高二期中复习-导数与定积分及其应用一、导数

高二期中复习——导数与定积分及其应用一、导数：题型一：导数的概念及几何意义1．设曲线在点处的切线与直线垂直，则2．过点作曲线的切线,则此切线方程为________________.3．设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。（Ⅰ），于是∴或因，故．(II)证明：在曲线上任一点.由知,过此点的切线方程为.令得,切线与直线交点为.令得,切线与直线交点为.直线与直线的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为.所以,所围三角形的面积为定值2.题型二：函数的单调性、极值与最值4．已知函数，．（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导得当时，，，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减，递增。（2），且，解得。5．已知定义在R上的函数是实数.（1）若函数在区间上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且求函数的表达式；（2）若，求证：函数是单调函数．解：（1）由又由于在区间上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，所以－1和3必是的两个根，从而又根据（2）因为为二次三项式，并且，当恒成立，此时函数是单调递增函数；当恒成立，此时函数是单调递减函数，因此对任意给定的实数a，函数总是单调函数。变式：已知在R上是减函数，求的取值范围。解：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得，解得。当时函数在R上是减函数；当时，，由函数在R上的单调性，可知当时函数在R上是减函数；当时函数在R上存在增区间。综上的取值范围是。题型三：以函数为模型运用导数解决应用问题6．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为（m），则长为(m)，高为.故长方体的体积为从而令，解得（舍去）或，因此.当时，；当时，，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值，从而最大体积，此时长方体的长为2m，高为1.5m变式：某公司为获更大收益，每年要投入一定资金用于广告促销，经调查，若每年投广告费（百万元），可增加销售额约为（百万元）..（1）若公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费才能使公司由此获得收益最大？（2）现公司准备共投入3百万元分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改进费百万元，可增加销售额约百万元.请设计一种资金分配方案，使该公司由此获得最大收益.（注：收益＝销售额－成本）解：（1）设投入广告费t百万元，则收益。∴时，.∴应投入2百万元广告费，由此获得收益最大。（2）投入广告费百万元，则收益当时，.∴当投入技术改造2百万元、广告费1百万元时，公司收益最大。题型四、恒成立问题7．设函数。(1)如果，点为曲线上一个动点，求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2)若时，恒成立，求的取值范围。解：(1)设切线斜率为，则当时，取最小值-4，又，所以，所求切线方程为，即(2)由，解得：或。函数在和上是增函数，在上是减函数。所以或或解得故的取值范围是。8．函数在处取得极值，曲线过原点和点P（-1，2），若曲线在P处的切线与直线的夹角为，且的倾斜角为钝角.（1）求的解析式；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）若，求证：．解：（1）曲线过原点，且是的极值点，，过点P（-1，2）的切线的斜率为，由夹角公式得：切线的倾斜角为钝角，舍去．由故（2），令即的增区间为在区间上是增函数，；（3）令，，在区间[-1，1]上的最大值M为4，最小值N为0，故对任意，有变式：设函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。(1)若则列表如下+0--单调增极大值单调减单调减在两边取对数,得,由于所以由(1)的结果可知,当时,,为使(1)式对所有成立,当且仅当,即题型四、结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题9．已知函数有三个极值点。（1）证明：；（2）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。解：（1）因为函数有三个极值点,所以有三个互异的实根.设则当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；当时，在上为增函数，所以函数在时取极大值,在时取极小值。当或时,最多只有两个不同实根。因为有三个不同实根,所以且，即,且，解得且故.（2）由（1）的证明可知，当时,有三个极值点.不妨设为（），则所以的单调递减区间是,若在区间上单调递减，则,或,若,则.由（I）知，,于是若,则且.由（I）知，又当时，;当时，.因此,当时，所以且即故或反之,当或时，总可找到使函数在区间上单调递减。综上所述,的取值范围是变式：已知=3是函数的一个极值点。（1）求函数的单调区间；（2）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。解：（1）有令1（1，3）3+0—0+极大值极小值∴由上表可知，的单调递增区间为，其单调减区间为（1，3）（2）由（1）知，若直线的图象有3个交点则。题型五、函数与导数、不等式综合问题10．设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．（Ⅰ）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，，，此时，，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．（Ⅲ）当时，函数，令函数，则．当时，，所以函数在上单调递增，又．时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，则有．小结：用导数解决函数的单调性、极值、最值问题一直是各省市高考试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题二、定积分：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.因此求曲边图形的面积一般利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等2、求曲边梯形面积的方法与步骤：画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；确定被积函数；求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；yabxyabxyabxyabxyabx图（1）图（2）图（3）1．____________；2．__3．__________；4．___________5.在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.若求过点作曲线的切线与曲线及轴围成的封闭图形的面积呢？6、直线分抛物线与