欧氏空间的定义与基本性质

欧氏空间的定义与基本性质第1页，共29页，2023年，2月20日，星期五问题的引入：性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.其具体模型为几何空间、

1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，但几何空间的度量长度：都可以通过内积反映出来：夹角

：2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.第2页，共29页，2023年，2月20日，星期五满足性质：当且仅当

时一、欧氏空间的定义1.定义设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作，若（对称性）（数乘）（可加性）（正定性）第3页，共29页，2023年，2月20日，星期五①

V为实数域R上的线性空间;②V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;③

欧氏空间V是特殊的线性空间则称

为

和

的内积，并称这种定义了内积的实数域R上的线性空间V为欧氏空间.注：第4页，共29页，2023年，2月20日，星期五例1．在中，对于向量

当时，1）即为几何空间中内积在直角坐标系下的表达式.即这样对于内积就成为一个欧氏空间.易证满足定义中的性质～.1）定义

（1）

所以,为内积.第5页，共29页，2023年，2月20日，星期五2）定义

从而对于内积也构成一个欧氏空间.由于对未必有注意：所以1），2）是两种不同的内积.从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.易证满足定义中的性质～.所以也为内积.第6页，共29页，2023年，2月20日，星期五例2．为闭区间上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数，定义（2）

则对于（2）作成一个欧氏空间.证：

第7页，共29页，2023年，2月20日，星期五且若则从而故因此，为内积，为欧氏空间.第8页，共29页，2023年，2月20日，星期五推广：

2.内积的简单性质V为欧氏空间，第9页，共29页，2023年，2月20日，星期五2)欧氏空间V中，使得有意义.二、欧氏空间中向量的长度1.引入长度概念的可能性1）在向量的长度（模）

2.向量长度的定义称为向量的长度.特别地，当时，称为单位向量.

第10页，共29页，2023年，2月20日，星期五3.向量长度的简单性质3）非零向量的单位化：

（3）

第11页，共29页，2023年，2月20日，星期五1）在

中向量与的夹角

2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先三、欧氏空间中向量的夹角1.引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式：

此即,（4）

第12页，共29页，2023年，2月20日，星期五对欧氏空间V中任意两个向量，有（5）2.柯西－布涅柯夫斯基不等式当且仅当线性相关时等号成立.证：当时，结论成立.当时，作向量第13页，共29页，2023年，2月20日，星期五由内积的正定性，对，皆有（6）取代入（6）式，得即两边开方，即得第14页，共29页，2023年，2月20日，星期五当线性相关时，不妨设于是，(5)式等号成立.反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知或者，或者也即线性相关.第15页，共29页，2023年，2月20日，星期五3.柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用柯西不等式（7）1）第16页，共29页，2023年，2月20日，星期五施瓦兹不等式由柯西－布涅柯夫斯基不等式有从而得证.证：在中，与的内积定义为2）第17页，共29页，2023年，2月20日，星期五（7）

证：

两边开方，即得（7）成立.对欧氏空间中的任意两个向量有3）三角不等式第18页，共29页，2023年，2月20日，星期五设V为欧氏空间，为V中任意两非零向量，的夹角定义为4.欧氏空间中两非零向量的夹角定义1：第19页，共29页，2023年，2月20日，星期五①零向量与任意向量正交.注：②即.设为欧氏空间中两个向量，若内积

则称与正交或互相垂直，记作

定义2：第20页，共29页，2023年，2月20日，星期五5.勾股定理设V为欧氏空间，证：第21页，共29页，2023年，2月20日，星期五若欧氏空间V中向量两两正交，推广：则证：若则即第22页，共29页，2023年，2月20日，星期五例3、已知在通常的内积定义下，求解：又通常称为与的距离，记作第23页，共29页，2023年，2月20日，星期五设V为欧氏空间，为V的一组基，对V中任意两个向量四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示令（8）第24页，共29页，2023年，2月20日，星期五定义：矩阵称为基的度量矩阵.（9）则（10）第25页，共29页，2023年，2月20日，星期五①度量矩阵A是实对称矩阵.②由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵.注：事实上，对，即有为正定矩阵.③由（10）知，在基下，向量的内积由度量矩阵A完全确定.第26页，共29页，2023年，2月20日，星期五

④对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.证：设为欧氏空间V的两组基，它们