11(随机试验与样本空间)

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概率论与数理统计

第1章概率论基础章1.1随机试验与样本空间2.2随机事件及其概率3.3古典概型与几何概型3.4条件概率与乘法公式3.5全概率公式和贝叶斯公式3.6独立性3.7Excel数据分析功能简介数据分析功能简介

第1章概率论基础章

概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象(随机现象)类不确定现象(随机现象)规律性的一门数学学世纪以来，科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民世纪以来广泛应用于工业、国防、经济及工程技术等各个领域.经济及工程技术等各个领域.本章介绍随机事件与概率、古典概型与几何概型、条件概率与乘法与概率、古典概型与几何概型、公式等概率论中最基本、公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计算方法.算方法.

概率论简史】概率的概念形成于16世纪概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法16世纪，进行赌博有密切的关系.进行赌博有密切的关系.1654年一个名叫德梅尔(1654年，一个名叫德梅尔(DeMere,法)的赌，徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢局便算赢家，若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜局(bc))另一赌徒胜b局)时便终止赌博，问应如何分赌本〞时便终止赌博，问应如何分赌本〞为题求教于数学家帕斯卡(1623-1662)帕斯卡(Pascal,法，1623-1662),帕斯卡与费玛，1601-1665)通信探讨了这一问题，(Fermat,法，1601-1665)通信探讨了这一问题，,并用组合的方法给出了正确的解答.并用组合的方法给出了正确的解答.

概率论简史】

1657年惠更斯(1629-1695)1657年惠更斯(Huygens,荷，1629-1695)发年惠更斯，表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，论著中第一批概率论概念(如数学期望)与定理(中第一批概率论概念(如数学期望)与定理(如概率加法、乘法定理)标志着概率论的诞生.加法、乘法定理)标志着概率论的诞生.18世纪初，伯努利(Bernoulli,法,1700-1782),1700-1782)18世纪初，伯努利(世纪初,棣莫弗(1667-1754)蒲丰(棣莫弗(De.Moivre,法,1667-1754)、蒲丰(Buffon,,17071749法,1707-1788)、拉普拉斯(Laplace,法，174917771827)、高斯(Gauss,德,1777-1855)和泊松,1781-1840)(Poisson,法,1781-1840)等一批数学家对概率论作,了奠基性的贡献.了奠基性的贡献.

概率论简史】

1812年拉普拉斯所著《概率的分析理论》1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了从组合技巧向分析方法的过渡，从组合技巧向分析方法的过渡，开拓了概率论发展的新时期.新时期.19世纪后期，19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中世纪后期心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的心课题，是概率论的又一次飞跃，产生和应用奠定了基础.契比谢夫(产生和应用奠定了基础.契比谢夫(Chebyhev,俄，,1821-1894)对此做出了重要贡献.1821-1894)对此做出了重要贡献.他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗拉普拉斯的极限定理.契比谢夫的成果后被其学生马尔可夫发的极限定理.扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程.扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程.20世纪概率论发展的进程

概率论简史】

1933年，柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov,俄，1903-1987)在他的名著《概率论基础》一书中，1903-1987)在他的名著《概率论基础》一书中，提出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承认.公理化体系给概率论提供了一个规律上的坚实基使概率论成为一门严格的演绎科学，础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学学科同等的地位，他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分支紧凑联系起来.支紧凑联系起来.在公理化的基础上，在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其应用几乎广泛所有的科学领域，例如天气预报、应用几乎广泛所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济研究、金融和管理等领域.研究、金融和管理等领域.

第1章概率论基础章

1.1随机试验与样本空间1.1.1随机试验客观世界中存在着两类现象:客观世界中存在着两类现象必然现象随机现象在一定条件下必然出现的现象，在一定条件下必然出现的现象，称为必然现象；称为必然现象；必然现象

实例:实例“太阳从东边升起〞太阳从东边升起〞太阳从东边升起水从高处向低处流〞“水从高处向低处流〞同性电荷互斥〞“同性电荷互斥〞

1.1.1随机试验

必然现象的特征

条件完全决定结果

在一定条件下可能出现也可能不出现的现象在一定条件下可能出现也可能

不出现的现象称为随机现象称为随机现象.随机现象实例1在一致条件下掷一枚均匀的硬币，实例在一致条件下掷一枚均匀的硬币，观测正反两面出现的状况.正反两面出现的状况结果有可能出现正面也可能出现反面结果有可能出现正面也可能出现反面.出现正面也可能出现反面

1.1.1随机试验

实例2用同一门炮向同实例一目标发射同一种炮弹多观测弹落点的状况.发,观测弹落点的状况结果:弹落点会各不一致.结果弹落点会各不一致实例3抛掷一枚骰子观抛掷一枚骰子,观实例察出现的点数.察出现的点数结果有可能为:结果有可能为

1,2,3,4,5或6.

1.1.1随机试验

实例4实例

从一批含有正品

其结果可能为:其结果可能为次品.正品、次品

和次品的产品中任意抽取一个产品.一个产品实例5实例过马路交织口时,过马路交织口时

可能遇上各种颜色的交通指挥灯.指挥灯

1.1.1随机试验

实例6实例

出生的婴儿可

能是男也可能是也可能是女能是男,也可能是女.实例7实例明天的天气可

能是晴,也可能是多云能是晴也可能是多云或雨.随机现象的特征条件不能完全决定结果

1.1.1随机试验

说明(1)随机现象透露了条件和结果之间的非确定性其数量关系无法用函数加以描述.联系,其数量关系无法用函数加以描述(2)随机现象在一次观测中出现什么结果具有偶随机现象在一次观测中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观测中,然性但在大量试验或观测中这种结果的出现具有一定的统计规律性有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.规律性的一门数学学科如何来研究随机现象?如何来研究随机现象随机现象是通过随机试验来研究的.随机现象是通过随机试验来研究的什么是随机试验?问题什么是随机试验

1.1.1随机试验

概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验：概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验：随机试验(1)可以在一致条件下重复进行；可以在一致条件下重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事每次试验的可能结果不止一个，先明确试验的所有可能结果；先明确试验的所有可能结果；(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.出现.随机试验寻常用大写字母E表示.随机试验寻常用大写字母表示.表示

1.1.1随机试验

说明随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包随机试验简称为试验是一个广泛的术语它包括各种各样的科学试验,括各种各样的科学试验也包括对客观事物进行调查〞观测〞测量〞的“调查〞、

“观测〞或“测量〞等.

1.1随机试验与样本空间

1.1.2

样本空间

定义1.1随机试验的一切可能基本结果组成定义的集合称为样本空间样本空间，的集合称为样本空间，记为={ω},其中ω表，样本点.示基本结果，又称为样本点示基本结果，又称为样本点.研究随机现象首先要了解它的样本空间.研究随机现象首先要了解它的样本空间.下面给出几个随机试验的样本空间.】下面给出几个随机试验的样本空间.“抛一枚硬币观测哪一面朝上〞:抛一枚硬币观测哪一面朝上〞

1={正面，反面.正面，正面反面}.

1.1.2样本空间

“抛一颗骰子观测朝上一面的点数〞:抛一颗骰子观测朝上一面的点数〞抛一颗骰子观测朝上一面的点数

2={1,2,3,4,5,6}.,,,,,.“某品牌电视机的寿命〞:某品牌电视机的寿命〞

3={t|t≥0}..“110每天接到的报警次数〞:每天接到的报警次数〞每天接到的报警次数

4={0,1,2,…}.,,,.“圆心在原点的单位圆内任取一点〞:圆心在原点的单位圆内任取一点〞

5={(x,y)|x2+y2≤1}.,.

1.1.2样本空间

关于样本空间的几点说明：关于样本空间的几点说明：(1)样本空间中的元素可以是数也可以不是数；样本空间中的元素可以是数也可以不是数；(2)样本空间中的样本点可以是有限多个的，样本空间中的样本点可以是有限多个的，也可以是无限多个的.也可以是无限多个的.仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间.间是最简单的样本空间.

1.1.2样本空间

说明

(3)建立样本空间事实上就是建立随机现建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.象的数学模型因此,一个样本空间可以概括大量内容大不一致的实际问题.概括大量内容大不一致的实际问题

例如

只包含两个样本点的样本空间

={H,T}它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的正面或出现反面也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的合格有人排队与又能用于排队现象中有人排队模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.的模型等

1.1.2样本空间

在具体问题的研究中,描述随机现