2023年黑龙江哈尔滨市第三十二高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合M={1,3},N={L3,5},则满足MUX=N的集合X的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

x+y<10

2.设实数x、y满足约束条件，,则z=2x+3y的最小值为()

x>4

A.2B.24C.16D.14

27r

3.在AABC中，角所对的边分别为“,4c,已知C=曰-,c=l.当变化时，若z=6+a,存在最大值,

则正数4的取值范围为

A.(0,1)B.(0,2)C.(-,2)D.(1,3)

2

4.如图，正四面体P—ABC的体积为V,底面积为S,。是高P”的中点，过。的平面。与棱24、PB、PC分

别交于。、E、F,设三棱锥P—DE尸的体积为％,截面三角形OEE的面积为5°,则()

A.MK8%,SK4soB.M<8%,S>4S()

C.V>8V；1,SK4soD.VN8%,SN4so

5.已知函数〃x)=x+ei,g(x)=ln(x+2)-4e"-‘，其中e为自然对数的底数，若存在实数%,使

/(%)一g(x0)=3成立，则实数〃的值为()

A.-In2-1B.-l+ln2C.-In2D.In2

6.已知等差数列｛为｝的前〃项和为S“，若$8=16,4=1，则数列｛%｝的公差为（）

7.已知集合4={》，<1},B={x|lnx<l},则

A.AA^={x|O<x<e}B.AQB={x|x<e)

C.AUj?={x|O<x<e}D.AljB={x|-l<x<e}

8,若（x—a）（l+3x）6的展开式中不的系数为-45,则实数。的值为（）

211

A.-B.2C.一D.-

343

3兀由

9.若sin似(--)=—,贝!Jcos2a=()

2,3

1111

A.一B.--C.-D.-

'2332

10.已知定义在R上的函数/（幻=丘2凶，a=/（log3石），h=-/（log31）,c=/（ln3）,则。，b,c的大小关

系为（）

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

11.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和

奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个

人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（）

1119

B.-C.—D.—

To54040

12.执行如图所示的程序框图，则输出的S=()

।不।

1S：31

1/输出5/

s卞iL

lCW]

----1一+“

2

A.2B.3C.一

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2_x_]x<03

13.已知函数/(x)=,'—，若关于x的方程/.(x)=7X+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a

j(x-2),x>02

的取值范围是.

14.设向量a=(〃?,1),h—R,1),且。.役=万(。+b),贝！J"?=.

15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是.

16.函数〃x)=«(4-4)+x—1的值域为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)等差数列数“｝中,%=1,%=2%.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设2=2"",记S”为数列也｝前“项的和，若S,“=62,求加.

18.(12分)第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、

田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,

武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家

做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，

现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分(满分100分)数据，统计结果如下：

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数5304050452010

(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设〃，b分别为这200人得分的平均值和标准差

(同一组数据用该区间中点值作为代表)，求〃，。的值(〃，b的值四舍五入取整数)，并计算P(51<X<93)；

(2)在(1)的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分

低于〃的可以获得1次抽奖机会，得分不低于〃的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A

21

的概率为彳，抽中价值为30元的纪念品8的概率为；.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记y

33

为他参加活动获得纪念品的总价值，求y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.

(参考数据：尸(〃一3<X<〃+J)B0.6827；尸(〃一2S<XW〃+26)a0.9545；

P(〃-35<X<〃+35)h0.9973.)

19.（12分）在平面直角坐标系宜万中，直线y="+l（k，0）与抛物线C：》2=4〃），（〃＞0）交于4，B两点,且

当左=1时，|AB|=8.

（1）求，的值；

（2）设线段A3的中点为“，抛物线C在点A处的切线与C的准线交于点N,证明：MN//y轴.

20.（12分）已知动圆E与圆M:（x-l『+y2="L外切，并与直线工=-:相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点。（-2,0）的直线/交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点尸使得NA尸8=90°,求直线/的斜率左的

取值范围.

22

21.（12分）在直角坐标系X0y中，椭圆C：x,y_=1（。＞方＞0）的左、右焦点分别为耳，工，点用在椭圆c上且

MF,_Lx轴，直线A/月交y轴于〃点，OH=叵,椭圆C的离心率为也.

42

（1）求椭圆C的方程；

（2）过”的直线/交椭圆C于AB两点，且满足|砺+2砺卜|丽—丽求AABO的面积.

22.（10分）△ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,已知ccosB-bsinC=0,cosA=cos2A.

⑴求c；

⑵若a=2,求，AABC的面积S/BC

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

X可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}共4个，选D.

2.D

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

x+y<W

做出满足的可行域，如下图阴影部分,

x>4

根据图象，当目标函数z=2x+3y过点A时，取得最小值,

x=4x=4

由<解得彳c，即A(4,2),

x-y=2U=2

所以z=2x+3y的最小值为14.

故选：D.

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

3.C

【解析】

因为。=1,所以根据正弦定理可得号=七=’7=义，所以a=-^sinA,b=

,所以

3sinAsin8smCJ3，3

z=b+Aa=—7=sinB+—7=sinA='[sinB+/lsin(--B)]=十[(1)sinB+

6663V32

•^^cosB]=sin(B+(/))9其中tan°=:j,0<B<,

7TITIT

因为z=6+Ao存在最大值，所以由8+。=—+2%7t,%eZ,可得2%兀+—＜。＜2%兀+—,/eZ,

262

所以tan，＞日,所以普^＞弓，解得:＜无＜2,所以正数/I的取值范围为（；,2）,故选C.

4.A

【解析】

设AB=2,取所与8C重合时的情况，计算出So以及匕的值，利用排除法可得出正确选项.

【详解】

如图所示，利用排除法，取E/与重合时的情况.

不妨设AB=2,延长MO到N,使得PN//AM.

PD1

•;PO=OH,:.PN=MH,•；AH=2MH,:.AM=3MH=3PN,则一=一，

AD3

/q、2q।।Q

由余弦定理得=AB2+A02-2AB-A£)COSC=22+--2x2x-x-=—,

3⑶224

a]2a

DM=yJBD2-BM2=-,S=-x2x-=-,

2°n222

又S=^X2?=G，；•呼=《=26>1,

43，3

当平面DEF〃平面ABC时，5=4S0,.-.S<4S0,排除B、D选项;

EAI_PD1,,1.8V.

因为...——r=—V,此时，----=2>1,

AD34V

当平面。EF〃平面ABC时，8^=V,.-.8^＞V,排除C选项.

故选：A.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、

推理能力与计算能力，属于难题.

5.A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+exa-In(x+1)+4ea-x,

令Ay=x-In(zx+1),y'=l----1--=-x--+-1-,

x+2x+2

故y=x-In(x+1)在(-1,-1)上是减函数，(-L+co)上是增函数，

故当x=T时，y有最小值-1-0=-1,

而©…+相-?%(当且仅当即x=a+lnl时,等号成立)；

故f(x)-g(x)>3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)；

x=a+lnl=-1,BPa=-1-Ini.故选：A.

6.D

【解析】

根据等差数列公式直接计算得到答案.

【详解】

依题意，§8==8®；%)=]6,故4+4=4，故％=3，故4="6；%=_g,故选：D.

【点睛】

本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.

7.D

【解析】

因为A={X[*2<1}={X|-1<X<1},B={x|lnx<l}={x|0<x<e},

所以AnB={x[0<x<l},AUB=W-l<x<e},故选D.

8.D

【解析】

将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得“的值.

【详解】

;(x—々)(1+3x)6_龙(]+3%)6—〃(I+3X)6

所以展开式中的系数为C"-aCS=135—540〃=-45,

.•.解得”:

故选：D.

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.

9.B

【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.

【详解】

(3乃\JJ.[3,1

因为sin|a+;)=由诱导公式得cosa=-—，所以cos2a=2cos~a.

\2/J33

故选B

【点睛】

本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

10.D

【解析】

先判断函数在X>()时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到/2=/(log32),比较

logs石』og32,ln3三个数的大小，然后根据函数在x〉0时的单调性，比较出三个数的大小.

【详解】

当x>0时，/(x)=x-2W=x-2l^/(x)=2A+x-ln2-2x>0,函数/(x)在x〉0时，是增函数.因为

H

/(-%)=-X-2==-/(x),所以函数f(x)是奇函数，所以有b=-/(log,；)=/(-log3^)=/(log,2),

因为In3>l>log36>log32>0,函数/(x)在x〉0时，是增函数，所以。>。>从故本题选D.

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.

11.A

【解析】

根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.

【详解】

五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，

所有可能的分组共有戏=10种，

甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关,

故甲和乙恰好在同一组的概率是

故选：A.

【点睛】

本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.

12.B

【解析】

运行程序，依次进行循环，结合判断框，可得输出值.

【详解】

起始阶段有i=l,S=3,

第一次循环后S=」=-2，j=2,

1-32

Ac=---1--=一2

第二次循环后3,i=3,

2

s=_L=a

第三次循环后I2一°,i=4,

3

第四次循环后5=工=二，i=5,

1-32

所有后面的循环具有周期性，周期为3,

当1=2019时，再次循环输出的S=3,i=2020,此时2020>2019,循环结束，输出S=3,

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(YO,3)

【解析】

3

画出函数/(x)的图象，再画y=/x+a的图象，求出一个交点时的〃的值，然后平行移动可得有两个交点时的”的范

围.

【详解】

函数/(x)的图象如图所示:

3

因为方程f(x)=^x+a有且只有两个不相等的实数根，

3

所以y=fM图象与直线y=］工+。有且只有两个交点即可，

当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即。=3时，y=+a与函数/(X)有一个交点,

由图象可知，直线向下平移后有两个交点，

可得a<3,

故答案为：(F,3).

【点睛】

本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题.

14.2

【解析】

根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：a-h=2m+1

口-2,-2

且a=m+\,b=5

由=~ya+匕j

所以2m+1=+l+5)nm=2

故答案为：2

【点睛】

本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题.

15.6兀

【解析】

先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.

【详解】

由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示

长方体对角线长为J2?+俨+T=卡,所以三棱锥外接球半径，•为半，故所求外接球的

表面积S-4产产—6万.

故答案为：6万.

【点睛】

本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题.

16.［3,+oo)

【解析】

利用配方法化简式子，可得/(x)=2(五-1『-3,然后根据观察法，可得结果.

【详解】

函数的定义域为［0,+8)

f(x)=4(4-4)+x-l=2x-4-\fx-1

/(X)=2(VX-1)2-3>-3

所以函数的值域为［3,+s)

故答案为：［3,+oo)

【点睛】

本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)4="(2)m=5

【解析】

(1)由基本量法求出公差"后可得通项公式；

(2)由等差数列前〃项和公式求得S“，可求得

【详解】

解：(1)设｛4｝的公差为d,由题设得

an=1+(〃-l)d

因为4=24，

所以1+(6-l)d=2[l+(3-1)由

解得d=l,

故见=〃♦

(2)由(1)得a=2".

所以数列｛包｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

所以s.=^^=2"+「2,

"1-2

由鼠=62得2M一2=62,

解得m-5.

【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前〃项和公式，解题方法是基本量法.

18.(1)〃=65,o-«14,P=0.8186；(2)详见解析.

【解析】

(1)根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X〜N(65,142),计算P(51VXV93)即可;

(2)列出V所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额.

【详解】

解：(1)由已知频数表得:

…、“5公30―40入50.45—20“10公

E(X)——35x------F45x------F55x------1-65x------1-75x------F85x------n95x-----——65,

200200200200200200200

D(X)=(35-65)2x0.025+(45-65)2x0.15+(55-65)2x0.2+(65-65)2x0.25+(75-65)2x0.225

+(85-65)2x0.1+(95-65)2x0.05=210,

由196<。2<225,贝IJ14<<T<15,

而14.52=210.5>210,所以

则X服从正态分布N(65,14),

所以

P(51<X<93)=P(〃-b<X<〃+2为="2…<〃+27(〃-…<〃+6

0.9545+0.6827

=0.8186；

2

(2)显然，P(X<〃)=P(X2〃)=0.5,

所以所有V的取值为15,30,45,60,

121

P(Y=15)=—x—=-,

233

…”、111227

P[Y=30)=—x-+—x—x—=——，

2323318

…“八1211122

P(Y=45)=-x—x-+—x-x—=—

2332339

尸(y=60)=WU,

23318

所以y的分布列为:

Y15304560

721

P

318918

1721

所以E(y)=15x—+30x—+45x—+60x——=30,

318918

需要的总金额为：2(X)x30=6(XX).

【点睛】

本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望,

主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题.

19.(1)1；(2)见解析

【解析】

⑴设A&，x),B(x2,y2),联立直线和抛物线方程，得/-4/"-4?=0,写出韦达定理，根据弦长公式，即可求

出〃=1；

(2)由y=得根据导数的几何意义，求出抛物线在点A点处切线方程，进而求出小，=七”，即可证

出MN//J轴.

【详解】

解:（1）设A（x，y）,B（x2,y2）,

将直线/代入C中整理得：x2-4px-4p=0,

:,芭+Z=4p,x,x2=-4p,

:.IA@="小|+巧）2-4中2=e-46P2+16p=8,

解得：P=L

⑵同⑴假设4（石,乂）,B（x2,y2）,

由y=!》2,得y，=1x,

42

从而抛物线在点A点处的切线方程为y-（x—耳）,

nn112

即y=W&9

x2—4

令y=-l,得

2x1

2

.、，4,■一x.+x,xX,+x

由（1）知—4=%%2，从而9--一9~=X,

2玉2M

这表明MN//），轴.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想

和计算能力.

20.（1）y2-4x；（2）———,0u0,-^―.

L6）I6J

【解析】

（i）根据抛物线的定义，结合已知条件，即可容易求得结果；

（2）设出直线/的方程，联立抛物线方程，根据直线与抛物线相交则一〉。，结合由NAPB=90°得到的斜率关系，

即可求得斜率k的范围.

【详解】

（1）因为动圆E与圆例+产=工外切，并与直线苫=相切，

所以点E到点M的距离比点E到直线x=~的距离大|.

)11

因为圆加：口一1)一+9=4的半径为5，

所以点E到点M的距离等于点E到直线x=-\的距离,

所以圆心E的轨迹为抛物线，且焦点坐标为(1,0).

所以曲线C的方程y2=4x.

(2)设。(毛,%)，A(x”x),8(w，%)

y~—4x

由，三(x+2)得…+队=。，

k^O

16—32公>022

4

g=Tx%=82

k一%一乂一%一切一4

K4

PA--22-,同理kpB

44

44

由NAPB=90°,得------

%+%

即出：+%（乂+%）+y必=—16,

,4

所以为2+7y。+24=0，

k

由△=（4]-96>0,n--<k<—且ZwO,

66

又一立＜左＜立且左HO,

22

所以Z的取值范围为'―J6-,0}DC。，日de'.

L6JI6J

【点睛】

本题考查由抛物线定义求抛物线方程，涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围，属综合中档题.

21.(1)—+/=1；(2)空.

25

【解析】

(1)根据离心率以及"8=2。"，即可列方程求得。，仇c,则问题得解;

(2)设直线方程为x联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的±4.丽=0,即可求得参数加，

则三角形面积得解.

【详解】

(1)设巴(c,0),由题意可得5+[=1,)的=±忙.

6Tb~a

因为。”是的中位线，且OH=史,

4

所以IMF,|=巫，即贵=正，

-2a2

因为e=—==b2+c2

a2

进而得〃2=1,"=2,

所以椭圆方程为]+y2=i

(2)由已知得必+2砺卜曲-2国两边平方

整理可得砺