晋江市高一数学竞赛练习卷

晋江市高一数学竞赛练习卷一、选择题（每小题6分，共36分）1．设函数的定义域为，的解集为，的解集为，则下列结论正确的是（）(A)(B)(C)(D)2.设，则x的取值范围为（）(A)(B)(C)(D)3.已知圆和过原点的直线的交点为P、Q，则|OP|·|OQ|的值为（）(A)(B)(C)5(D)104.过点的所有直线中，过两个有理点（纵坐标与横坐标都是有理数的点）的直线条数是（）（A）0条（B）无数条（C）至少1条（D）有且仅有1条5.关于x、y的方程的正整数解（x，y）的个数为（）（A）16（B）24（C）32（D）486.设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如.记，，则＝（）(A)20(B)4(C)42(D)145.二、填空题（每小题6分，共36分）7.已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，x，则x的取值范围为8．已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是9．函数对于任意的恒有意义，则实数的取值范围是10、令，如果对满足为整数，则称为“好数”，那么区间内所有“好数”的和是11、若为一个平方数，则正整数12、设，且中任意两数之和不能被7整除，则的最大值为三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．圆的方程是，点是圆上一个动点，点是关于点的对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后所得的点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离的最大值和最小值．14.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}，.(1).求证：AB；(2).若，且，求实数a的取值范围.15.ABMCOP如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在的内部，点MABMCOP（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；（Ⅱ）求∠OAM＋∠APM的大小.16.若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：.我们把它们称为根与系数关系定理.如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为.利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：请你参考以上定理和结论，解答下列问题:设二次函数的图象与x轴的两个交点为，抛物线的顶点为C，显然为等腰三角形.（1）当为等腰直角三角形时，求的值；（2）当为等边三角形时，求的值；（3）设抛物线与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且,试问如何平移此抛物线，才能使？17.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，求集合A∪B的元素个数最大值.参考答案一、DBCDDD二、7.8.9.且10.202611.1012.23三、13.解：设，，，设圆的参数方程为，则，点是关于点的对称点，．，，当=1时，有最大值|；当时，||有最小值．14.证明(1).若A=φ，则AB显然成立；……２分若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而AB.……６分解(2)：A中元素是方程f(x)=x即的实根.由A≠φ，知a=0或即……９分B中元素是方程即（*）的实根由AB，知方程（*）左边含有一个因式，即方程可化为因此，要A=B，即要方程①要么没有实根，要么实根是方程②的根.……１３分若①没有实根，则，由此解得……1６分若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有2ax+1=0.由此解得,再代入②得由此解得.……1８分ABMCOP故aABMCOP15．（Ⅰ）证明：连结OP，OM.因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA=180°，由圆心O在的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆…6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM.由（Ⅰ）得OP⊥AP.由圆心O在的内部，可知∠OPM＋∠APM=90°.所以∠OAM＋∠APM=90°.……10分17.解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述3