上海市宝山区2023届高三下学期期中适应性练习（二模）数学试题及参考答案

宝山区2022学年第二学期期中混合式教学适应性练习高三年级数学学科练习卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.已知集合,则2.不等式的解集为3.若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为4.已知复数（其中为虚数单位）,则实数5.已知数列的递推公式为，则该数列的通项公式6.在的展开式中，常数项为（结果用数字作答）7.从装有个红球和个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则8.若数列为等差数列，且，则该数列的前项和为9.△的内角的对边分别为，若，则10.如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出，的数据）和频率分布直方图，则11.已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是12.已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为二（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）13.若，，则是的（）条件充分非必要必要非充分充要既非充分又非必要14.已知定义在上的偶函数，若正实数、满足，则的最小值为（

） 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如,其中即为的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前项的和为（）在空间直角坐标系中，已知定点、和动点．若△的面积为，以为顶点的锥体的体积为，则的最大值为（

） 三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调区间；（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）四棱锥的底面是边长为的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点.（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）证明：平面，并求点到平面的距离.PPABCDOE-19．（本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分）下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量（件）与相应的生产成本（万元）的四组对照数据.4681012202884(1)试建立与的线性回归方程；(2)研究人员进一步统计历年的销售数据发现，在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化.经分析,每件产品的销售价格（万元）是一个与产量相关的随机变量，分布为假设产品月利润=月销售量×销售价格－成本.（其中月销售量=生产量）根据（1）进行计算，当产量为何值时，月利润的期望值最大？最大值为多少？20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分）已知抛物线：（1）求抛物线的焦点的坐标和准线的方程；（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，求线段的长；（3）已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点、(均不与点重合)，且以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如：方程中，当取给定的实数时，表示一条直线；当在实数范围内变化时，表示过点的直线族（不含轴）.记直线族(其中)为，直线族(其中)为.(1)分别判断点,是否在的某条直线上，并说明理由；(2)对于给定的正实数，点不在的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）；(3)直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求的包络和的包络.宝山区2022学年第二学期期中混合式教学适应性练习高三年级数学学科练习卷参考答案2.3.4.5.6.8.9.10.11.12.14.15.16.17.解：……2分最小正周期……4分当即时，函数为增函数.……6分当即时，函数为减函数.……8分方程有两个不同的实数解等价于和直线的图像在上有两个不同的交点.……10分，则，……12分由图知……14分18.解（1）：取的中点,连接.由是的中点,得，所以是异面直线与所成角(或其补角)，在中，于是,在等腰中，，则.在正和正△中,，所以异面直线与所成角的大小是.（2）证明：易知为的中点，又是的中点.从而又所以平面从而点到平面的距离等于点到平面的距离因为从而又设点到平面的距离为由得，计算得所以点到平面的距离为另解2：以为坐标原点,射线分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系.在中,于是（1）是的中点，则，于是设的夹角为,有,所以异面直线与所成角的大小是.(2)设是平面一个法向量，由,令则，得因为，则所以平面设点到平面的距离为则即点到平面的距离为.19.解：（1）设线性方程为……2分代入公式或应用计算器求得回归系数……4分所以与的线性回归方程为，……6分（2）设月利润为，则，则的分布列为从而，，……12分易知函数在上是增函数，故.……14分即产量为件时，月利润期望最大，最大值为万元.……16分20.解：（1）焦点准线……3分（2），则直线的方程为，……4分代入抛物线方程并化简得设，则由韦达定理得……6分由抛物线定义可知，所以线段的长为.……8分另解：用弦长公式求解，相应给分.（3）假设存在定点,使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点(均不与点重合)，以线段为直径的圆恒过点，则……9分设直线的方程为，代入抛物线方程得：设，由韦达定理得……11分整理得对任意的恒成立，……15分只需此时Δ所以存在定点,使得过点的直线与与抛物线交于两个不同的点(均不与点重合)，以线段为直径的圆恒过点……16分另解：借助计算，则相应给分。21.解：（1）将代入得关于的方程，解为，故点在的直线上.…2分将代入得关于的方程化简得无实数解，故不在的任意一条直线上.…...4分（2）若点不在的任意一直线上,则关于的方程无解…...6分令，则.当时，.当时，.所以，.…...8分所以.…...10分（3）由（2）的结论猜测的包络是曲线.…...11分，解，得.在曲线上任取一点，则过该点的切线方程是即.而对任意的，的确为曲线的切线.故的包络是曲线.