第四节可逆矩阵与逆矩阵

第四节可逆矩阵与逆矩阵第1页，共31页，2023年，2月20日，星期二方阵与行列式的区别方阵与行列式是两个不同的概念，n2个数按一定方式排成的n

阶方阵是所确定的一个数．要清楚两者的含义数表.而

n

阶行列式是按行列式的定义注：及记号的区别.2第2页，共31页，2023年，2月20日，星期二2、方阵行列式的性质（1）设

A，B均为n阶方阵（2）（3）推广：为同

阶方阵,则特别地：3第3页，共31页，2023年，2月20日，星期二例1设解求4第4页，共31页，2023年，2月20日，星期二注：例2设其中是数,

求及解一般地5第5页，共31页，2023年，2月20日，星期二4、退化矩阵：设

A为n阶方阵,若则称

A是非若则称

A是退化如：∵∴A是非退化矩阵。退化的或非奇异的；的或奇异的。6第6页，共31页，2023年，2月20日，星期二第四节可逆矩阵与逆矩阵一、逆矩阵的定义二、逆矩阵判断及计算三、逆矩阵的性质第7页，共31页，2023年，2月20日，星期二一、逆矩阵的定义单位阵具有与数1在数的乘法中类似的性质.在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有类似地,引入逆矩阵的概念而对于任意数，若,则存在使得8第8页，共31页，2023年，2月20日，星期二对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得成立，则矩阵A称为可逆矩阵，B

称为A

的定义：逆矩阵或逆阵。

的逆矩阵是.

由于所以是可逆矩阵,且例如,说明：零矩阵不是可逆矩阵。9第9页，共31页，2023年，2月20日，星期二

同样,当都不为零时,由10第10页，共31页，2023年，2月20日，星期二是其逆矩阵.知对角矩阵是可逆矩阵,且

一般地,若都不为零,则对角矩阵是对角矩阵的逆矩阵11第11页，共31页，2023年，2月20日，星期二例因为即所以A为可逆矩阵，B

为A

的逆矩阵。同理A也是B

的逆矩阵,A、B

互为逆矩阵。12第12页，共31页，2023年，2月20日，星期二注：这是因为:如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.所以A的逆矩阵是唯一的.

今后将A的逆矩阵记作.

B、C都是A逆矩阵,则有即若AB=BA=E,则13第13页，共31页，2023年，2月20日，星期二注1并不是A的-1次方，不能写成的形式。问题是否所有的方阵都可逆呢？否则，如何判别矩阵是否可逆？若A为可逆矩阵，如何求14第14页，共31页，2023年，2月20日，星期二二.矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法方阵可逆的必要条件：命题：设A可逆,则它有逆矩阵使得从而若A可逆,则证：所以15第15页，共31页，2023年，2月20日，星期二伴随矩阵:称为矩阵A

的伴随矩阵.设行列式的各所构成的如下矩阵个元素的代数余子式注：中第i行第j列处的元素是而不是问题：上述必要条件是不是充分的？即若,A一定可逆吗？16第16页，共31页，2023年，2月20日，星期二例1.设求A

的伴随矩阵.解:17第17页，共31页，2023年，2月20日，星期二18第18页，共31页，2023年，2月20日，星期二例2:设A

为n阶方阵,是A

的伴随矩阵,计算19第19页，共31页，2023年，2月20日，星期二所以

同理故有当时，我们有从而A可逆,且20第20页，共31页，2023年，2月20日，星期二

这样我们得到下述定理：说明：定理:

n阶方阵A是可逆的充分必要条件是即A是非退化的,而且

该定理给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。21第21页，共31页，2023年，2月20日，星期二例3：设判断A是否可逆？若可逆，求出解：因为所以A可逆，且22第22页，共31页，2023年，2月20日，星期二因为所以23第23页，共31页，2023年，2月20日，星期二下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：命题：设A、

B为n阶方阵，若则，A、B

都可逆，且因为所以因此有故A、

B

都可逆,则有证：24第24页，共31页，2023年，2月20日，星期二说明：

该命题给出了判断一个方阵是否可逆的一种方法，同时又可以立即写出可逆矩阵的逆矩阵问题：可逆矩阵有哪些性质？25第25页，共31页，2023年，2月20日，星期二若A可逆，则也可逆，且性质1：性质2：若A可逆，则也可逆，且因为所以证：三.性质26第26页，共31页，2023年，2月20日，星期二若A可逆，数

则kA可逆,且若A、

B

都可逆，则AB

也可逆，且因为

所以证：性质3：性质4：27第27页，共31页，2023年，2月20日，星期二若n阶方阵可逆，则若A可逆，则因为A可逆，所以推广：证：性质5：28第28页，共31页，2023年，2月20日，星期二例4:设方阵A

满足

A

和A+2E

都可逆，并求它们的逆矩阵。试证解：由再由29第29页，共31页，2023年，2月20日，