高中数学-高中数学　3.2.1复数的加法和减法教学设计学情分析教材分析课后反思

3.2.1复数的加法和减法教学目标：1.知识与技能：掌握复数的加、减法运算及意义。2.过程与方法：类比实数四则运算的规律，理解并掌握复数加、减运算，了解复数加、减法运算的几何意义。3.情感态度与价值观：在研究过程中感悟，画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。教学重点：复数的代数形式的加、减运算以及几何意义教学难点：复数加减运算的几何意义教学方法：自主探究、类比学习教学用具：多媒体、小黑板教学过程：复习回顾【这部分内容学生课前完成，教师在课前完成批阅】1.复数的代数形式:2.复数的分类:3.复数相等：4.复数的模：共轭复数：复数、点、向量之间的对应关系知识探究【学生根据提纲，自主完成探究活动】探究复数的加法和减法法则引例：已知m=3x+4y,n=5x-6y,求m+n.探究：复数的加法运算类比类比验证规则的合理性，作为复数的实数加法是否和实数集里的运算一致？合作探究：复数的加法满足交换律，结合律吗？探究：复数的减法法则总结：复数的加法和减法法则、学以致用【检验学生对于加减法则理解、应用情况】学以致用1.（3+2i)-(1-4i)2.（4+3i)-(4-3i)（3+4i)-(-3-4i)4.(2-5i)+(3+7i)-(5+4i)5．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6.已知z1=a+bi,z2=c+di，若z1+z2是纯虚数，则有（）A.a-c=0且b-d≠0B.a-c=0且b+d≠0C.a+c=0且b-d≠0D.a+c=0且b+d≠07.（3+2i)-(1-4i)8.（4+3i)-(4-3i)9.（3+4i)-(-3-4i)10.(2-5i)+(3+7i)-(5+4i)探究复数的加法和减法几何意义【由复数的代数形式的和（差），以及所对应向量的和（差）向量，探究几何意义】分析：运用法则求出下面两个复数的和（差），并在复平面上作出各复数对应的向量，观察复数的和与向量的和具有怎样的关系？（1）（1+3i）+（4+i)=？（2）（1+3i）-（4+i）=？总结：复数加法（减法）的几何意义拓展|z1-z2|的几何意义？学以致用学以致用已知复数z对应点Z,说明下列各式所表示的几何意义.(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(3)|z－1|(4)|z+2i|三．当堂检测1.已知z+3-5i=7+3i，则复数z等于()A.-4-8i B.-4+8i C.4-8i D.4+8i2.计算(5-5i)+(-2-i)-(3+4i)=()A.-2i B.-10iC.10 D.-23.复数(3-i)m-(1+i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是()4．（1）(－3－4i)+(2+i)－(1－5i)=___________（2）(3－2i)－(2+i)－(________)=1+6i5、设m,复数=,=.若+为虚数,求m的取值范围;(2)若-在复平面上对应点在第二象限,求m的取值范围复数的发展史虚数这个假设是需要勇气的，人们在当时是无法接受的，认为它是想象的，不存在的，但这丝毫不影响数学家对虚数单位i的假设和研究：第一次认真讨论这个数的是文艺复兴时期意大利有名的数学家“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这个数的，当时复数被他称为“诡辩量”。几乎过了100年笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了个名字---虚数。但是又过了140年，欧拉还是说这中数只是存在与“幻想之中”并用i（imaginary,即虚幻的缩写）来表示她的单位。后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数虚无缥缈，尽管他们也感到他的作用。1830年高斯详细论述了用直角坐标系上复平面上的点表示复数a+bi,使复数有了立足之地，人们才最终承认了复数。到今天复数已经成为现代数学科技中普遍运用的数学工具之一。如,流体力学、热力学、机翼理论的应用;渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支。复数在理论物理、弹性力学、天体力学等方面得到了广泛应用,是现代人才必备的基础知识之一。学情分析知识基础：学生在初中已学过实数的加减运算知识，并在选修1-2第三章第一节学习了解了复数的概念。若学生能准确把握复数的实质是实数的扩充，便能灵活运用类比思想理解复数的加减运算。情感基础：复数对学生已有的数系——实数系进行了扩充，通过对这两个数系的相同和不同进行比较，让学生感悟事物的发展是螺旋上升的。能力基础：高中学生对科学探究有了一定的认识，具备一定的类比推理和数学结合能力，以及归纳总结能力。对于本校学生而言，学生整体基础较差，对于较难掌握的知识比较不好把握,比如复数加法和减法的几何意义，因此应该采用从较浅显易懂的地方入手，整体降低本节课的难度。效果分析根据《复数的加法和减法》这节课的学生课堂反馈以及听课教师的评课意见，作出如下效果分析：1.完成了本节课的教学要求。通过“学以致用”环节——学生黑板板书解题过程，可以看出学生掌握了复数的加法和减法法则，即学生成功掌握了本节课的教学重点。其次，在深入探究部分，通过设置学生先完成（1）（1+3i）+（4+i)=？（2）（1+3i）-（4+i）=？由复数的代数形式的和（差），以及所对应向量的和（差）向量，探究复数加法和减法的几何意义，并进行一般化的推广，从而突破了教学难点。教学过程中突出了学生的主体地位，符合现代教学中的“以学生为主体，以教师为主导”的教学理念。运用类比思想，学生经历了由熟悉的实数的运算法则去类比复数的加法和减法运算法则，通过这种“实数化”思想，不仅符合数学知识的发生发展过程，也符合学生学习的认知特点让学生在知识自然联系的状态下进行数学学习。3.2.1复数的加法与减法本节课选自高中数学人教B版选修1-2第三章第2.1节。教学的重点和难点。教学的重点是复数的加法与减法的法则。教学难点是复数的加法与减法的几何意义。在复数的加法与减法中，重点是加法。教材首先规定了复数的加法法则。在讲这个规定是，应通过下面几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：（1）当b=0，d=0时，与实数加法法则一致；（2）验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；（3）符合向量加法的平行四边形法则。复数的加法满足交换律、结合律。复数的加法可按向量的加法法则来进行，讲解时注意与物理中力的合成、向量的加法进行类比。讲过复数加法可按向量加法的平行四边行法则来进行后，可以指出向量加法还可以按三角形法则来进行：如教材中图3-5所示，求向量,的和，可以看作是求与的和。这时先画出第一个向量，再以的终点为起点画出第二个向量，那么，由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量,就是这两个向量的和向量。复数的相反数是推导复数减法法则的关键，如果用减法是加法的逆运算则感觉缺少理论支撑。但是，如果把减法规定为加法的逆运算，并按加法法则求出差，则会与复数减法的几何意义一致，容易被学生理解和接受。教学时教师要灵活掌握。对两复数减法的几何意义，可简单叙述为：连接两向量的终点，方向指向被减向量得到的向量，就是两复数的差对应的向量。8.把复数的加（减）法，从形式上加以归纳，就得出了与多项式加（减）法相类似的结论，即实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）。3.2.1复数的加法和减法一、选择题

1．|(3＋2i)－(4－i)|等于()

A. B.

C．2 D．－1＋3i

[答案]B

[解析]原式＝|－1＋3i|＝＝.

2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()

A．－1＋i B．1－i

C．i D．－i

[答案]A

[解析]原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.

3．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于()

A．1－5i B．－2＋9i

C．－2－i D．5＋3i

[答案]D

[解析]f(z1－z2)＝(z1－z2)－2i

＝(3＋4i＋2＋i)－2i＝5＋3i.

4．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1＋z2为纯虚数，则有()

A．a－c＝0且b－d≠0

B．a－c＝0且b＋d≠0

C．a＋c＝0且b－d≠0

D．a＋c＝0且b＋d≠0

[答案]D

[解析]z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，若z1＋z2为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即a＋c＝0且b＋d≠0.

5．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2对应的点位于复平面内的()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案]A

[解析]z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，点(2,5)在第一象限．

6．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是()

A．2－3i B．4＋3i

C．4－8i D．1＋4i

[答案]C

[解析]设点D对应的复数为z.由于四边形ABCD为平行四边形，故＝，即－＝－，故＝＋－，即z＝(4＋i)＋(3－5i)－(3＋4i)＝4－8i.

7．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于()

A．1＋i B．－1＋i

C．1－i D．－1－i

[答案]D

[解析]由已知可得2x＋i＝(y－3)i，y＝－1，故x＝－i.

8．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是()

A．2 B．3

C．4 D．5

[答案]B

[解析]∵|z＋2－2i|＝1，∴z在以(－2,2)为圆心，半径为1的圆上，而|z－2－2i|是该圆上的点到点(2,2)的距离，故最小值为3，如图：

9．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1、z2、z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()

A．内心 B．垂心

C．重心 D．外心

[答案]D

[解析]由几何意义知，z到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．

二、填空题

10．(2009·金华高二检测)在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．

[答案]3＋5i

[解析]设D对应的复数为x＋yi，则由＝得：－i－1－3i＝2＋i－x－yi，整理得－1－4i＝(2－x)＋(1－y)i，所以有，x＝3，y＝5.

11．已知|z|＝1，则|1－i－z|的最大值是________，最小值是________．

[答案]31

[解析]|z|＝1，所以z在半径为1的圆上，|1－i－z|＝|z－(－1＋i)|即圆上一点到点(－1，)的距离，dmax＝3，dmin＝1.

12．已知z＝1＋i，设ω＝z－2|z|－4，则ω＝________.

[答案]－(3＋2)＋i

[解析]∵z＝1＋i，∴|z|＝，

∴ω＝z－2|z|－4＝(1＋i)－2－4

＝－(3＋2)＋i.

13．在复平面内，向量对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到向量，则点P0对应的复数为________．

[答案]－i

[解析]由题意＝＋，而对应的复数是－1，对应的复数是1－i，所以对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.所以P0点对应的复数为－i.

三、解答题

14．计算：

(1)(3＋5i)＋(3－4i)；

(2)(－3＋2i)－(4－5i)；

(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．

[解析](1)6＋i(2)－7＋7i(3)－4＋4i

15．若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z)．

[解析]∵f(z)＝2z＋－3i，

∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i

＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i.

又知f(＋i)＝6－3i，∴2＋z－2i＝6－3i，

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，

∴2(a－bi)＋(a＋bi)－2i＝6－3i，

即3a－(b＋2)i＝6－3i，

由复数相等的定义得，

解得：

∴z＝2＋i.

故f(－z)＝f(－2－i)

＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.

16．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.

[解析]解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，代入方程z＋|z|＝2＋8i，得x＋yi＋＝2＋8i，

由复数相等的条件，得

解得x＝－15，y＝8，所以复数z＝－15＋8i.

解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i

因为|z|∈R，所以2－|z|是z的实部，于是有|z|＝，

即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，所以|z|＝17，

代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.

17．计算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－…－(2002－2003i)＋(2003－2004i)－(2005－2006i)．

[解析](1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…－(2002－2003i)＋(2003－2004i)－(2005－2006i)＝[(1－2)＋(3－4)＋(5－6)＋…＋(2003－2005)]＋(－2＋3－4＋5－6＋…＋2003－2004＋2006)i＝－1003＋1003i.

课后自我反思美国心理学家波斯纳提出了教师成长的公式：成长=经验+反思。叶澜教授曾说：“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年反思有可能成为名师。”在完成《复数的加法和减法》的教学后，对自己的这节课做了深刻的反思：1.教学设计返璞归真如果说本节课设计数学史融入课堂是回归数学发展的史实的话，那么运用类比策略设计教学不仅符合数学知识的发生发展过程，也符合学生学习的认知特点让学生在知识自然联系的状态下进行数学学习。由于实数与复数的本质存在相似之处；学生通过与实数的加法和减法法则类比可以得到启发，从而为复数加法和减法法则建构明确了方向。从课堂反应来看，学生掌握的从容有余，因此在课堂教学上要学会放手，引导学生自主探究，小组合作，让学生在探究中发展数学能力，形成晚上的知识体系。2.提高观点，深入浅出教授在《复数的加法和减法法则》这节内容中，学生能够轻松地掌握加法和减法法则的运用，轻松地应对考试要求。但这不应该是教学的全部，即使再简单的内容，也要突出“数学味”。从高观点下教授复数，明确复数的本质是实数的扩展，在教学的内容上要突出“实数化”思想。3.

板书是重要的。板书设计不怎么精心，主负板书分界不很清晰，而且由于一堂课要用很多个黑板，所以有的时候主板书也会擦掉。后来问学生，学生说，有的时候上课偶而走神如果主要内容给擦掉了就不知道主要讲的什么了，所以这几天开始绞尽脑汁设计板书，尽量保留主板书，和主要例题。蚂蚁好象啃骨头啃得有劲头多了。

4.语言要规范准确。其实不仅仅是语文课要注意语言的处理：朗读、断句、重读，是正确理解文字语意所必须的能力，所以即使在数学的课堂也要做好这方面的示范，刻意培养学生这方面的能力。在我的课堂上，我的毛病大约一是重复，说得多怕学生听不到，记不住，但絮絮地反复很容易适得起反，大约一个新的概念性定义，板书过程中重复二到三遍，而我目前的复习课，知识点重复一到两次就可以。二是连接词的使用，有的时候自己感觉不到，但是听别人的课，会很明显的发现，过多的“然后”“也就是说”“那么”“接下来”甚至语气词啊什么的，不但不能起到上下语句的承接作用，反而使语言拖沓沉冗。数学语言，尤其要注重准确严密，一针见血，要么不说，要么就说在点子上，这需要斟酌课堂上的每一句教学语言，需要长期坚持不懈。在今后的教学中我将继续坚持“把反思作为第二次教学”！课标分析数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入实现了中学阶段数系的又一次扩充．《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．本章内容分为2节，教学时间约4课时