〃+1

b、+6,+•••+/>“一〃=。]+G+,,•+0〃

八1、41、/I1、I1

=(1—)+(----)+…+(--------------)=1-------

3352/7-12〃+12〃+1

•，•limS]+h+…-w)=lim(l------)=1.

M-X»2M-X»2〃+1

歼灭难点训练

一、1.解析:设"-日"严-号"1=（孝严,

:口-(争”]

S〃=q+Q+…+c“=Z----左—

2-A/2

+在

lim-S1,,=----7==1+2

2—A/2

答案:4

2.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{%},可得%=号，正三角形的内

—r4a1

切圆构成等比数列{%},可得廿不标》，

7r

这些圆的周长之和c=lim2=（尸|+尸2+…+固=3"

n-><x>2

面积之和S=lim71（/72+/^2+,,,+^2）=-J

W->009

答案：周长之和逋4a,面积之和巴/

29

二、3.解：（1）可解得&=——,从而0尸2力，有S尸勿

Q”〃+1

(2)乙产2"+〃一1.

n21

(3)Tn—Sn=2—n—1,验证可知,n=l时,7\=Si，n=2时T?(S公n=3时,73Vs3；〃=4

时，T4<S4；〃=5时，T5>S5；”6时〃>S6.猜想当〃25时，Tn>Sn,即2〃>/+]

可用数学归纳法证明(略).

4.解：(1)由%+2=2%+[—0?n%+2—。用=%+1—。〃可知｛夕〃｝成等差数列，

d=———=—2,/.a=10-2n.

4-1n

(2)illa〃=10—2〃20可得〃W5,当打W5时，S〃=—/+9〃，当n>5时，S„=/?2-9/7+40,

..[一〃2+9〃1<A?<5

故S〃=<

n~-9/?+40n>5

(3)6〃=-------=--------=1(------------)

〃(2〃+2)2nn+1

__...11.,11、,11._n...«»i_777

.-.7；=/>!+/>+••-+/>„=-r[(l--)+(---)+---+(--------)]=—―-；要使—

22223nn+l2(〃+1)32

总成立，需2<T尸,成立，即加V8且加£Z,故适合条件的根的最大值为7.

324

5.解：(1)由已知“1=(m+1)—加①，S〃=()%+1)—加。〃②，由①一②，得a"+i="?a〃一

man+],即(加+1对任意正整数n都成立.

二,根为常数，且mV—1

...也=」一,即｛4｝为等比数列.

*m+1%+i

(2)当胃=1时，a\=m+\—ma\f/.(7i=l,从而加二’.

3

山⑴知q=j｛m)=—2一，hn=j[bn-\)=—一(〃GN：且〃22)

机+1bn_x+1

—=1H——,即'....-=1>:・｛」-｝为等差数列.・、」-=3+(〃-1)="+2,

2〃一1bnbn_xbnbn

•*.b=—(〃£N).

n+n2

/mxM-i〃i、rw-1.m、、m

van=(-------)lim(bn•lgo〃)=lim[------lg-------]=lg------

W+1“TOOn->oo77+2"2+1/W+l

而lim3(帅2+b2b3H-----F2一也?)=lim3(———+———H------1----------------)—1

〃->8«->oo344577+1n+2

由题意知lg———=1,/.———=10,.*.m=——

m+1m+\9

“=1

6.解：⑴设数列｛“的公差为H由题意得：10(10-1)解得仇=1,注3,

10"+——__-6/=145

/.bn=3n—2.

(2)由b“=3〃-2,知S„=log«(1+1)+log„(1+^-)+•••+log„(1+-)

43〃-2

=logaL(l+l)(l+-^)—(l+—logA+i=log«V3w+l-

43〃-23

因此要比较S“与Log也+i的大小，可先比较(1+1)(1+l)…(1+」一)与逐泮T的大

343〃一2

小，

取n=\时，有(1+1)>W3〉+1

取〃=2时，有(1+1)(1+工)>^3-2+1…

4

由此推测(1+1)(1+,)…(1+」一)>，3〃+1①

43〃-2

若①式成立，则由对数函数性质可判定：

当a>1时，S„>glog。4,+i,②

当0<。<1时，，S„<|log„6„+1,③

下面用数学归纳法证明①式.

(1)当〃=1时，已验证①式成立.

(止)假设当“=无时(栏1),①式成立,即:

(1+1)(1+-)•••(1+